Страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.5 a) $x_n = \frac{3}{2^n}$;

б) $x_n = 4n + 3$;

в) $x_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n$;

г) $x_n = 125 \cdot 5^{-n}$.

Какие из приведённых геометрических прогрессий являются возрастающими, какие — убывающими?

Чтобы определить, является ли геометрическая прогрессия возрастающей или убывающей, нужно найти её первый член $x_1$ и знаменатель $q$.
Геометрическая прогрессия с положительным первым членом ($x_1 > 0$) является:
- возрастающей, если её знаменатель $q > 1$;
- убывающей, если $0 < q < 1$.
Если последовательность не является геометрической, она не рассматривается.

а) $x_n = \frac{3}{2^n}$

Проверим, является ли данная последовательность геометрической прогрессией. Для этого найдём отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му члену:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3/2^{n+1}}{3/2^n} = \frac{3}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{3} = \frac{2^n}{2^n \cdot 2} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношение $q = \frac{1}{2}$ является константой, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Найдём первый член прогрессии: $x_1 = \frac{3}{2^1} = \frac{3}{2}$.

Так как $x_1 = \frac{3}{2} > 0$ и $0 < q = \frac{1}{2} < 1$, данная геометрическая прогрессия является убывающей.

Ответ: убывающая геометрическая прогрессия.

б) $x_n = 4n + 3$

Проверим, является ли данная последовательность геометрической прогрессией:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{4(n+1)+3}{4n+3} = \frac{4n+7}{4n+3}$

Отношение зависит от $n$ и не является постоянной величиной. Следовательно, эта последовательность не является геометрической прогрессией. (Это возрастающая арифметическая прогрессия с разностью $d=4$).

Ответ: не является геометрической прогрессией.

в) $x_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n$

Проверим, является ли данная последовательность геометрической прогрессией:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{2}{5} \cdot 3^{n+1}}{\frac{2}{5} \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3$

Поскольку отношение $q=3$ является константой, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

Найдём первый член прогрессии: $x_1 = \frac{2}{5} \cdot 3^1 = \frac{6}{5}$.

Так как $x_1 = \frac{6}{5} > 0$ и $q = 3 > 1$, данная геометрическая прогрессия является возрастающей.

Ответ: возрастающая геометрическая прогрессия.

г) $x_n = 125 \cdot 5^{-n}$

Проверим, является ли данная последовательность геометрической прогрессией. Запишем формулу в виде $x_n = 125 \cdot (\frac{1}{5})^n$.

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{125 \cdot 5^{-(n+1)}}{125 \cdot 5^{-n}} = \frac{5^{-n-1}}{5^{-n}} = 5^{-n-1 - (-n)} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

Поскольку отношение $q = \frac{1}{5}$ является константой, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{5}$.

Найдём первый член прогрессии: $x_1 = 125 \cdot 5^{-1} = \frac{125}{5} = 25$.

Так как $x_1 = 25 > 0$ и $0 < q = \frac{1}{5} < 1$, данная геометрическая прогрессия является убывающей.

Ответ: убывающая геометрическая прогрессия.

17.6 а) $3, 9, 27, ...;$

б) $-2, 8, -32, ...;$

В) $4, 1, \frac{1}{4}, ...;$

Г) $\frac{\sqrt{3}}{2}, 1, \frac{2\sqrt{3}}{3}, ....$

а) Данная последовательность чисел 3, 9, 27, ... является геометрической прогрессией, так как отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно. Найдем знаменатель прогрессии $q$.
$q = \frac{9}{3} = 3$
$q = \frac{27}{9} = 3$
Знаменатель прогрессии $q = 3$. Первый член $b_1 = 3$.
Чтобы найти четвертый член прогрессии $b_4$, необходимо третий член $b_3$ умножить на знаменатель $q$:
$b_4 = b_3 \cdot q = 27 \cdot 3 = 81$.
Ответ: 81.

б) Данная последовательность чисел -2, 8, -32, ... является знакочередующейся геометрической прогрессией. Найдем ее знаменатель $q$:
$q = \frac{8}{-2} = -4$
$q = \frac{-32}{8} = -4$
Знаменатель прогрессии $q = -4$. Первый член $b_1 = -2$.
Чтобы найти четвертый член прогрессии $b_4$, необходимо третий член $b_3$ умножить на знаменатель $q$:
$b_4 = b_3 \cdot q = -32 \cdot (-4) = 128$.
Ответ: 128.

