Страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какую функцию называют возрастающей, а какую — убывающей?

Возрастающей называют функцию, у которой большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Это означает, что при увеличении значения $x$, значение $y$ также увеличивается. График такой функции при движении слева направо идет вверх.

Формальное определение: функция $y = f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Пример: линейная функция $y = 3x - 2$ является возрастающей на всей числовой прямой, так как для любого $x_2 > x_1$ будет выполняться $(3x_2 - 2) > (3x_1 - 2)$. Другой пример — функция $y = x^3$.

Ответ: Функцию называют возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из её области определения, где $x_2 > x_1$, выполняется строгое неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Убывающей называют функцию, у которой большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Это означает, что при увеличении значения $x$, значение $y$ уменьшается. График такой функции при движении слева направо идет вниз.

Формальное определение: функция $y = f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Пример: линейная функция $y = -2x + 5$ является убывающей на всей числовой прямой, так как для любого $x_2 > x_1$ будет выполняться $(-2x_2 + 5) < (-2x_1 + 5)$. Другой пример — функция $y = \frac{1}{x}$ на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Функцию называют убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из её области определения, где $x_2 > x_1$, выполняется строгое неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

2. Как, глядя на график функции, найти промежутки её монотонности? Проиллюстрируйте свой ответ по графику какой-нибудь кусочной функции.

Как найти промежутки монотонности по графику функции

Промежутки монотонности — это интервалы по оси абсцисс (оси $x$), на которых функция ведет себя предсказуемо: только возрастает, только убывает или является постоянной. Чтобы найти их, глядя на график, нужно мысленно "пройти" по кривой слева направо и определить, куда она направлена.

• Промежутки возрастания: это участки, где график функции при движении слева направо идет вверх. Формально, функция $f(x)$ возрастает на интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, выполняется условие $f(x_1) < f(x_2)$.
• Промежутки убывания: это участки, где график функции при движении слева направо идет вниз. Формально, функция $f(x)$ убывает на интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, выполняется условие $f(x_1) > f(x_2)$.
• Промежутки постоянства: это участки, где график представляет собой горизонтальную прямую. На таких участках значение функции не меняется. Формально, $f(x_1) = f(x_2)$ для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала.

Точки, в которых возрастание сменяется убыванием (локальные максимумы) или убывание сменяется возрастанием (локальные минимумы), называются точками экстремума. Они служат границами промежутков монотонности.

Ответ: Для нахождения промежутков монотонности по графику необходимо определить интервалы по оси $x$, на которых график функции поднимается (возрастание), опускается (убывание) или является горизонтальной линией (постоянство). Границами этих интервалов являются точки экстремумов и точки "перелома" графика.

Иллюстрация на примере кусочной функции

Рассмотрим график некоторой кусочной функции и определим ее промежутки монотонности.

Анализируем график, двигаясь слева направо по оси $x$:

1. На промежутке от $-\infty$ до $x = -2$ график идет вниз. Это значит, что функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$.
2. В точке $x = -2$ находится локальный минимум. Здесь убывание сменяется возрастанием.
3. На промежутке от $x = -2$ до $x = 1$ график идет вверх. Это значит, что функция возрастает на промежутке $[-2, 1]$.
4. На промежутке от $x = 1$ до $x = 4$ график представляет собой горизонтальный отрезок. Это значит, что функция постоянна на промежутке $[1, 4]$.
5. При $x = 4$ постоянство сменяется убыванием.
6. На промежутке от $x = 4$ до $+\infty$ график снова идет вниз. Это значит, что функция убывает на промежутке $[4, +\infty)$.

Объединяя участки с одинаковым поведением, получаем окончательный результат.

Ответ:
Функция возрастает на промежутке: $[-2, 1]$.
Функция убывает на промежутках: $(-\infty, -2]$ и $[4, +\infty)$.
Функция постоянна на промежутке: $[1, 4]$.

3. Какую функцию называют ограниченной снизу, а какую – ограниченной сверху?

