Страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.44 Разность между вторым и третьим членами геометрической прогрессии равна 18, а их сумма 54. Определите первый член и знаменатель прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$. Тогда второй член прогрессии $b_2 = b_1 q$, а третий член $b_3 = b_1 q^2$.

Согласно условию задачи, сумма второго и третьего членов равна 54: $$b_2 + b_3 = 54$$ $$b_1 q + b_1 q^2 = 54$$ $$b_1 q (1 + q) = 54 \quad (1)$$

Также, разность между вторым и третьим членами равна 18. Это условие можно трактовать двояко, поскольку не указано, из какого члена какой вычитается. Поэтому рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $b_3 - b_2 = 18$

Запишем второе уравнение для этого случая: $$b_1 q^2 - b_1 q = 18$$ $$b_1 q (q - 1) = 18 \quad (2)$$ Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Разделим уравнение (1) на уравнение (2), при условии, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq 1$: $$\frac{b_1 q (1 + q)}{b_1 q (q - 1)} = \frac{54}{18}$$ $$\frac{1 + q}{q - 1} = 3$$ $1 + q = 3(q - 1)$
$1 + q = 3q - 3$
$2q = 4$
$q = 2$
Теперь подставим найденное значение $q$ в уравнение (2), чтобы найти $b_1$:
$b_1 \cdot 2 \cdot (2 - 1) = 18$
$b_1 \cdot 2 \cdot 1 = 18$
$2b_1 = 18$
$b_1 = 9$
Таким образом, первая пара решений: $b_1 = 9, q = 2$.

Случай 2: $b_2 - b_3 = 18$

Запишем второе уравнение для этого случая: $$b_1 q - b_1 q^2 = 18$$ $$b_1 q (1 - q) = 18 \quad (3)$$ Теперь решим систему из уравнений (1) и (3). Разделим уравнение (1) на уравнение (3), при условии, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq 1$: $$\frac{b_1 q (1 + q)}{b_1 q (1 - q)} = \frac{54}{18}$$ $$\frac{1 + q}{1 - q} = 3$$ $1 + q = 3(1 - q)$
$1 + q = 3 - 3q$
$4q = 2$
$q = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Подставим найденное значение $q$ в уравнение (3), чтобы найти $b_1$:
$b_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{2}) = 18$
$b_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 18$
$b_1 \cdot \frac{1}{4} = 18$
$b_1 = 18 \cdot 4 = 72$
Таким образом, вторая пара решений: $b_1 = 72, q = \frac{1}{2}$.

Задача имеет два возможных решения, так как условие о разности можно истолковать двумя способами.

Ответ: первый член равен 9 и знаменатель равен 2, или первый член равен 72 и знаменатель равен $\frac{1}{2}$.

17.45 Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести членов, зная, что сумма трёх первых членов равна 14, а трёх последних 112.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6$ из шести членов. Первый член прогрессии обозначим как $b_1$, а знаменатель прогрессии как $q$.

По условию задачи, сумма трёх первых членов равна 14. Запишем это в виде уравнения:
$b_1 + b_2 + b_3 = 14$
Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:
$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 14$
Вынесем $b_1$ за скобки:
$b_1(1 + q + q^2) = 14$ (1)

Также по условию, сумма трёх последних членов равна 112. Запишем второе уравнение:
$b_4 + b_5 + b_6 = 112$
Выразим эти члены прогрессии через $b_1$ и $q$:
$b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = 112$
Вынесем за скобки общий множитель $b_1q^3$:
$b_1q^3(1 + q + q^2) = 112$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 14 \\ b_1q^3(1 + q + q^2) = 112 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это возможно, так как из первого уравнения следует, что $b_1(1 + q + q^2) \neq 0$.
$\frac{b_1q^3(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{112}{14}$
Сократив общие множители в левой части, получаем:
$q^3 = 8$
Отсюда находим знаменатель $q$:
$q = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь, зная знаменатель $q=2$, подставим его значение в первое уравнение, чтобы найти первый член прогрессии $b_1$:
$b_1(1 + 2 + 2^2) = 14$
$b_1(1 + 2 + 4) = 14$
$b_1 \cdot 7 = 14$
$b_1 = \frac{14}{7}$
$b_1 = 2$

