Страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13. Какую функцию называют выпуклой вниз; выпуклой вверх? Приведите пример функции, выпуклой вниз, выпуклой вверх.

Какую функцию называют выпуклой вниз

Функция $f(x)$ называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на некотором интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала отрезок, соединяющий точки графика $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, f(x_2))$, лежит не ниже самого графика. Для функции, которая является дважды дифференцируемой на интервале, это условие равносильно тому, что ее вторая производная неотрицательна на этом интервале: $f''(x) \ge 0$. Геометрически график такой функции "смотрит" изгибом вверх.

Какую функцию называют выпуклой вверх

Функция $f(x)$ называется выпуклой вверх (или вогнутой) на некотором интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала отрезок, соединяющий точки графика $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, f(x_2))$, лежит не выше самого графика. Для дважды дифференцируемой функции это условие равносильно тому, что ее вторая производная неположительна на этом интервале: $f''(x) \le 0$. Геометрически график такой функции "смотрит" изгибом вниз.

Пример функции, выпуклой вниз

Рассмотрим в качестве примера квадратичную функцию $f(x) = x^2$. Найдем ее вторую производную, чтобы определить направление выпуклости.
Первая производная: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.
Вторая производная: $f''(x) = (2x)' = 2$.
Поскольку вторая производная $f''(x) = 2$ является положительным числом для любого значения $x$, функция $f(x) = x^2$ выпукла вниз на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$.
Ответ: $f(x) = x^2$.

Пример функции, выпуклой вверх

Рассмотрим в качестве примера квадратичную функцию $f(x) = -x^2$. Найдем ее вторую производную.
Первая производная: $f'(x) = (-x^2)' = -2x$.
Вторая производная: $f''(x) = (-2x)' = -2$.
Поскольку вторая производная $f''(x) = -2$ является отрицательным числом для любого значения $x$, функция $f(x) = -x^2$ выпукла вверх на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$.
Ответ: $f(x) = -x^2$.

17.38 Укажите номера всех тех членов заданной геометрической прогрессии, которые меньше заданного числа A:

а) 1, 3, 9, 27, ..., A = 729;

б) 3, 1,5, 0,75, ..., A = $ \frac{3}{32} $;

в) 243, 81, 27, ..., A = $ \frac{1}{81} $;

г) 16, $ 8\sqrt{2} $, 8, ..., A = 1.

а) 1, 3, 9, 27, ..., A = 729

Данная последовательность является геометрической прогрессией $b_n$. Найдем ее параметры: первый член $b_1 = 1$, знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1} = 3$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

В нашем случае: $b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$.

Требуется найти все номера членов прогрессии $n$, которые удовлетворяют неравенству $b_n < A$:

$3^{n-1} < 729$

Представим 729 как степень числа 3. Известно, что $729 = 3^6$.

Получаем неравенство: $3^{n-1} < 3^6$.

Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что для показателей степени будет выполняться неравенство с тем же знаком:

$n - 1 < 6$

$n < 7$

Так как номер члена прогрессии $n$ - это натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то решением являются все натуральные числа, меньшие 7.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

б) 3, 1.5, 0.75, ..., A = $\frac{3}{32}$

Данная последовательность является геометрической прогрессией $b_n$. Найдем ее параметры: первый член $b_1 = 3$, знаменатель прогрессии $q = \frac{1.5}{3} = 0.5 = \frac{1}{2}$.

Формула n-го члена: $b_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Решим неравенство $b_n < A$:

$3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{3}{32}$

Разделим обе части неравенства на 3 (знак неравенства не меняется):

$\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{32}$

Представим $\frac{1}{32}$ как степень числа $\frac{1}{2}$. Известно, что $32 = 2^5$, значит $\frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$.

Получаем неравенство: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \left(\frac{1}{2}\right)^5$.

Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. Это значит, что для показателей степени знак неравенства изменится на противоположный:

$n - 1 > 5$

$n > 6$

Решением являются все натуральные числа, большие 6.

Ответ: 7, 8, 9, ... (все натуральные числа $n > 6$).