Функция, ограниченная снизу

Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной снизу на некотором множестве $X$ (которое является частью её области определения), если существует такое действительное число $m$, что для любого значения аргумента $x$ из множества $X$ выполняется неравенство:

$f(x) \ge m$

Это означает, что у всех значений функции на данном множестве есть "нижняя планка", или нижняя граница, которую они не могут пересечь. Геометрически это значит, что график функции на множестве $X$ полностью расположен выше (или касается) некоторой горизонтальной прямой $y=m$.

Пример: Парабола $y=x^2$ является функцией, ограниченной снизу на всей области определения ($X = \mathbb{R}$). Для любого действительного числа $x$ значение $x^2$ будет неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. В данном случае в качестве нижней границы $m$ можно взять число 0 или любое число меньше нуля (например, -1, -5 и т.д.).

Ответ: Функцию называют ограниченной снизу, если существует число $m$, такое, что все значения функции больше или равны этому числу.

Функция, ограниченная сверху

Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной сверху на некотором множестве $X$ (которое является частью её области определения), если существует такое действительное число $M$, что для любого значения аргумента $x$ из множества $X$ выполняется неравенство:

$f(x) \le M$

Это означает, что у всех значений функции на данном множестве есть "верхняя планка", или верхняя граница, которую они не могут превысить. Геометрически это значит, что график функции на множестве $X$ полностью расположен ниже (или касается) некоторой горизонтальной прямой $y=M$.

Пример: Парабола $y=-x^2+4$ является функцией, ограниченной сверху на всей области определения ($X = \mathbb{R}$). Так как $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$, и, следовательно, $-x^2+4 \le 4$. В данном случае в качестве верхней границы $M$ можно взять число 4 или любое число больше четырёх (например, 5, 10 и т.д.).

Ответ: Функцию называют ограниченной сверху, если существует число $M$, такое, что все значения функции меньше или равны этому числу.

4. Как, глядя на график функции, установить, является ли она:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

а) ограниченной снизу

Чтобы по графику функции установить, является ли она ограниченной снизу, нужно проверить, существует ли горизонтальная прямая, ниже которой нет ни одной точки графика.

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех значений $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Число $m$ называют нижней границей функции.

Геометрически это означает, что можно провести горизонтальную прямую $y=m$ таким образом, что весь график функции будет расположен не ниже этой прямой. Если такая прямая существует, функция ограничена снизу.

Ответ: Функция является ограниченной снизу, если её график целиком лежит выше некоторой горизонтальной прямой.

б) ограниченной сверху

Чтобы по графику функции установить, является ли она ограниченной сверху, нужно проверить, существует ли горизонтальная прямая, выше которой нет ни одной точки графика.

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех значений $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$. Число $M$ называют верхней границей функции.

Геометрически это означает, что можно провести горизонтальную прямую $y=M$ таким образом, что весь график функции будет расположен не выше этой прямой. Если такая прямая существует, функция ограничена сверху.

Ответ: Функция является ограниченной сверху, если её график целиком лежит ниже некоторой горизонтальной прямой.

в) ограниченной

Функция называется ограниченной, если она одновременно ограничена и снизу, и сверху. Чтобы установить это по графику, нужно проверить, можно ли заключить весь график функции в горизонтальную полосу конечной ширины.

Формально, функция $y=f(x)$ является ограниченной, если существуют такие числа $m$ и $M$, что для всех $x$ из области определения выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$.

Геометрически это означает, что весь график функции находится между двумя горизонтальными прямыми $y=m$ и $y=M$. Если можно найти такую "полосу", в которой лежит весь график, то функция является ограниченной.

Ответ: Функция является ограниченной, если её график целиком можно заключить в горизонтальную полосу между двумя прямыми.

5. Дайте определение наименьшего (наибольшего) значения функции на некотором промежутке из области определения функции.

Наименьшее значение функции

Число $m$ называется наименьшим значением функции $y=f(x)$ на некотором промежутке $X$ (принадлежащем области определения функции), если одновременно выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0$ в промежутке $X$, для которой значение функции равно $m$. Математически это записывается как: существует $x_0 \in X$ такой, что $f(x_0) = m$.