Зная первый член $b_1=2$ и знаменатель $q=2$, мы можем составить искомую геометрическую прогрессию из шести членов, последовательно умножая каждый член на знаменатель:

$b_1 = 2$
$b_2 = 2 \cdot 2 = 4$
$b_3 = 4 \cdot 2 = 8$
$b_4 = 8 \cdot 2 = 16$
$b_5 = 16 \cdot 2 = 32$
$b_6 = 32 \cdot 2 = 64$

Проверим, удовлетворяет ли полученная прогрессия условиям задачи:
Сумма первых трёх членов: $2 + 4 + 8 = 14$. Верно.
Сумма последних трёх членов: $16 + 32 + 64 = 112$. Верно.

Ответ: искомая геометрическая прогрессия: 2, 4, 8, 16, 32, 64.

17.46 Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию. Объём параллелепипеда равен 216 $м^3$, а сумма длин всех его рёбер равна 104 м. Найдите измерения параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) образуют геометрическую прогрессию. Обозначим их как $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Для удобства расчетов представим их в виде $b_1 = \frac{a}{q}$, $b_2 = a$, $b_3 = aq$, где $a$ — средний член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Объём параллелепипеда $V$ равен произведению его измерений. По условию задачи, объём равен 216 м³.$V = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = \frac{a}{q} \cdot a \cdot aq = a^3$

Составим и решим уравнение для нахождения среднего члена $a$:$a^3 = 216$$a = \sqrt[3]{216}$$a = 6$ м.

Таким образом, одно из измерений параллелепипеда равно 6 м, а два других равны $\frac{6}{q}$ и $6q$.

Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $L = 4(b_1 + b_2 + b_3)$. По условию, эта сумма равна 104 м.$4(\frac{6}{q} + 6 + 6q) = 104$

Разделим обе части уравнения на 4:$\frac{6}{q} + 6 + 6q = \frac{104}{4}$$\frac{6}{q} + 6 + 6q = 26$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:$\frac{6}{q} + 6q = 26 - 6$$\frac{6}{q} + 6q = 20$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $q$ (при $q \ne 0$):$6 + 6q^2 = 20q$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2+Bx+C=0$:$6q^2 - 20q + 6 = 0$

Для упрощения разделим все коэффициенты на 2:$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$q = \frac{-(-10) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии $q$:$q_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$q_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь найдём набор измерений для каждого из значений $q$. Измерения равны $\frac{6}{q}$, 6 и $6q$.
- При $q = 3$ измерения равны: $\frac{6}{3} = 2$ м, $6$ м, $6 \cdot 3 = 18$ м.
- При $q = \frac{1}{3}$ измерения равны: $\frac{6}{1/3} = 18$ м, $6$ м, $6 \cdot \frac{1}{3} = 2$ м.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор измерений. Проверим их:
- Геометрическая прогрессия: 2, 6, 18 (знаменатель 3).
- Объём: $V = 2 \cdot 6 \cdot 18 = 216$ м³.
- Сумма длин рёбер: $L = 4(2 + 6 + 18) = 4(26) = 104$ м.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: измерения параллелепипеда равны 2 м, 6 м и 18 м.

17.47 Найдите сумму квадратов первых шести членов геометрической прогрессии ($b_n$):

а) $b_1 = 3, q = \sqrt{2};$

в) $b_1 = 9\sqrt{3}, q = \frac{1}{\sqrt{3}};$

б) $b_1 = \sqrt{5}, q = \sqrt{6};$

г) $b_1 = \sqrt{12}, q = (\sqrt{2})^{-1}.$

Найдите сумму:

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Требуется найти сумму квадратов её первых шести членов: $S = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 + b_5^2 + b_6^2$.