в) 243, 81, 27, ..., A = $\frac{1}{81}$

Данная последовательность является геометрической прогрессией $b_n$. Найдем ее параметры: первый член $b_1 = 243$, знаменатель прогрессии $q = \frac{81}{243} = \frac{1}{3}$.

Формула n-го члена: $b_n = 243 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$.

Решим неравенство $b_n < A$:

$243 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{81}$

Представим все числа как степени с основанием 3: $243 = 3^5$, $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, $\frac{1}{81} = 3^{-4}$.

Неравенство принимает вид:

$3^5 \cdot (3^{-1})^{n-1} < 3^{-4}$

$3^5 \cdot 3^{-n+1} < 3^{-4}$

$3^{5-n+1} < 3^{-4}$

$3^{6-n} < 3^{-4}$

Поскольку основание степени $3 > 1$, для показателей степени будет выполняться неравенство с тем же знаком:

$6 - n < -4$

$10 < n$

Решением являются все натуральные числа, большие 10.

Ответ: 11, 12, 13, ... (все натуральные числа $n > 10$).

г) 16, 8$\sqrt{2}$, 8, ..., A = 1

Данная последовательность является геометрической прогрессией $b_n$. Найдем ее параметры: первый член $b_1 = 16$, знаменатель прогрессии $q = \frac{8\sqrt{2}}{16} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Формула n-го члена: $b_n = 16 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$.

Решим неравенство $b_n < A$:

$16 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1} < 1$

Представим все числа как степени с основанием 2: $16 = 2^4$, $\frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$, $1 = 2^0$.

Неравенство принимает вид:

$2^4 \cdot (2^{-1/2})^{n-1} < 2^0$

$2^4 \cdot 2^{-\frac{n-1}{2}} < 2^0$

$2^{4 - \frac{n-1}{2}} < 2^0$

Поскольку основание степени $2 > 1$, для показателей степени будет выполняться неравенство с тем же знаком:

$4 - \frac{n-1}{2} < 0$

$4 < \frac{n-1}{2}$

$8 < n - 1$

$9 < n$

Решением являются все натуральные числа, большие 9.

Ответ: 10, 11, 12, ... (все натуральные числа $n > 9$).

17.39 В конечной геометрической прогрессии указаны первый член $b_1$, знаменатель $q$ и сумма $S_n$ всех её членов. Найдите число членов прогрессии:

a) $b_1 = 5, q = 3, S_n = 200;$

б) $b_1 = -1, q = \frac{1}{2}, S_n = -1\frac{63}{64};$

в) $b_1 = 3, q = 2, S_n = 189;$

г) $b_1 = 3, q = \frac{1}{3}, S_n = 4\frac{13}{27}.$

а) Для нахождения числа членов $n$ конечной геометрической прогрессии воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель, $S_n$ — сумма всех членов.
Подставим известные значения: $b_1 = 5$, $q = 3$, $S_n = 200$.
$200 = \frac{5(3^n - 1)}{3 - 1}$
$200 = \frac{5(3^n - 1)}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$400 = 5(3^n - 1)$
Разделим обе части на 5:
$80 = 3^n - 1$
Прибавим 1 к обеим частям:
$81 = 3^n$
Так как $81 = 3^4$, то получаем:
$3^4 = 3^n$
Следовательно, $n = 4$.
Ответ: 4.

б) В данном случае $b_1 = -1$, $q = \frac{1}{2}$, $S_n = -1\frac{63}{64}$.
Сначала представим смешанную дробь в виде неправильной: $S_n = -1\frac{63}{64} = -\frac{1 \cdot 64 + 63}{64} = -\frac{127}{64}$.
Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, которая удобна при $q < 1$.
$-\frac{127}{64} = \frac{-1(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}}$
$-\frac{127}{64} = \frac{-(1 - (\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}}$
Умножим обе части на -1:
$\frac{127}{64} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}}$
Умножим обе части на $\frac{1}{2}$:
$\frac{127}{64} \cdot \frac{1}{2} = 1 - (\frac{1}{2})^n$
$\frac{127}{128} = 1 - (\frac{1}{2})^n$
Выразим $(\frac{1}{2})^n$:
$(\frac{1}{2})^n = 1 - \frac{127}{128} = \frac{128 - 127}{128} = \frac{1}{128}$
Так как $128 = 2^7$, то $\frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^7$.
$(\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^7$
Следовательно, $n = 7$.
Ответ: 7.

