Страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.11 Найдите указанный член геометрической прогрессии ($b_n$) по заданным условиям:

a) $b_1 = -2$, $q = -1\frac{1}{2}$; $b_4 = ?$

б) $b_1 = \sqrt{6}$, $q = \sqrt{2}$; $b_5 = ?$

в) $b_1 = 3$, $q = -0,75$; $b_4 = ?$

г) $b_1 = 5\sqrt{5}$, $q = (\sqrt{5})^{-1}$; $b_6 = ?$

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а) По условию имеем $b_1 = -2$ и $q = -1\frac{1}{2}$. Требуется найти $b_4$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $q = -1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Применим формулу для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим значения и вычислим:

$b_4 = -2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -2 \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) = \frac{2 \cdot 27}{8} = \frac{54}{8} = \frac{27}{4}$

Преобразуем ответ в смешанное число: $\frac{27}{4} = 6\frac{3}{4}$.

Ответ: $6\frac{3}{4}$.

б) По условию имеем $b_1 = \sqrt{6}$ и $q = \sqrt{2}$. Требуется найти $b_5$.

Применим формулу для $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим значения и вычислим:

$b_5 = \sqrt{6} \cdot (\sqrt{2})^4 = \sqrt{6} \cdot ((\sqrt{2})^2)^2 = \sqrt{6} \cdot 2^2 = 4\sqrt{6}$

Ответ: $4\sqrt{6}$.

в) По условию имеем $b_1 = 3$ и $q = -0,75$. Требуется найти $b_4$.

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $q = -0,75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$.

Применим формулу для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим значения и вычислим:

$b_4 = 3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^3 = 3 \cdot \left(-\frac{27}{64}\right) = -\frac{81}{64}$

Преобразуем ответ в смешанное число: $-\frac{81}{64} = -1\frac{17}{64}$.

Ответ: $-1\frac{17}{64}$.

г) По условию имеем $b_1 = 5\sqrt{5}$ и $q = (\sqrt{5})^{-1}$. Требуется найти $b_6$.

Сначала упростим значение знаменателя: $q = (\sqrt{5})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Применим формулу для $n=6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

Подставим значения и вычислим:

$b_6 = 5\sqrt{5} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^5 = 5\sqrt{5} \cdot \frac{1}{(\sqrt{5})^5} = \frac{5\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^4 \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{25\sqrt{5}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

17.12 Найдите $b_1$ и $q$ для геометрической прогрессии $(b_n)$, заданной следующими условиями:

а) $b_2 = 8, b_3 = -32;$

б) $b_4 = 1, b_5 = -\frac{1}{2};$

в) $b_2 = \frac{3}{2}, b_3 = \frac{3}{4};$

г) $b_5 = 6, b_6 = 3.$

а)

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти как отношение последующего члена к предыдущему. Используем данные $b_2 = 8$ и $b_3 = -32$.

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-32}{8} = -4$.

Первый член прогрессии $b_1$ найдем из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$.

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{8}{-4} = -2$.

Ответ: $b_1 = -2$, $q = -4$.

б)

Используя $b_4 = 1$ и $b_5 = -\frac{1}{2}$, найдем знаменатель прогрессии $q$.

$q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем $b_1$, используя формулу n-го члена прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=4$.

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.

Отсюда, $b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{1}{(-1/2)^3} = \frac{1}{-1/8} = -8$.

Ответ: $b_1 = -8$, $q = -\frac{1}{2}$.

в)

Используя $b_2 = \frac{3}{2}$ и $b_3 = \frac{3}{4}$, найдем знаменатель прогрессии $q$.

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{3/4}{3/2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Первый член прогрессии $b_1$ найдем из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$.

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{3/2}{1/2} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Ответ: $b_1 = 3$, $q = \frac{1}{2}$.

г)

Используя $b_5 = 6$ и $b_6 = 3$, найдем знаменатель прогрессии $q$.

$q = \frac{b_6}{b_5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем $b_1$, используя формулу n-го члена прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$.

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Отсюда, $b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{6}{(1/2)^4} = \frac{6}{1/16} = 6 \cdot 16 = 96$.

Ответ: $b_1 = 96$, $q = \frac{1}{2}$.

Составьте формулу $n$-го члена геометрической прогрессии:

17.13 а) $b_1 = 3, q = 2;$

б) $b_1 = -2,5, q = \frac{1}{\sqrt{2}};$

в) $b_1 = 2,5, q = -0,2;$

г) $b_1 = 3\sqrt{3}, q = 3^{-1}.$

Для того чтобы составить формулу n-го члена геометрической прогрессии, используется стандартная формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Мы подставим данные значения для каждого случая в эту формулу.