Последовательность, состоящая из квадратов членов исходной прогрессии, то есть $c_n = b_n^2$, также является геометрической прогрессией. Общий член исходной прогрессии равен $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Тогда общий член новой последовательности равен $c_n = (b_1 \cdot q^{n-1})^2 = b_1^2 \cdot (q^2)^{n-1}$.

Это формула общего члена геометрической прогрессии, у которой первый член $c_1 = b_1^2$, а знаменатель $q' = q^2$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{c_1(q'^n - 1)}{q' - 1}$ (при $q' \neq 1$). Для нашего случая $n=6$, поэтому мы будем искать сумму $S_6 = \frac{c_1(q'^6 - 1)}{q' - 1}$.

а) Дано: $b_1 = 3, q = \sqrt{2}$.

Находим параметры новой прогрессии квадратов: первый член $c_1 = b_1^2 = 3^2 = 9$; знаменатель $q' = q^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Вычисляем сумму первых шести членов: $S_6 = \frac{c_1(q'^6 - 1)}{q' - 1} = \frac{9(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{9(64 - 1)}{1} = 9 \cdot 63 = 567$.

Ответ: 567.

б) Дано: $b_1 = \sqrt{5}, q = \sqrt{6}$.

Находим параметры новой прогрессии квадратов: первый член $c_1 = b_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$; знаменатель $q' = q^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$.

Вычисляем сумму: $S_6 = \frac{c_1(q'^6 - 1)}{q' - 1} = \frac{5(6^6 - 1)}{6 - 1} = \frac{5(6^6 - 1)}{5} = 6^6 - 1$. $6^6 = 46656$. $S_6 = 46656 - 1 = 46655$.

Ответ: 46655.

в) Дано: $b_1 = 9\sqrt{3}, q = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Находим параметры новой прогрессии квадратов: первый член $c_1 = b_1^2 = (9\sqrt{3})^2 = 81 \cdot 3 = 243$; знаменатель $q' = q^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$.

Поскольку знаменатель $q' < 1$, для удобства используем формулу $S_n = \frac{c_1(1 - q'^n)}{1 - q'}$. $S_6 = \frac{243(1 - (\frac{1}{3})^6)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{243(1 - \frac{1}{729})}{\frac{2}{3}} = \frac{243 \cdot \frac{728}{729}}{\frac{2}{3}}$. Учитывая, что $729 = 3 \cdot 243$, имеем: $S_6 = \frac{\frac{728}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{728}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{728}{2} = 364$.

Ответ: 364.

г) Дано: $b_1 = \sqrt{12}, q = (\sqrt{2})^{-1}$.

Упростим $q = (\sqrt{2})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Находим параметры новой прогрессии квадратов: первый член $c_1 = b_1^2 = (\sqrt{12})^2 = 12$; знаменатель $q' = q^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$.

Вычисляем сумму, используя формулу для $q' < 1$: $S_6 = \frac{c_1(1 - q'^6)}{1 - q'} = \frac{12(1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{12(1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = \frac{12(\frac{63}{64})}{\frac{1}{2}}$. $S_6 = 12 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = 24 \cdot \frac{63}{64}$. Сократим дробь на 8: $S_6 = \frac{3 \cdot 63}{8} = \frac{189}{8}$.

Ответ: $\frac{189}{8}$.

17.48 a) $1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^8;$

б) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \dots + \frac{1}{2^{10}};$

B) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^6};$

Г) $1 - 3 + 3^2 - 3^3 + \dots - 3^9.$

а) $1 + 2 + 2^2 + ... + 2^8$

Данная сумма является суммой членов конечной геометрической прогрессии $(b_n)$.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{1} = 2$.