в) Дано: $b_1 = 3$, $q = 2$, $S_n = 189$.
Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$189 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$
$189 = \frac{3(2^n - 1)}{1}$
$189 = 3(2^n - 1)$
Разделим обе части на 3:
$63 = 2^n - 1$
Прибавим 1 к обеим частям:
$64 = 2^n$
Так как $64 = 2^6$, получаем:
$2^6 = 2^n$
Следовательно, $n = 6$.
Ответ: 6.

г) Дано: $b_1 = 3$, $q = \frac{1}{3}$, $S_n = 4\frac{13}{27}$.
Представим сумму в виде неправильной дроби: $S_n = \frac{4 \cdot 27 + 13}{27} = \frac{108 + 13}{27} = \frac{121}{27}$.
Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
$\frac{121}{27} = \frac{3(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}}$
$\frac{121}{27} = \frac{3(1 - (\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}}$
$\frac{121}{27} = 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n)$
$\frac{121}{27} = \frac{9}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$
Умножим обе части на $\frac{2}{9}$:
$\frac{121}{27} \cdot \frac{2}{9} = 1 - (\frac{1}{3})^n$
$\frac{242}{243} = 1 - (\frac{1}{3})^n$
Выразим $(\frac{1}{3})^n$:
$(\frac{1}{3})^n = 1 - \frac{242}{243} = \frac{243 - 242}{243} = \frac{1}{243}$
Так как $243 = 3^5$, то $\frac{1}{243} = (\frac{1}{3})^5$.
$(\frac{1}{3})^n = (\frac{1}{3})^5$
Следовательно, $n = 5$.
Ответ: 5.

17.40 а) Дана возрастающая геометрическая прогрессия $(b_n)$. Найдите знаменатель и первые три члена этой прогрессии, если $b_1 = \sqrt{3}$, $b_9 = 81 \sqrt{3}$.

б) Дана убывающая геометрическая прогрессия $(b_n)$. Найдите знаменатель и первые три члена этой прогрессии, если $b_1 = 375$, $b_3 = 15$.

а) Дана возрастающая геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой известны первый член $b_1 = \sqrt{3}$ и девятый член $b_9 = 81\sqrt{3}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Подставим известные значения в формулу для $n=9$:

$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$

$81\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot q^8$

Чтобы найти $q$, разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$q^8 = 81$

Поскольку $81 = 3^4$, уравнение можно переписать как $q^8 = 3^4$. Отсюда находим возможные значения $q$:

$q = \pm\sqrt[8]{81} = \pm\sqrt[8]{3^4} = \pm 3^{4/8} = \pm 3^{1/2} = \pm\sqrt{3}$.

По условию, прогрессия является возрастающей. Так как первый член $b_1 = \sqrt{3}$ — положительное число, для возрастания прогрессии ее знаменатель $q$ должен быть больше 1. Сравним полученные значения:

• $q = \sqrt{3} \approx 1.732$, это значение больше 1.
• $q = -\sqrt{3} \approx -1.732$, это значение меньше 1. При таком знаменателе прогрессия будет знакочередующейся, а не возрастающей.

Следовательно, выбираем $q = \sqrt{3}$.

Теперь найдем первые три члена прогрессии:

$b_1 = \sqrt{3}$

$b_2 = b_1 \cdot q = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$

$b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Ответ: знаменатель прогрессии $q = \sqrt{3}$, первые три члена: $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}$.

б) Дана убывающая геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой известны первый член $b_1 = 375$ и третий член $b_3 = 15$.

Используем ту же формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения для $n=3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1}$

$15 = 375 \cdot q^2$

Выразим $q^2$ из этого уравнения:

$q^2 = \frac{15}{375}$

Сократим дробь: $q^2 = \frac{15}{15 \cdot 25} = \frac{1}{25}$.