2. Для любой точки $x$ из промежутка $X$ значение функции не меньше, чем $m$. Математически это записывается как: для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Иными словами, наименьшее значение — это самое маленькое из всех значений, которые функция принимает на данном промежутке, и при этом оно должно достигаться хотя бы в одной точке этого промежутка. Наименьшее значение функции на промежутке $X$ принято обозначать как $\min_{x \in X} f(x)$ или $y_{наим}$.

Ответ: число $m$ называется наименьшим значением функции $y = f(x)$ на промежутке $X$, если существует точка $x_0 \in X$ такая, что $f(x_0) = m$, и для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Наибольшее значение функции

Число $M$ называется наибольшим значением функции $y=f(x)$ на некотором промежутке $X$ (принадлежащем области определения функции), если одновременно выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0$ в промежутке $X$, для которой значение функции равно $M$. Математически это записывается как: существует $x_0 \in X$ такой, что $f(x_0) = M$.

2. Для любой точки $x$ из промежутка $X$ значение функции не больше, чем $M$. Математически это записывается как: для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Иными словами, наибольшее значение — это самое большое из всех значений, которые функция принимает на данном промежутке, и оно также должно достигаться хотя бы в одной точке этого промежутка. Наибольшее значение функции на промежутке $X$ принято обозначать как $\max_{x \in X} f(x)$ или $y_{наиб}$.

Ответ: число $M$ называется наибольшим значением функции $y = f(x)$ на промежутке $X$, если существует точка $x_0 \in X$ такая, что $f(x_0) = M$, и для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

6. Известно, что у функции есть наименьшее значение. Является ли она ограниченной снизу? ограниченной сверху?

Является ли она ограниченной снизу?
Да, является. По определению, функция $f(x)$ имеет наименьшее значение $m$, если существует такое число $x_0$ из области определения функции, что $f(x_0) = m$, и для любого другого $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \ge m$.
Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $L$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge L$.
Если у функции есть наименьшее значение $m$, то это значение $m$ (или любое число, меньшее $m$) может быть взято в качестве числа $L$. Таким образом, существование наименьшего значения гарантирует, что функция ограничена снизу.
Ответ: да, является.

Является ли она ограниченной сверху?
Нет, не обязательно. Наличие наименьшего значения не накладывает никаких ограничений на то, насколько большими могут быть значения функции. Функция может быть неограниченной сверху.
Рассмотрим в качестве примера квадратичную функцию $y = x^2$. Ее область значений — это промежуток $[0, +\infty)$. Наименьшее значение этой функции равно $0$ и достигается в точке $x = 0$. Однако, эта функция не является ограниченной сверху, так как ее значения могут быть сколь угодно большими при увеличении $|x|$.
Следовательно, функция, имеющая наименьшее значение, не обязательно является ограниченной сверху.
Ответ: нет, не обязательно.

7. Известно, что у функции есть наибольшее значение. Является ли она ограниченной снизу? ограниченной сверху?

ограниченной сверху? Да, является. По определению, если у функции $f(x)$ есть наибольшее значение, которое мы обозначим как $M$ , то для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$ . Это и есть определение функции, ограниченной сверху, где число $M$ выступает в качестве верхней границы.
Ответ: Да, является.

ограниченной снизу? Нет, не обязательно. Наличие наибольшего значения ничего не говорит о том, есть ли у функции наименьшее значение или нижняя граница. Значения функции могут убывать до минус бесконечности.
В качестве примера можно привести параболу $y = -x^2$ . У этой функции есть наибольшее значение, равное 0 (в точке $x=0$ ). Однако она не ограничена снизу, так как при $x \to \pm\infty$ , значения $y$ стремятся к $-\infty$ .
Ответ: Нет, не обязательно.

8. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной снизу на некотором промежутке и достигающей на этом промежутке своего наименьшего значения.

Для иллюстрации требуемых свойств рассмотрим квадратичную функцию $y = f(x) = x^2$ на замкнутом промежутке (отрезке) $X = [-2, 3]$.

1. Графическое представление функции

Графиком функции $y = x^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, точке $(0, 0)$. На промежутке $[-2, 3]$ мы рассматриваем часть этой параболы, которая начинается в точке $(-2, 4)$, проходит через вершину $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(3, 9)$.