Члены прогрессии можно представить в виде $2^0, 2^1, 2^2, ..., 2^8$. Таким образом, количество членов в прогрессии $n = 8 - 0 + 1 = 9$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим наши значения в формулу:

$S_9 = \frac{1 \cdot (2^9 - 1)}{2 - 1} = \frac{512 - 1}{1} = 511$.

Ответ: $511$.

б) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - ... + \frac{1}{2^{10}}$

Эта сумма является суммой членов конечной геометрической прогрессии $(b_n)$ с чередующимися знаками, что указывает на отрицательный знаменатель.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}$.

Члены прогрессии можно представить в виде $(-\frac{1}{2})^0, (-\frac{1}{2})^1, (-\frac{1}{2})^2, ..., (-\frac{1}{2})^{10}$. Следовательно, количество членов $n = 10 - 0 + 1 = 11$.

Используем ту же формулу суммы: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения:

$S_{11} = \frac{1 \cdot ((-\frac{1}{2})^{11} - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{-\frac{1}{2048} - 1}{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{2049}{2048}}{-\frac{3}{2}} = \frac{2049}{2048} \cdot \frac{2}{3} = \frac{683}{1024}$.

Ответ: $\frac{683}{1024}$.

в) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^6}$

Это сумма членов конечной геометрической прогрессии $(b_n)$.

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/3^2}{1/3} = \frac{1}{3}$.

Члены прогрессии можно представить в виде $(\frac{1}{3})^1, (\frac{1}{3})^2, ..., (\frac{1}{3})^6$. Таким образом, количество членов $n = 6$.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, которая удобна при $|q| < 1$.

Подставим значения:

$S_6 = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^6)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{729})}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{728}{729}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} = \frac{728}{2 \cdot 729} = \frac{364}{729}$.

Ответ: $\frac{364}{729}$.

г) $1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... - 3^9$

Это сумма членов конечной геометрической прогрессии $(b_n)$ с чередующимися знаками.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-3}{1} = -3$.

Последний член прогрессии $-3^9$ можно записать как $(-3)^9$. Члены прогрессии имеют вид $(-3)^0, (-3)^1, ..., (-3)^9$. Количество членов $n = 9 - 0 + 1 = 10$.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения:

$S_{10} = \frac{1 \cdot ((-3)^{10} - 1)}{-3 - 1} = \frac{3^{10} - 1}{-4}$.

Вычислим $3^{10} = 59049$.

$S_{10} = \frac{59049 - 1}{-4} = \frac{59048}{-4} = -14762$.

Ответ: $-14762$.

17.49 a) $1 + x + x^2 + \dots + x^{100}$;

б) $x + x^3 + x^5 + \dots + x^{35}$;

В) $x^2 - x^4 + x^6 - \dots - x^{20}$;

Г) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \dots + \frac{1}{x^{40}}$, $x \neq 0$.

а)

Данное выражение $1 + x + x^2 + \ldots + x^{100}$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x}{1} = x$.

Чтобы найти число членов $n$, заметим, что показатели степени $x$ принимают значения от $0$ ($x^0=1$) до $100$. Общее число членов равно $100 - 0 + 1 = 101$. Итак, $n=101$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$ при $q \neq 1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если знаменатель $q = 1$, то есть $x=1$. В этом случае формула неприменима, а сумма представляет собой сложение 101 единицы: $S_{101} = 1 + 1 + \ldots + 1 = 101$.

2. Если знаменатель $q \neq 1$, то есть $x \neq 1$. Применяем формулу суммы:

$S_{101} = 1 \cdot \frac{x^{101} - 1}{x - 1} = \frac{x^{101} - 1}{x - 1}$.

Ответ: $101$ при $x=1$; $\frac{x^{101} - 1}{x - 1}$ при $x \neq 1$.

б)

Данное выражение $x + x^3 + x^5 + \ldots + x^{35}$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = x$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x^3}{x} = x^2$.

Для нахождения числа членов $n$ воспользуемся формулой n-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$. Последний член $b_n = x^{35}$.

