Страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.50 a) Между числами $-8$ и $-35$ вставили два числа так, чтобы получились четыре последовательных члена арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии.

б) Между числами $-6$ и $-15$ вставили два числа так, чтобы получились четыре последовательных члена арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии.

а)

Пусть дана арифметическая прогрессия, которую мы обозначим как $a_n$. По условию, между числами -8 и -35 вставили два числа. Это означает, что у нас есть четыре последовательных члена этой прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = -8$. Поскольку вставили два числа, число -35 будет четвертым членом прогрессии, то есть $a_4 = -35$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.

Применим эту формулу для четвертого члена ($n=4$): $a_4 = a_1 + (4-1)d$ $a_4 = a_1 + 3d$

Теперь подставим известные значения $a_1 = -8$ и $a_4 = -35$ в формулу, чтобы найти $d$: $-35 = -8 + 3d$

Решим полученное линейное уравнение: $3d = -35 - (-8)$ $3d = -35 + 8$ $3d = -27$ $d = \frac{-27}{3}$ $d = -9$

Таким образом, разность этой арифметической прогрессии равна -9. Вставленные числа: $a_2 = -8 + (-9) = -17$ и $a_3 = -17 + (-9) = -26$.

Ответ: -9.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Между числами -6 и -15 вставили два числа, получив четыре последовательных члена арифметической прогрессии. Следовательно, первый член прогрессии $a_1 = -6$, а четвертый член $a_4 = -15$.

Воспользуемся той же формулой для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для $n=4$ имеем: $a_4 = a_1 + 3d$

Подставим известные значения $a_1 = -6$ и $a_4 = -15$: $-15 = -6 + 3d$

Найдем разность прогрессии $d$, решив уравнение: $3d = -15 - (-6)$ $3d = -15 + 6$ $3d = -9$ $d = \frac{-9}{3}$ $d = -3$

Разность этой арифметической прогрессии равна -3. Вставленные числа: $a_2 = -6 + (-3) = -9$ и $a_3 = -9 + (-3) = -12$.

Ответ: -3.

16.51 Дана конечная арифметическая прогрессия ($a_n$). Найдите $a_n$, если:

а) $a_1 = -\sqrt{2}$, $d = 1 + \sqrt{2}$, $n = 7$;

б) $a_1 = 3 - \sqrt{5}$, $d = 2\sqrt{5}$, $n = 15$;

в) $a_1 = 9\sqrt{3} - 2$, $d = 2 - \sqrt{3}$, $n = 12$;

г) $a_1 = \frac{5\sqrt{3}-7}{3}$, $d = -\frac{\sqrt{3}-2}{3}$, $n = 9$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

а) Дано: $a_1 = -\sqrt{2}$, $d = 1 + \sqrt{2}$, $n = 7$.

Найдём седьмой член прогрессии ($a_7$):

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

Подставим известные значения в формулу:

$a_7 = -\sqrt{2} + 6(1 + \sqrt{2})$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$a_7 = -\sqrt{2} + 6 + 6\sqrt{2} = 6 + (6\sqrt{2} - \sqrt{2}) = 6 + 5\sqrt{2}$

Ответ: $6 + 5\sqrt{2}$.

б) Дано: $a_1 = 3 - \sqrt{5}$, $d = 2\sqrt{5}$, $n = 15$.

Найдём пятнадцатый член прогрессии ($a_{15}$):

$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$

Подставим известные значения:

$a_{15} = (3 - \sqrt{5}) + 14(2\sqrt{5})$

Выполним вычисления:

$a_{15} = 3 - \sqrt{5} + 28\sqrt{5} = 3 + (28\sqrt{5} - \sqrt{5}) = 3 + 27\sqrt{5}$

Ответ: $3 + 27\sqrt{5}$.

в) Дано: $a_1 = 9\sqrt{3} - 2$, $d = 2 - \sqrt{3}$, $n = 12$.