2. Ограниченность функции снизу

Функция называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из $X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Для функции $y = x^2$ на промежутке $[-2, 3]$ такое условие выполняется. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то для любого $x \in [-2, 3]$ справедливо неравенство $x^2 \ge 0$. Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом $m = 0$. Все точки графика на данном промежутке лежат не ниже прямой $y = 0$ (оси абсцисс).

3. Достижение наименьшего значения

Функция достигает своего наименьшего значения на множестве $X$, если существует точка $x_0 \in X$, в которой значение функции равно ее точной нижней грани на этом множестве.

В нашем случае наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-2, 3]$ равно $0$. Это значение функция принимает в точке $x_0 = 0$. Поскольку точка $x_0 = 0$ принадлежит промежутку $[-2, 3]$, мы можем утверждать, что функция достигает своего наименьшего значения на этом промежутке. На графике это точка $(0, 0)$ — вершина параболы, которая является самой низкой точкой графика на рассматриваемом отрезке.

Ответ: Примером функции, заданной графически, ограниченной снизу на некотором промежутке и достигающей на этом промежутке своего наименьшего значения, является функция $y=x^2$ на промежутке $[-2, 3]$. Эта функция ограничена снизу числом $0$ (так как $x^2 \ge 0$ для всех $x$), и она достигает своего наименьшего значения $y_{min}=0$ в точке $x=0$, которая принадлежит данному промежутку. Графическое представление приведено выше.

9. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной снизу на некотором промежутке и не имеющей на этом промежутке наименьшего значения.

Для того чтобы привести пример функции, которая на некотором промежутке ограничена снизу, но не имеет на нем наименьшего значения, необходимо найти такую функцию, значения которой стремятся к некоторой нижней границе, но никогда её не достигают.

Функция называется ограниченной снизу на промежутке, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из этого промежутка значение функции $f(x) \ge M$. Число $M$ называют нижней границей.

Функция не имеет наименьшего значения на промежутке, если для любой точки $x_0$ из этого промежутка найдется другая точка $x_1$ из того же промежутка, такая что $f(x_1) < f(x_0)$. Это означает, что точная нижняя грань (инфимум) значений функции на промежутке не достигается.

Такая ситуация часто возникает, когда промежуток, на котором рассматривается функция, является открытым или полуоткрытым.

Рассмотрим в качестве примера простую линейную функцию $f(x) = x$ на открытом промежутке $(1, 3)$.

Эта функция ограничена снизу на промежутке $(1, 3)$. Поскольку для любого $x$ из этого промежутка выполняется неравенство $x > 1$, то и $f(x) > 1$. Таким образом, число 1 (или любое число меньше 1) является нижней границей для данной функции на этом промежутке.

При этом функция не имеет наименьшего значения на промежутке $(1, 3)$. Множество значений функции на этом промежутке представляет собой интервал $(1, 3)$. Точная нижняя грань этого множества — 1. Однако ни при каком $x \in (1, 3)$ значение функции не будет равно 1. Мы можем подходить к значению 1 сколь угодно близко (например, $f(1.00001) = 1.00001$), но никогда его не достигнем. Для любого значения $f(x_0)$ можно найти значение $f(x_1)$ еще меньше, взяв $x_1$ ближе к 1, чем $x_0$. Следовательно, наименьшее значение отсутствует.

Графически эта функция на заданном промежутке выглядит как отрезок прямой $y=x$, у которого концы, соответствующие точкам $(1, 1)$ и $(3, 3)$, исключены ("выколоты").

На графике показана функция $y=x$ на промежутке $(1, 3)$. Синий отрезок — это график функции. Белые ("выколотые") кружки на концах отрезка в точках $(1, 1)$ и $(3, 3)$ показывают, что эти точки не принадлежат графику.