$x^{35} = x \cdot (x^2)^{n-1} = x \cdot x^{2(n-1)} = x^{1+2n-2} = x^{2n-1}$.

Приравнивая показатели степени, получаем $35 = 2n-1$, откуда $2n = 36$ и $n = 18$.

Используем формулу суммы $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$ при $q \neq 1$.

Рассмотрим случаи:

1. Если знаменатель $q = 1$, то есть $x^2 = 1$, что означает $x=1$ или $x=-1$.

- При $x=1$: $S_{18} = 1 + 1^3 + \ldots + 1^{35} = \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{18 \text{ раз}} = 18$.

- При $x=-1$: $S_{18} = -1 + (-1)^3 + \ldots + (-1)^{35} = \underbrace{-1 - 1 - \ldots - 1}_{18 \text{ раз}} = -18$.

2. Если знаменатель $q \neq 1$, то есть $x^2 \neq 1$ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$). Применяем формулу:

$S_{18} = x \frac{(x^2)^{18} - 1}{x^2 - 1} = x \frac{x^{36} - 1}{x^2 - 1}$.

Ответ: $18$ при $x=1$; $-18$ при $x=-1$; $x \frac{x^{36} - 1}{x^2 - 1}$ при $x \neq \pm 1$.

в)

Данное выражение $x^2 - x^4 + x^6 - \ldots - x^{20}$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии со знакочередованием.

Первый член прогрессии $b_1 = x^2$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{-x^4}{x^2} = -x^2$.

n-й член прогрессии имеет вид $b_n = b_1 q^{n-1} = x^2 (-x^2)^{n-1} = (-1)^{n-1} x^{2n}$. Последний член равен $-x^{20}$.

Приравнивая $b_n$ к последнему члену, получаем: $(-1)^{n-1} x^{2n} = -x^{20}$.

Из равенства степеней $x$ следует, что $2n=20$, откуда $n=10$. Проверим знак: для $n=10$ множитель $(-1)^{10-1} = (-1)^9 = -1$, что соответствует знаку последнего члена. Итак, в прогрессии $n=10$ членов.

Воспользуемся формулой суммы $S_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$.

Знаменатель $1-q = 1 - (-x^2) = 1+x^2$. Для любого действительного $x$, $x^2 \ge 0$, следовательно $1+x^2 \ge 1$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому нет необходимости рассматривать особые случаи.

Подставляем наши значения в формулу:

$S_{10} = x^2 \frac{1 - (-x^2)^{10}}{1 - (-x^2)} = x^2 \frac{1 - (x^2)^{10}}{1 + x^2} = \frac{x^2(1 - x^{20})}{1 + x^2}$.

Ответ: $\frac{x^2(1 - x^{20})}{1 + x^2}$.

г)

Данное выражение $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \ldots + \frac{1}{x^{40}}$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии (при условии $x \neq 0$).

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{x}$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{1/x^2}{1/x} = \frac{1}{x}$.

Показатели степени $x$ в знаменателе принимают значения от 1 до 40, следовательно, в прогрессии $n=40$ членов.

Используем формулу суммы $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$ при $q \neq 1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если знаменатель $q = 1$, то есть $\frac{1}{x}=1$, что означает $x=1$. В этом случае сумма равна сумме 40 единиц: $S_{40} = \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{40 \text{ раз}} = 40$.

2. Если знаменатель $q \neq 1$, то есть $x \neq 1$ (и $x \neq 0$ по условию). Применяем формулу:

$S_{40} = \frac{1}{x} \cdot \frac{(\frac{1}{x})^{40} - 1}{\frac{1}{x} - 1} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{40}} - 1}{\frac{1-x}{x}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1-x^{40}}{x^{40}}}{\frac{1-x}{x}}$.