Найдём двенадцатый член прогрессии ($a_{12}$):

$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$

Подставим известные значения:

$a_{12} = (9\sqrt{3} - 2) + 11(2 - \sqrt{3})$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$a_{12} = 9\sqrt{3} - 2 + 22 - 11\sqrt{3} = (22-2) + (9\sqrt{3} - 11\sqrt{3}) = 20 - 2\sqrt{3}$

Ответ: $20 - 2\sqrt{3}$.

г) Дано: $a_1 = \frac{5\sqrt{3}-7}{3}$, $d = -\frac{\sqrt{3}-2}{3}$, $n = 9$.

Найдём девятый член прогрессии ($a_9$):

$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$

Подставим известные значения:

$a_9 = \frac{5\sqrt{3}-7}{3} + 8 \left(-\frac{\sqrt{3}-2}{3}\right) = \frac{5\sqrt{3}-7}{3} - \frac{8(\sqrt{3}-2)}{3}$

Так как знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$a_9 = \frac{(5\sqrt{3}-7) - 8(\sqrt{3}-2)}{3} = \frac{5\sqrt{3}-7 - 8\sqrt{3} + 16}{3}$

Приведём подобные слагаемые в числителе:

$a_9 = \frac{(5\sqrt{3} - 8\sqrt{3}) + (16 - 7)}{3} = \frac{-3\sqrt{3} + 9}{3}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:

$a_9 = \frac{3(-\sqrt{3} + 3)}{3} = 3 - \sqrt{3}$

Ответ: $3 - \sqrt{3}$.

16.52 Дана конечная арифметическая прогрессия ($a_n$). Найдите $a_1$, если:

а) $d = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$, $n = 24$, $a_n = 10\sqrt{3} - 4$;

б) $d = 1 + q$, $n = 28$, $a_n = 28 + 27q$;

в) $d = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $n = 21$, $a_n = 2\sqrt{3} + 5$;

г) $d = 1 - 3l$, $n = 22$, $a_n = l$.

Для решения всех подпунктов задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим из этой формулы первый член прогрессии $a_1$: $a_1 = a_n - (n-1)d$

а) Дано: $d = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$, $n = 24$, $a_n = 10\sqrt{3} - 4$.
Подставим данные значения в формулу для $a_1$:
$a_1 = (10\sqrt{3} - 4) - (24-1) \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$a_1 = 10\sqrt{3} - 4 - 23 \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$a_1 = 10\sqrt{3} - 4 - \frac{23(\sqrt{3}-1)}{2}$
$a_1 = 10\sqrt{3} - 4 - \frac{23\sqrt{3}-23}{2}$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю 2:
$a_1 = \frac{2(10\sqrt{3} - 4)}{2} - \frac{23\sqrt{3}-23}{2}$
$a_1 = \frac{20\sqrt{3} - 8 - (23\sqrt{3}-23)}{2}$
$a_1 = \frac{20\sqrt{3} - 8 - 23\sqrt{3} + 23}{2}$
$a_1 = \frac{(20\sqrt{3} - 23\sqrt{3}) + (-8 + 23)}{2}$
$a_1 = \frac{-3\sqrt{3} + 15}{2}$
Ответ: $\frac{15 - 3\sqrt{3}}{2}$.

б) Дано: $d = 1 + q$, $n = 28$, $a_n = 28 + 27q$.
Подставим данные значения в формулу для $a_1$:
$a_1 = (28 + 27q) - (28-1) \cdot (1+q)$
$a_1 = 28 + 27q - 27(1+q)$
Раскроем скобки:
$a_1 = 28 + 27q - 27 - 27q$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$a_1 = (28 - 27) + (27q - 27q)$
$a_1 = 1 + 0$
$a_1 = 1$
Ответ: 1.

в) Дано: $d = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $n = 21$, $a_n = 2\sqrt{3} + 5$.
Подставим данные значения в формулу для $a_1$:
$a_1 = (2\sqrt{3} + 5) - (21-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a_1 = 2\sqrt{3} + 5 - 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a_1 = 2\sqrt{3} + 5 - 10\sqrt{3}$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$a_1 = (2\sqrt{3} - 10\sqrt{3}) + 5$
$a_1 = -8\sqrt{3} + 5$
Ответ: $5 - 8\sqrt{3}$.