Ответ: Примером функции, ограниченной снизу на некотором промежутке, но не имеющей на нем наименьшего значения, является функция $f(x) = x$, рассмотренная на открытом промежутке, например, $x \in (1, 3)$. На этом промежутке функция ограничена снизу числом 1 (так как $f(x) > 1$ для всех $x \in (1, 3)$), но наименьшее значение не достигается, поскольку значения функции могут быть сколь угодно близки к 1, но никогда не равны ему. Графическое представление данной функции на указанном промежутке приведено на рисунке выше.

10. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной сверху на некотором промежутке и достигающей на этом промежутке своего наибольшего значения.

Чтобы привести пример функции, удовлетворяющей заданным условиям, рассмотрим функцию, заданную графически. Наиболее наглядным примером является парабола.

Выберем функцию, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз. Пусть вершина этой параболы находится в точке с координатами $(2, 4)$. Такая функция имеет явный максимум в своей вершине.

Теперь определим промежуток, на котором мы будем рассматривать эту функцию. Возьмем промежуток, который включает в себя абсциссу вершины, например, отрезок $X = [0, 5]$.

На выбранном промежутке $X = [0, 5]$ функция ограничена сверху. Поскольку вершина в точке $(2, 4)$ является самой высокой точкой на всем графике, то для любой точки $x$ из отрезка $[0, 5]$ значение функции $y(x)$ не превышает 4. Таким образом, выполняется условие $y(x) \le 4$, и число 4 является верхней границей для значений функции на этом промежутке.

Также на этом промежутке функция достигает своего наибольшего значения. Это наибольшее значение равно 4 и достигается в точке $x=2$. Так как точка $x=2$ принадлежит отрезку $[0, 5]$, то условие выполнено.

График, который мы описали, может быть задан, например, аналитической формулой $y = -(x-2)^2 + 4$.

Ответ: Примером является функция, заданная графически как парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(2, 4)$. На промежутке $[0, 5]$ эта функция ограничена сверху (например, числом 4) и достигает своего наибольшего значения $y_{наиб} = 4$ в точке $x = 2$, которая принадлежит этому промежутку.

11. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной сверху на некотором промежутке и не имеющей на этом промежутке наибольшего значения.

Для того чтобы функция была ограничена сверху на некотором промежутке, но не имела на нем наибольшего значения, необходимо, чтобы ее значения приближались к некоторой верхней границе, но никогда ее не достигали. Такая ситуация возникает, когда точная верхняя грань (супремум) множества значений функции на данном промежутке не принадлежит этому множеству.

Рассмотрим в качестве примера линейную функцию $f(x) = x$ на полуинтервале $X = [0, 1)$.

1. Ограниченность сверху. Множеством значений данной функции на промежутке $[0, 1)$ является полуинтервал $[0, 1)$. Для любого значения $y$ из этого множества выполняется неравенство $y < 1$. Следовательно, существует число, которое больше или равно любому значению функции, например, число $M=1$. Это означает, что функция $f(x) = x$ ограничена сверху на промежутке $[0, 1)$.

2. Отсутствие наибольшего значения. Наибольшее значение функции на промежутке — это такое ее значение, которое не меньше всех остальных значений на этом промежутке. Точной верхней гранью (супремумом) множества значений $[0, 1)$ является число 1. Однако, само число 1 не принадлежит этому множеству. Для любого значения $f(x_0) = x_0$, где $x_0 \in [0, 1)$, можно найти другое значение $x_1 = (x_0 + 1) / 2$, которое также принадлежит промежутку $[0, 1)$ и для которого $f(x_1) = x_1 > x_0 = f(x_0)$. Это означает, что какого бы «кандидата» на наибольшее значение мы ни взяли, всегда найдется значение больше. Таким образом, функция не имеет наибольшего значения на данном промежутке.

Графическое представление:

График функции $f(x) = x$ на промежутке $[0, 1)$ представляет собой отрезок прямой линии, соединяющий точку $(0, 0)$ и точку $(1, 1)$. При этом точка $(0, 0)$ принадлежит графику (так как $0 \in [0, 1)$) и изображается закрашенным кружком, а точка $(1, 1)$ не принадлежит графику (так как $1 \notin [0, 1)$) и изображается пустым (выколотым) кружком.