в) Данная последовательность чисел 4, 1, $\frac{1}{4}$, ... является геометрической прогрессией. Найдем ее знаменатель $q$:
$q = \frac{1}{4}$
$q = \frac{1/4}{1} = \frac{1}{4}$
Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{4}$. Первый член $b_1 = 4$.
Чтобы найти четвертый член прогрессии $b_4$, необходимо третий член $b_3$ умножить на знаменатель $q$:
$b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

г) Данная последовательность чисел $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 1, $\frac{2\sqrt{3}}{3}$, ... является геометрической прогрессией. Найдем ее знаменатель $q$:
$q = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
$q = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{1} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
Знаменатель прогрессии $q = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Первый член $b_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Чтобы найти четвертый член прогрессии $b_4$, необходимо третий член $b_3$ умножить на знаменатель $q$:
$b_4 = b_3 \cdot q = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^2}{9} = \frac{4 \cdot 3}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

17.7 а) $b_1 = 2, q = \frac{3}{2};$

б) $b_1 = -\sqrt{2}, q = \frac{1}{\sqrt{2}};$

в) $b_1 = -3, q = -5;$

г) $b_1 = 5\sqrt{3}, q = -\frac{3}{5}.$

а) По условию заданы первый член геометрической прогрессии $b_1 = 2$ и ее знаменатель $q = \frac{3}{2}$.
Для нахождения последующих членов прогрессии будем использовать рекуррентную формулу $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
Найдем первые пять членов прогрессии:
$b_1 = 2$
$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$
$b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
$b_4 = b_3 \cdot q = \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{4}$
$b_5 = b_4 \cdot q = \frac{27}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{8}$
Ответ: 2; 3; $\frac{9}{2}$; $\frac{27}{4}$; $\frac{81}{8}$.

б) По условию заданы первый член геометрической прогрессии $b_1 = -\sqrt{2}$ и ее знаменатель $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Найдем первые пять членов прогрессии по формуле $b_{n+1} = b_n \cdot q$:
$b_1 = -\sqrt{2}$
$b_2 = b_1 \cdot q = -\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -1$
$b_3 = b_2 \cdot q = -1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$b_4 = b_3 \cdot q = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$
$b_5 = b_4 \cdot q = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$
Ответ: $-\sqrt{2}$; -1; $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; $-\frac{1}{2}$; $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

в) По условию заданы первый член геометрической прогрессии $b_1 = -3$ и ее знаменатель $q = -5$.
Найдем первые пять членов прогрессии по формуле $b_{n+1} = b_n \cdot q$:
$b_1 = -3$
$b_2 = b_1 \cdot q = (-3) \cdot (-5) = 15$
$b_3 = b_2 \cdot q = 15 \cdot (-5) = -75$
$b_4 = b_3 \cdot q = (-75) \cdot (-5) = 375$
$b_5 = b_4 \cdot q = 375 \cdot (-5) = -1875$
Ответ: -3; 15; -75; 375; -1875.

г) По условию заданы первый член геометрической прогрессии $b_1 = 5\sqrt{3}$ и ее знаменатель $q = -\frac{3}{5}$.
Найдем первые пять членов прогрессии по формуле $b_{n+1} = b_n \cdot q$:
$b_1 = 5\sqrt{3}$
$b_2 = b_1 \cdot q = 5\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -3\sqrt{3}$
$b_3 = b_2 \cdot q = -3\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{9\sqrt{3}}{5}$
$b_4 = b_3 \cdot q = \frac{9\sqrt{3}}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{27\sqrt{3}}{25}$
$b_5 = b_4 \cdot q = -\frac{27\sqrt{3}}{25} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{81\sqrt{3}}{125}$
Ответ: $5\sqrt{3}$; $-3\sqrt{3}$; $\frac{9\sqrt{3}}{5}$; $-\frac{27\sqrt{3}}{25}$; $\frac{81\sqrt{3}}{125}$.

17.8 Найдите знаменатель геометрической прогрессии:

а) $2, \sqrt{2}, 1, ...;$

б) $\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, ...;$

в) $3^{15}, 3^{14}, 3^{13}, ...;$

г) $\frac{12\sqrt{5}}{7}, 6\sqrt{5}, 21\sqrt{5}, ....$

а) Знаменатель геометрической прогрессии $q$ — это число, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. Его можно найти, разделив любой член прогрессии, начиная со второго, на предыдущий: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Для данной прогрессии $2, \sqrt{2}, 1, \dots$ возьмем первые два члена: $b_1 = 2$ и $b_2 = \sqrt{2}$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для проверки возьмем второй и третий члены: $b_2 = \sqrt{2}$ и $b_3 = 1$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Значение знаменателя совпадает, значит, он найден верно.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) Для прогрессии $\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, \dots$ возьмем первые два члена: $b_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ и $b_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$.
Для проверки возьмем второй и третий члены: $b_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $b_3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Значение знаменателя совпадает, значит, он найден верно.
Ответ: $\frac{3}{4}$

в) Для прогрессии $3^{15}, 3^{14}, 3^{13}, \dots$ возьмем первые два члена: $b_1 = 3^{15}$ и $b_2 = 3^{14}$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3^{14}}{3^{15}} = 3^{14-15} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Для проверки возьмем второй и третий члены: $b_2 = 3^{14}$ и $b_3 = 3^{13}$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{3^{13}}{3^{14}} = 3^{13-14} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Значение знаменателя совпадает, значит, он найден верно.
Ответ: $\frac{1}{3}$