Из этого уравнения находим возможные значения $q$:

$q = \pm\sqrt{\frac{1}{25}} = \pm\frac{1}{5}$.

По условию, прогрессия является убывающей. Так как первый член $b_1 = 375$ — положительное число, для убывания прогрессии (когда все ее члены положительны) ее знаменатель $q$ должен находиться в интервале $(0; 1)$. Сравним полученные значения:

• $q = \frac{1}{5}$. Это значение удовлетворяет условию $0 < q < 1$.
• $q = -\frac{1}{5}$. При таком знаменателе прогрессия будет знакочередующейся ($375, -75, 15, \dots$), а не убывающей.

Следовательно, выбираем $q = \frac{1}{5}$.

Теперь найдем первые три члена прогрессии:

$b_1 = 375$

$b_2 = b_1 \cdot q = 375 \cdot \frac{1}{5} = 75$

$b_3 = b_2 \cdot q = 75 \cdot \frac{1}{5} = 15$

Ответ: знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{5}$, первые три члена: $375, 75, 15$.

17.41 a) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите знаменатель прогрессии и сумму её первых пяти членов, если $b_1 = 5, b_3 = 80$.

б) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите знаменатель прогрессии и сумму её первых семи членов, если $b_1 = 1, b_3 = 8$.

а)

Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой $b_1 = 5$ и $b_3 = 80$.

1. Найдём знаменатель прогрессии $q$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=3$ имеем: $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$.

Подставим известные значения:

$80 = 5 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{80}{5}$

$q^2 = 16$

Отсюда $q = 4$ или $q = -4$.

Так как прогрессия знакочередующаяся, её знаменатель должен быть отрицательным. Следовательно, $q = -4$.

2. Найдём сумму первых пяти членов прогрессии $S_5$.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим $n=5$, $b_1=5$ и $q=-4$ в формулу:

$S_5 = \frac{5((-4)^5 - 1)}{-4 - 1}$

Вычислим $(-4)^5$: $(-4)^5 = -1024$.

$S_5 = \frac{5(-1024 - 1)}{-5} = \frac{5(-1025)}{-5}$

$S_5 = -(-1025) = 1025$.

Ответ: знаменатель прогрессии равен -4, сумма её первых пяти членов равна 1025.

б)

Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой $b_1 = 1$ и $b_3 = 8$.

1. Найдём знаменатель прогрессии $q$.

Используем формулу n-го члена: $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

Подставим известные значения:

$8 = 1 \cdot q^2$

$q^2 = 8$

Отсюда $q = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ или $q = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$.

Поскольку прогрессия является знакочередующейся, её знаменатель $q$ должен быть отрицательным. Таким образом, $q = -2\sqrt{2}$.

2. Найдём сумму первых семи членов прогрессии $S_7$.

Используем формулу суммы: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим $n=7$, $b_1=1$ и $q=-2\sqrt{2}$:

$S_7 = \frac{1((-2\sqrt{2})^7 - 1)}{-2\sqrt{2} - 1}$

Вычислим $q^7 = (-2\sqrt{2})^7$.

$(-2\sqrt{2})^7 = (-2)^7 \cdot (\sqrt{2})^7 = -128 \cdot ((\sqrt{2})^6 \cdot \sqrt{2}) = -128 \cdot (2^3 \cdot \sqrt{2}) = -128 \cdot 8\sqrt{2} = -1024\sqrt{2}$.

Подставим это значение в формулу для $S_7$:

$S_7 = \frac{-1024\sqrt{2} - 1}{-2\sqrt{2} - 1} = \frac{-(1024\sqrt{2} + 1)}{-(2\sqrt{2} + 1)} = \frac{1024\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2} + 1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2\sqrt{2} - 1)$:

$S_7 = \frac{(1024\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} - 1)}{(2\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} - 1)} = \frac{1024\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - 1024\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 1}{(2\sqrt{2})^2 - 1^2}$

$S_7 = \frac{1024 \cdot 4 - 1022\sqrt{2} - 1}{8 - 1} = \frac{4096 - 1 - 1022\sqrt{2}}{7} = \frac{4095 - 1022\sqrt{2}}{7}$

Разделим почленно:

$S_7 = \frac{4095}{7} - \frac{1022\sqrt{2}}{7} = 585 - 146\sqrt{2}$.