На графике видно, что все точки функции лежат ниже или на прямой $y=1$. При этом точка $(1, 1)$, которая соответствовала бы наибольшему значению, выколота, то есть не принадлежит графику функции на заданном промежутке.

Ответ: Примером такой функции является $f(x) = x$ на промежутке $[0, 1)$. Функция ограничена сверху числом 1, но не имеет на этом промежутке наибольшего значения, так как ее значения стремятся к 1, но никогда его не достигают. График функции представлен выше.

12. Приведите пример аналитически заданной функции, непрерывной на некотором промежутке и такой, что:

а) у неё существуют на этом промежутке и наименьшее, и наибольшее значения;

б) у неё нет на этом промежутке ни наименьшего, ни наибольшего значения;

в) у неё на этом промежутке есть наименьшее, но нет наибольшего значения;

г) у неё на этом промежутке есть наибольшее, но нет наименьшего значения.

а) у неё существуют на этом промежутке и наименьшее, и наибольшее значения;
Согласно первой теореме Вейерштрасса, любая функция, непрерывная на замкнутом промежутке (отрезке), достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Поэтому для выполнения этого условия достаточно взять любую непрерывную функцию, заданную на отрезке.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$ на отрезке $[1, 2]$. Эта функция является непрерывной на всей числовой оси, и в частности на отрезке $[1, 2]$. На этом промежутке функция монотонно возрастает.

• Наименьшее значение достигается в левой границе отрезка: $y_{наим} = f(1) = 1^2 = 1$.
• Наибольшее значение достигается в правой границе отрезка: $y_{наиб} = f(2) = 2^2 = 4$.

Таким образом, на данном промежутке существуют и наименьшее, и наибольшее значения.
Ответ: функция $f(x) = x^2$ на промежутке $[1, 2]$.

б) у неё нет на этом промежутке ни наименьшего, ни наибольшего значения;
Чтобы у непрерывной функции не было ни наименьшего, ни наибольшего значения, её необходимо рассматривать на промежутке, который не является замкнутым, например, на открытом интервале. Значения функции на концах такого интервала должны быть её точной верхней (супремум) и точной нижней (инфимум) гранями, но сами эти значения не должны достигаться.
Рассмотрим простейшую линейную функцию $f(x) = x$ на открытом интервале $(0, 1)$.

• Функция непрерывна на этом интервале.
• Множеством значений функции на этом интервале является интервал $(0, 1)$.
• Точная нижняя грань (инфимум) значений функции равна 0, но не существует такого $x \in (0, 1)$, чтобы $f(x) = 0$. Следовательно, наименьшего значения нет.
• Точная верхняя грань (супремум) значений функции равна 1, но не существует такого $x \in (0, 1)$, чтобы $f(x) = 1$. Следовательно, наибольшего значения нет.

Другим примером может служить функция $f(x) = \tan(x)$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, которая не ограничена ни снизу, ни сверху.
Ответ: функция $f(x) = x$ на промежутке $(0, 1)$.

в) у неё на этом промежутке есть наименьшее, но нет наибольшего значения;
Для этого случая можно рассмотреть функцию на промежутке, который замкнут с одной стороны (где достигается минимум) и открыт с другой, либо на бесконечном промежутке.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$ на промежутке $[0, +\infty)$.

• Функция непрерывна на этом промежутке.
• В точке $x=0$ функция принимает своё наименьшее значение: $y_{наим} = f(0) = 0$.
• Функция не ограничена сверху, так как при $x \to +\infty$, значение $f(x) \to +\infty$. Это означает, что для любого числа $M > 0$ можно найти такое значение $x$, что $f(x) > M$. Следовательно, наибольшего значения у функции на этом промежутке нет.

Альтернативный пример: функция $f(x) = x$ на полуинтервале $[0, 1)$. Наименьшее значение $f(0)=0$, а наибольшего не существует, так как $f(x)$ стремится к 1, но не достигает этого значения.
Ответ: функция $f(x) = x^2$ на промежутке $[0, +\infty)$.

г) у неё на этом промежутке есть наибольшее, но нет наименьшего значения.
Этот случай зеркален предыдущему. Необходимо рассмотреть функцию на таком промежутке, где она достигает своего максимума, но не ограничена снизу или стремится к инфимуму на открытом конце промежутка.
Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2$ на промежутке $(-\infty, 0]$.