а) Дано, что первый член прогрессии $b_1 = 3$, а знаменатель $q = 2$.
Подставляем эти значения в общую формулу:
$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$
Это и есть искомая формула.
Ответ: $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

б) Дано, что первый член прогрессии $b_1 = -2,5$, а знаменатель $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Подставляем эти значения в общую формулу:
$b_n = -2,5 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$
Это и есть искомая формула.
Ответ: $b_n = -2,5 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$

в) Дано, что первый член прогрессии $b_1 = 2,5$, а знаменатель $q = -0,2$.
Подставляем эти значения в общую формулу:
$b_n = 2,5 \cdot (-0,2)^{n-1}$
Это и есть искомая формула.
Ответ: $b_n = 2,5 \cdot (-0,2)^{n-1}$

г) Дано, что первый член прогрессии $b_1 = 3\sqrt{3}$, а знаменатель $q = 3^{-1}$.
Сначала преобразуем значение знаменателя: $q = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Теперь подставим $b_1$ и $q$ в общую формулу:
$b_n = 3\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$
Эту формулу можно упростить, представив все члены как степени числа 3.
$b_1 = 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$
$q = \frac{1}{3} = 3^{-1}$
Подставим преобразованные значения в формулу:
$b_n = 3^{\frac{3}{2}} \cdot (3^{-1})^{n-1} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{-(n-1)} = 3^{\frac{3}{2} - n + 1} = 3^{\frac{5}{2} - n}$
Ответ: $b_n = 3\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ (или в упрощенном виде $b_n = 3^{\frac{5}{2} - n}$)

17.14 a) 8, 4, 2, ...;

Б) $- \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, -\frac{1}{64}, \dots$;

В) $4, 1, \frac{1}{4}, \dots$;

Г) $\sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, \dots$

а) Данная последовательность является геометрической прогрессией, так как отношение каждого последующего члена к предыдущему является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Первый член прогрессии $b_1 = 8$, второй член $b_2 = 4$.

Найдем знаменатель прогрессии:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Проверим для следующей пары членов. Третий член $b_3 = 2$.

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Теперь найдем следующие два члена прогрессии, умножая каждый предыдущий член на знаменатель.

Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Следующие два члена последовательности: 1 и $\frac{1}{2}$.

б) Данная последовательность является геометрической прогрессией.

Первый член прогрессии $b_1 = -\frac{1}{4}$, второй член $b_2 = -\frac{1}{16}$.

Найдем знаменатель прогрессии:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/16}{-1/4} = \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{1} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

Проверим для следующей пары членов. Третий член $b_3 = -\frac{1}{64}$.

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-1/64}{-1/16} = \frac{1}{64} \cdot \frac{16}{1} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.

Знаменатель $q = \frac{1}{4}$. Найдем следующие два члена прогрессии.

Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = \left(-\frac{1}{64}\right) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{256}$.

Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = \left(-\frac{1}{256}\right) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{1024}$.

Ответ: Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{4}$. Следующие два члена последовательности: $-\frac{1}{256}$ и $-\frac{1}{1024}$.

в) Данная последовательность является геометрической прогрессией.

Первый член прогрессии $b_1 = 4$, второй член $b_2 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{4}$.

Проверим для следующей пары членов. Третий член $b_3 = \frac{1}{4}$.

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1/4}{1} = \frac{1}{4}$.

Знаменатель $q = \frac{1}{4}$. Найдем следующие два члена прогрессии.

Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.

Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{64}$.

Ответ: Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{4}$. Следующие два члена последовательности: $\frac{1}{16}$ и $\frac{1}{64}$.

г) Данная последовательность является геометрической прогрессией.

Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{2}$, второй член $b_2 = 2$.

Найдем знаменатель прогрессии:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Проверим для следующей пары членов. Третий член $b_3 = 2\sqrt{2}$.

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Знаменатель $q = \sqrt{2}$. Найдем следующие два члена прогрессии.

Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$.

Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \sqrt{2}$. Следующие два члена последовательности: 4 и $4\sqrt{2}$.

17.15 Зная формулу $n$-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$, определите $b_1$ и $q$:

а) $b_n = 5^{n-1}$;

б) $b_n = \frac{3}{5} \cdot 2^n$;

в) $b_n = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$;

г) $b_n = \frac{5}{2^{n+1}};

Для решения задачи необходимо привести каждую формулу n-го члена геометрической прогрессии к стандартному виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а) $b_n = 5^{n-1}$

Данная формула уже представлена в стандартном виде. Мы можем записать её как $b_n = 1 \cdot 5^{n-1}$. Сравнивая это выражение с общей формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, мы можем напрямую определить значения $b_1$ и $q$.

Множитель перед степенью соответствует первому члену $b_1$, а основание степени — знаменателю прогрессии $q$.

Таким образом, $b_1 = 1$ и $q = 5$.

Для проверки можно вычислить первые два члена прогрессии:

Первый член ($n=1$): $b_1 = 5^{1-1} = 5^0 = 1$.