г) Для прогрессии $\frac{12\sqrt{5}}{7}, 6\sqrt{5}, 21\sqrt{5}, \dots$ возьмем первые два члена: $b_1 = \frac{12\sqrt{5}}{7}$ и $b_2 = 6\sqrt{5}$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6\sqrt{5}}{\frac{12\sqrt{5}}{7}} = 6\sqrt{5} \cdot \frac{7}{12\sqrt{5}} = \frac{42}{12} = \frac{7}{2}$.
Для проверки возьмем второй и третий члены: $b_2 = 6\sqrt{5}$ и $b_3 = 21\sqrt{5}$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{21\sqrt{5}}{6\sqrt{5}} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
Значение знаменателя совпадает, значит, он найден верно.
Ответ: $\frac{7}{2}$

17.9 Выразите указанные члены геометрической прогрессии $(b_n)$ через $b_1$ и $q:

а) $b_5$; б) $b_{41}$; в) $b_k$; г) $b_{2n}$.

Для того чтобы выразить указанные члены геометрической прогрессии $(b_n)$ через ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$, мы будем использовать основную формулу n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

В этой формуле $b_n$ — это n-й член прогрессии, $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель, а $n$ — порядковый номер члена прогрессии.

а) Чтобы найти $b_5$, мы подставляем $n=5$ в общую формулу:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$b_5 = b_1 \cdot q^4$
Ответ: $b_5 = b_1 \cdot q^4$.

б) Чтобы найти $b_{41}$, мы подставляем $n=41$ в общую формулу:
$b_{41} = b_1 \cdot q^{41-1}$
$b_{41} = b_1 \cdot q^{40}$
Ответ: $b_{41} = b_1 \cdot q^{40}$.

в) Чтобы найти $b_k$, мы подставляем в качестве номера члена переменную $k$, то есть $n=k$:
$b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$
Ответ: $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$.

г) Чтобы найти $b_{2n}$, мы подставляем в качестве номера члена выражение $2n$, то есть вместо $n$ в формуле используем $2n$:
$b_{2n} = b_1 \cdot q^{2n-1}$
Ответ: $b_{2n} = b_1 \cdot q^{2n-1}$.

17.10 Последовательность ($b_n$) — геометрическая прогрессия. Найдите:

a) $b_4$, если $b_1 = 128, q = -\frac{1}{2}$;

б) $b_5$, если $b_1 = 270, q = \frac{1}{3}$;

в) $b_8$, если $b_1 = \frac{1}{5}, q = \sqrt{5}$;

г) $b_6$, если $b_1 = 625, q = -\frac{1}{5}$.

Для решения задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — порядковый номер искомого члена.

а) Найдём $b_4$, если известно, что $b_1 = 128$ и $q = -\frac{1}{2}$.

Подставим данные значения в формулу при $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Выполним вычисление:

$b_4 = 128 \cdot (-\frac{1}{2})^3 = 128 \cdot (-\frac{1^3}{2^3}) = 128 \cdot (-\frac{1}{8})$

$b_4 = -\frac{128}{8} = -16$

Ответ: $b_4 = -16$.

б) Найдём $b_5$, если известно, что $b_1 = 270$ и $q = \frac{1}{3}$.

Подставим данные значения в формулу при $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Выполним вычисление:

$b_5 = 270 \cdot (\frac{1}{3})^4 = 270 \cdot \frac{1^4}{3^4} = 270 \cdot \frac{1}{81}$

$b_5 = \frac{270}{81}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 27:

$b_5 = \frac{270 \div 27}{81 \div 27} = \frac{10}{3}$

Ответ: $b_5 = \frac{10}{3}$.

в) Найдём $b_8$, если известно, что $b_1 = \frac{1}{5}$ и $q = \sqrt{5}$.

Подставим данные значения в формулу при $n=8$:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7$

Выполним вычисление. Сначала упростим степень знаменателя:

$(\sqrt{5})^7 = (\sqrt{5})^6 \cdot \sqrt{5} = ((\sqrt{5})^2)^3 \cdot \sqrt{5} = 5^3 \cdot \sqrt{5} = 125\sqrt{5}$

Теперь найдём $b_8$:

$b_8 = \frac{1}{5} \cdot 125\sqrt{5} = \frac{125\sqrt{5}}{5} = 25\sqrt{5}$

Ответ: $b_8 = 25\sqrt{5}$.

г) Найдём $b_6$, если известно, что $b_1 = 625$ и $q = -\frac{1}{5}$.

Подставим данные значения в формулу при $n=6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

Выполним вычисление. Так как степень нечётная, знак минус сохраняется:

$b_6 = 625 \cdot (-\frac{1}{5})^5 = - (625 \cdot \frac{1^5}{5^5}) = - (625 \cdot \frac{1}{3125})$

Представим 625 как $5^4$ и 3125 как $5^5$ для упрощения:

$b_6 = - \frac{5^4}{5^5} = -5^{4-5} = -5^{-1} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $b_6 = -\frac{1}{5}$.