Ответ: знаменатель прогрессии равен $-2\sqrt{2}$, сумма её первых семи членов равна $585 - 146\sqrt{2}$.

17.42 Первый член возрастающей геометрической прогрессии $ (b_n) $ равен 4, а сумма третьего и пятого членов равна 80. Найдите $ q $ и $ b_{10} $, если известно, что прогрессия возрастающая.

По условию задачи, нам дана возрастающая геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой первый член $b_1 = 4$, а сумма третьего и пятого членов равна 80, то есть $b_3 + b_5 = 80$.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Используя эту формулу, выразим третий и пятый члены прогрессии:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим эти выражения в уравнение $b_3 + b_5 = 80$ и заменим $b_1$ на известное значение 4:

$4q^2 + 4q^4 = 80$

Разделим обе части уравнения на 4:

$q^2 + q^4 = 20$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное уравнение:

$q^4 + q^2 - 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = q^2$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 + t - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1+t_2 = -1$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -20$. Корни легко находятся: $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Остается единственный действительный корень: $t_1 = 4$.

Вернемся к замене $q^2 = t$:

$q^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя $q$: $q = 2$ и $q = -2$.

По условию, прогрессия является возрастающей. Для геометрической прогрессии с положительным первым членом ($b_1 = 4 > 0$) это означает, что знаменатель прогрессии должен быть больше единицы ($q > 1$).

Из двух найденных значений для $q$ только $q = 2$ удовлетворяет этому условию. При $q = -2$ прогрессия будет знакочередующейся ($4, -8, 16, \dots$) и не будет возрастающей.

Таким образом, мы нашли знаменатель прогрессии: $q = 2$.

Теперь найдем десятый член прогрессии $b_{10}$.

Используем формулу $n$-го члена для $n=10$:

$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = b_1 \cdot q^9$

Подставим известные значения $b_1 = 4$ и $q = 2$:

$b_{10} = 4 \cdot 2^9$

Вычислим значение. Поскольку $4 = 2^2$, то:

$b_{10} = 2^2 \cdot 2^9 = 2^{2+9} = 2^{11}$

$b_{10} = 2048$

Ответ: $q = 2$, $b_{10} = 2048$.

17.43 Между числами 1 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Пусть искомые числа вместе с данными числами 1 и 81 образуют геометрическую прогрессию, которую мы обозначим как $b_n$. Поскольку между двумя данными числами нужно вставить три числа, всего в прогрессии будет $2 + 3 = 5$ членов.

Таким образом, мы имеем:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 1$
• Пятый член прогрессии: $b_5 = 81$

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — это знаменатель прогрессии.

Используем эту формулу для пятого члена, чтобы найти знаменатель $q$: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$ $81 = 1 \cdot q^4$ $q^4 = 81$

Данное уравнение имеет два действительных корня, так как степень четная: $q_1 = \sqrt[4]{81} = 3$ $q_2 = -\sqrt[4]{81} = -3$

Это означает, что существуют два возможных набора чисел, удовлетворяющих условию задачи. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Теперь найдем три промежуточных члена прогрессии ($b_2$, $b_3$ и $b_4$), умножая каждый предыдущий член на знаменатель $q=3$: $b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot 3 = 3$ $b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot 3 = 9$ $b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot 3 = 27$

Получившаяся геометрическая прогрессия: 1, 3, 9, 27, 81.

Ответ: 3, 9, 27.

Аналогично найдем три промежуточных члена прогрессии для знаменателя $q=-3$: $b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot (-3) = -3$ $b_3 = b_2 \cdot q = (-3) \cdot (-3) = 9$ $b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot (-3) = -27$

Получившаяся знакочередующаяся геометрическая прогрессия: 1, -3, 9, -27, 81.

Ответ: -3, 9, -27.