Второй член ($n=2$): $b_2 = 5^{2-1} = 5^1 = 5$.

Знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5}{1} = 5$.

Результаты совпадают.

Ответ: $b_1 = 1$, $q = 5$.

б) $b_n = \frac{3}{5} \cdot 2^n$

Чтобы привести эту формулу к стандартному виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, необходимо преобразовать выражение $2^n$ так, чтобы показатель степени стал $n-1$.

Используя свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$, мы можем записать $2^n$ как $2^{n-1+1} = 2^{n-1} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{n-1}$.

Подставим это в исходную формулу:

$b_n = \frac{3}{5} \cdot (2 \cdot 2^{n-1}) = (\frac{3}{5} \cdot 2) \cdot 2^{n-1} = \frac{6}{5} \cdot 2^{n-1}$.

Теперь формула имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Сравнивая, получаем:

$b_1 = \frac{6}{5}$ и $q = 2$.

Проверим, вычислив $b_1$ и $b_2$ по исходной формуле:

$b_1 = \frac{3}{5} \cdot 2^1 = \frac{6}{5}$.

$b_2 = \frac{3}{5} \cdot 2^2 = \frac{3}{5} \cdot 4 = \frac{12}{5}$.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12/5}{6/5} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Результаты совпадают.

Ответ: $b_1 = \frac{6}{5}$, $q = 2$.

в) $b_n = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$

Эта формула уже соответствует стандартному виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Прямым сравнением определяем:

$b_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$q = \frac{1}{4}$

Проверка через вычисление первых членов:

$b_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{4})^{1-1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{4})^0 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$b_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{4})^{2-1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{4})^1 = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{3}/8}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Результаты совпадают.

Ответ: $b_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $q = \frac{1}{4}$.

г) $b_n = \frac{5}{2^{n+1}}$

Приведем данную формулу к стандартному виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Преобразуем знаменатель, используя свойства степеней:

$2^{n+1} = 2^{(n-1)+2} = 2^{n-1} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{n-1}$.

Подставим преобразованный знаменатель в формулу:

$b_n = \frac{5}{4 \cdot 2^{n-1}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{5}{4} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

Теперь формула имеет стандартный вид. Сравнивая её с $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, находим:

$b_1 = \frac{5}{4}$ и $q = \frac{1}{2}$.

Проверим через вычисление:

$b_1 = \frac{5}{2^{1+1}} = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4}$.

$b_2 = \frac{5}{2^{2+1}} = \frac{5}{2^3} = \frac{5}{8}$.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5/8}{5/4} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Результаты совпадают.

Ответ: $b_1 = \frac{5}{4}$, $q = \frac{1}{2}$.

17.16 а) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получились три последовательных члена геометрической прогрессии.

б) Между числами 16 и 64 вставьте отрицательное число так, чтобы получились три последовательных члена геометрической прогрессии.

а)

Пусть искомое число равно $x$. Тогда числа $18$, $x$ и $2$ образуют три последовательных члена геометрической прогрессии. Обозначим их как $b_1, b_2, b_3$:

$b_1 = 18$, $b_2 = x$, $b_3 = 2$.

По характеристическому свойству геометрической прогрессии, любой её член, начиная со второго, является средним геометрическим своих соседних членов. Это означает, что квадрат среднего члена равен произведению его соседей:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в эту формулу известные значения:

$x^2 = 18 \cdot 2$

$x^2 = 36$

Решая это уравнение, получаем два возможных значения для $x$:

$x = \sqrt{36} = 6$ или $x = -\sqrt{36} = -6$.

Согласно условию задачи, вставляемое число должно быть положительным. Поэтому мы выбираем значение $x = 6$.

Проверим полученную последовательность: $18, 6, 2$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$. Третий член равен $b_2 \cdot q = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$, что соответствует условию.

Ответ: 6

б)

Пусть искомое число равно $y$. Тогда числа $16$, $y$ и $64$ образуют три последовательных члена геометрической прогрессии. Обозначим их как $c_1, c_2, c_3$:

$c_1 = 16$, $c_2 = y$, $c_3 = 64$.

Воспользуемся тем же свойством геометрической прогрессии:

$c_2^2 = c_1 \cdot c_3$

Подставим известные значения:

$y^2 = 16 \cdot 64$

$y^2 = 1024$

Решая уравнение, находим два возможных значения для $y$:

$y = \sqrt{1024} = 32$ или $y = -\sqrt{1024} = -32$.

Согласно условию задачи, вставляемое число должно быть отрицательным. Следовательно, мы выбираем значение $y = -32$.

Проверим полученную последовательность: $16, -32, 64$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-32}{16} = -2$. Третий член равен $c_2 \cdot q = (-32) \cdot (-2) = 64$, что соответствует условию.

Ответ: -32