Упростим полученное выражение, "перевернув" дробь в знаменателе:

$S_{40} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1-x^{40}}{x^{40}} \cdot \frac{x}{1-x} = \frac{1-x^{40}}{x^{40}(1-x)}$.

Ответ: $40$ при $x=1$; $\frac{1-x^{40}}{x^{40}(1-x)}$ при $x \neq 1, x \neq 0$.

17.50 Докажите, что в конечной геометрической прогрессии, имеющей чётное число членов, отношение суммы членов, стоящих на чётных местах, к сумме членов, стоящих на нечётных местах, равно знаменателю прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $b_n$, первый член которой равен $b_1$, а знаменатель равен $q$. По условию, число членов в прогрессии чётное. Обозначим это число как $n=2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда последовательность членов прогрессии имеет вид: $b_1, b_2, b_3, \dots, b_{2k}$.

Обозначим сумму членов, стоящих на нечётных местах, как $S_{нечёт}$: $S_{нечёт} = b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2k-1}$

Обозначим сумму членов, стоящих на чётных местах, как $S_{чёт}$: $S_{чёт} = b_2 + b_4 + b_6 + \dots + b_{2k}$

Согласно определению геометрической прогрессии, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на знаменатель $q$. Это означает, что для любого натурального $m$: $b_{m} = b_{m-1} \cdot q$. Применим это свойство к членам, стоящим на чётных местах:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_4 = b_3 \cdot q$

$b_6 = b_5 \cdot q$

...

$b_{2k} = b_{2k-1} \cdot q$

Теперь подставим эти выражения в формулу для суммы членов, стоящих на чётных местах: $S_{чёт} = (b_1 \cdot q) + (b_3 \cdot q) + (b_5 \cdot q) + \dots + (b_{2k-1} \cdot q)$

Вынесем общий множитель $q$ за скобки: $S_{чёт} = q \cdot (b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2k-1})$

Выражение в скобках в точности равно сумме членов, стоящих на нечётных местах, то есть $S_{нечёт}$. Следовательно, мы можем записать: $S_{чёт} = q \cdot S_{нечёт}$

Найдём отношение суммы членов, стоящих на чётных местах, к сумме членов, стоящих на нечётных местах. Для этого разделим обе части полученного равенства на $S_{нечёт}$ (при условии, что $S_{нечёт} \neq 0$): $\frac{S_{чёт}}{S_{нечёт}} = \frac{q \cdot S_{нечёт}}{S_{нечёт}}$

Сократив дробь, получаем: $\frac{S_{чёт}}{S_{нечёт}} = q$

Таким образом, доказано, что искомое отношение равно знаменателю прогрессии $q$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

17.51 Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т. д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

Данная задача описывает процесс экспоненциального роста, который можно смоделировать с помощью геометрической прогрессии. Изначально у нас есть одна бактерия. Каждые 20 минут количество бактерий удваивается.

1. Определим количество циклов деления в сутках.

В сутках 24 часа. В каждом часе 60 минут. Следовательно, общее количество минут в сутках составляет:

$24 \text{ часа} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 1440 \text{ минут}$

Поскольку деление происходит каждые 20 минут, найдем общее количество циклов деления $n$ за сутки:

$n = \frac{1440 \text{ минут}}{20 \text{ минут/цикл}} = 72 \text{ цикла}$

2. Определим количество бактерий.

Количество бактерий удваивается в каждом цикле. Этот процесс можно описать формулой геометрической прогрессии $N = N_0 \times q^n$, где:

• $N$ – конечное число бактерий,
• $N_0$ – начальное число бактерий (в нашем случае $N_0 = 1$),
• $q$ – знаменатель прогрессии (поскольку число удваивается, $q = 2$),
• $n$ – число циклов деления (мы нашли, что $n = 72$).

Подставим наши значения в формулу:

$N = 1 \times 2^{72} = 2^{72}$

Таким образом, к концу суток из одной бактерии образуется $2^{72}$ бактерий.

Ответ: $2^{72}$.