г) Дано: $d = 1 - 3l$, $n = 22$, $a_n = l$.
Подставим данные значения в формулу для $a_1$:
$a_1 = l - (22-1) \cdot (1 - 3l)$
$a_1 = l - 21(1 - 3l)$
Раскроем скобки:
$a_1 = l - (21 - 63l)$
$a_1 = l - 21 + 63l$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$a_1 = (l + 63l) - 21$
$a_1 = 64l - 21$
Ответ: $64l - 21$.

16.53 Дана конечная арифметическая прогрессия $(a_n)$. Найдите $d$, если:

а) $a_1 = \frac{2\sqrt{3}+3}{2}$, $a_n = -\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$, $n=18$;

б) $a_1 = 3 - 7m$, $a_n = m - 5$, $n=9$;

в) $a_1 = \sqrt{5} - 1$, $a_n = 0$, $n=6$;

г) $a_1 = 13 - 8p$, $a_n = 2p + 3$, $n=11$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии d используется формула n-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим из этой формулы разность d:

$(n-1)d = a_n - a_1$

$d = \frac{a_n - a_1}{n-1}$

Теперь применим эту формулу для каждого из пунктов.

а)

Дано: $a_1 = \frac{2\sqrt{3}+3}{2}$, $a_n = -\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$, $n = 18$.

Подставим известные значения в формулу для d:

$d = \frac{-\frac{2\sqrt{3}-3}{2} - \frac{2\sqrt{3}+3}{2}}{18-1}$

Сначала упростим числитель:

$a_n - a_1 = -\frac{2\sqrt{3}-3}{2} - \frac{2\sqrt{3}+3}{2} = \frac{-(2\sqrt{3}-3) - (2\sqrt{3}+3)}{2} = \frac{-2\sqrt{3}+3 - 2\sqrt{3}-3}{2} = \frac{-4\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3}$

Знаменатель равен $n-1 = 18-1=17$.

Теперь найдем d:

$d = \frac{-2\sqrt{3}}{17}$

Ответ: $d = -\frac{2\sqrt{3}}{17}$.

б)

Дано: $a_1 = 3 - 7m$, $a_n = m - 5$, $n = 9$.

Подставим известные значения в формулу:

$d = \frac{(m - 5) - (3 - 7m)}{9-1}$

Упростим числитель:

$a_n - a_1 = (m - 5) - (3 - 7m) = m - 5 - 3 + 7m = 8m - 8$

Знаменатель равен $n-1 = 9-1=8$.

Теперь найдем d:

$d = \frac{8m - 8}{8} = \frac{8(m-1)}{8} = m-1$

Ответ: $d = m-1$.

в)

Дано: $a_1 = \sqrt{5} - 1$, $a_n = 0$, $n = 6$.

Подставим известные значения в формулу:

$d = \frac{0 - (\sqrt{5} - 1)}{6-1}$

Упростим числитель:

$a_n - a_1 = 0 - (\sqrt{5} - 1) = -\sqrt{5} + 1 = 1 - \sqrt{5}$

Знаменатель равен $n-1 = 6-1=5$.

Теперь найдем d:

$d = \frac{1 - \sqrt{5}}{5}$

Ответ: $d = \frac{1 - \sqrt{5}}{5}$.

г)

Дано: $a_1 = 13 - 8p$, $a_n = 2p + 3$, $n = 11$.

Подставим известные значения в формулу:

$d = \frac{(2p + 3) - (13 - 8p)}{11-1}$

Упростим числитель:

$a_n - a_1 = (2p + 3) - (13 - 8p) = 2p + 3 - 13 + 8p = 10p - 10$

Знаменатель равен $n-1 = 11-1=10$.

Теперь найдем d:

$d = \frac{10p - 10}{10} = \frac{10(p-1)}{10} = p-1$

Ответ: $d = p-1$.

16.54 Дана конечная арифметическая прогрессия ($a_n$). Найдите $n$, если:

а) $a_1 = 5\sqrt{3}$, $d = 1 - \sqrt{3}$, $a_n = 6 - \sqrt{3}$;

б) $a_1 = 5 - \sqrt{2}$, $d = 2\sqrt{2} - 1$, $a_n = 13\sqrt{2} - 2$;

в) $a_1 = 5 - \sqrt{5}$, $d = 2 - \sqrt{5}$, $a_n = 13 - 5\sqrt{5}$;

г) $a_1 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3}$, $d = -\frac{\sqrt{3} - 2}{3}$, $a_n = 1$.

Для нахождения номера $n$ члена арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии. Выразим из этой формулы $n$:

$a_n - a_1 = (n-1)d$

$n-1 = \frac{a_n - a_1}{d}$

$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$

Применим эту формулу для каждого случая.

а) Дано: $a_1 = 5\sqrt{3}$, $d = 1 - \sqrt{3}$, $a_n = 6 - \sqrt{3}$.

Найдем разность $a_n - a_1$:

$a_n - a_1 = (6 - \sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 6 - 6\sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для $n$:

$n = \frac{6 - 6\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} + 1$

Вынесем общий множитель 6 в числителе:

$n = \frac{6(1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} + 1 = 6 + 1 = 7$.

Ответ: $n=7$.

б) Дано: $a_1 = 5 - \sqrt{2}$, $d = 2\sqrt{2} - 1$, $a_n = 13\sqrt{2} - 2$.

Найдем разность $a_n - a_1$:

$a_n - a_1 = (13\sqrt{2} - 2) - (5 - \sqrt{2}) = 13\sqrt{2} - 2 - 5 + \sqrt{2} = 14\sqrt{2} - 7$.

Подставим значения в формулу для $n$:

$n = \frac{14\sqrt{2} - 7}{2\sqrt{2} - 1} + 1$

Вынесем общий множитель 7 в числителе:

$n = \frac{7(2\sqrt{2} - 1)}{2\sqrt{2} - 1} + 1 = 7 + 1 = 8$.

Ответ: $n=8$.

в) Дано: $a_1 = 5 - \sqrt{5}$, $d = 2 - \sqrt{5}$, $a_n = 13 - 5\sqrt{5}$.

Найдем разность $a_n - a_1$:

$a_n - a_1 = (13 - 5\sqrt{5}) - (5 - \sqrt{5}) = 13 - 5\sqrt{5} - 5 + \sqrt{5} = 8 - 4\sqrt{5}$.

Подставим значения в формулу для $n$:

$n = \frac{8 - 4\sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} + 1$

Вынесем общий множитель 4 в числителе:

$n = \frac{4(2 - \sqrt{5})}{2 - \sqrt{5}} + 1 = 4 + 1 = 5$.

Ответ: $n=5$.

г) Дано: $a_1 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3}$, $d = -\frac{\sqrt{3} - 2}{3}$, $a_n = 1$.

Упростим выражение для разности $d$: $d = \frac{-(\sqrt{3} - 2)}{3} = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}$.

Найдем разность $a_n - a_1$:

$a_n - a_1 = 1 - \frac{5\sqrt{3} - 7}{3} = \frac{3}{3} - \frac{5\sqrt{3} - 7}{3} = \frac{3 - (5\sqrt{3} - 7)}{3} = \frac{3 - 5\sqrt{3} + 7}{3} = \frac{10 - 5\sqrt{3}}{3}$.

Подставим значения в формулу для $n$:

$n = \frac{\frac{10 - 5\sqrt{3}}{3}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{3}} + 1$

Сократим знаменатели дробей:

$n = \frac{10 - 5\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} + 1$

Вынесем общий множитель 5 в числителе:

$n = \frac{5(2 - \sqrt{3})}{2 - \sqrt{3}} + 1 = 5 + 1 = 6$.

Ответ: $n=6$.