• Функция непрерывна на этом промежутке.
• В точке $x=0$ функция принимает своё наибольшее значение: $y_{наиб} = f(0) = -0^2 = 0$.
• Функция не ограничена снизу, так как при $x \to -\infty$, значение $f(x) \to -\infty$. Следовательно, наименьшего значения у функции на этом промежутке нет.

Альтернативный пример: функция $f(x) = \sin(x)$ на полуинтервале $(0, \pi]$. Наибольшее значение $f(\pi/2) = 1$ достигается внутри промежутка. Наименьшего значения нет, так как инфимум функции равен 0, но он не достигается (при $x \to 0^+$ и $x \to \pi^-$ функция стремится к 0).
Ответ: функция $f(x) = -x^2$ на промежутке $(-\infty, 0]$.

17.32 Найдите те значения переменной $t$, при которых числа $t$, $4t$, $8$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению его соседей. Математически это записывается как $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

В нашем случае даны числа $t$, $4t$ и $8$. Примем их за последовательные члены геометрической прогрессии:

$b_1 = t$

$b_2 = 4t$

$b_3 = 8$

Подставим эти значения в характеристическое свойство:

$(4t)^2 = t \cdot 8$

Решим полученное уравнение:

$16t^2 = 8t$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$16t^2 - 8t = 0$

Вынесем общий множитель $8t$ за скобки:

$8t(2t - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

1) $8t = 0 \implies t = 0$

2) $2t - 1 = 0 \implies 2t = 1 \implies t = 1/2$

Теперь проверим оба значения. По определению, члены геометрической прогрессии должны быть отличны от нуля (или, по крайней мере, первый член и знаменатель должны быть ненулевыми).

Если $t = 0$, то последовательность чисел будет: $0, 0, 8$. Эта последовательность не является геометрической прогрессией, так как отношение второго члена к первому ($0/0$) не определено, а отношение третьего ко второму ($8/0$) также не определено. Следовательно, значение $t=0$ не является решением.

Если $t = 1/2$, то последовательность чисел будет:

$b_1 = 1/2$

$b_2 = 4 \cdot (1/2) = 2$

$b_3 = 8$

Получили последовательность $1/2, 2, 8$. Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = b_2 / b_1 = 2 / (1/2) = 4$

$q = b_3 / b_2 = 8 / 2 = 4$

Так как отношения соседних членов равны, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=4$. Следовательно, значение $t = 1/2$ является решением.

Ответ: $t = 1/2$.

17.33 Найдите те значения переменной $y$, при которых числа $-81$, $3y$, $-1$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть данные числа являются последовательными членами геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3$. По условию, $b_1 = -81$, $b_2 = 3y$ и $b_3 = -1$.

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов. Это можно записать в виде формулы: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи: $(3y)^2 = (-81) \cdot (-1)$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $y$: $9y^2 = 81$

Разделим обе части уравнения на 9: $y^2 = \frac{81}{9}$ $y^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим возможные значения $y$: $y = \sqrt{9}$ или $y = -\sqrt{9}$ $y_1 = 3$ $y_2 = -3$

Мы получили два значения для переменной $y$. Выполним проверку для каждого из них.

1. Если $y = 3$, то последовательность чисел будет: $-81, 3 \cdot 3, -1$, то есть $-81, 9, -1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{9}{-81} = -\frac{1}{9}$.
Проверим, получается ли третий член из второго: $b_3 = b_2 \cdot q = 9 \cdot (-\frac{1}{9}) = -1$. Это значение соответствует условию.

2. Если $y = -3$, то последовательность чисел будет: $-81, 3 \cdot (-3), -1$, то есть $-81, -9, -1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{-9}{-81} = \frac{1}{9}$.
Проверим, получается ли третий член из второго: $b_3 = b_2 \cdot q = -9 \cdot (\frac{1}{9}) = -1$. Это значение также соответствует условию.

Следовательно, оба найденных значения $y$ являются решениями задачи.

Ответ: -3; 3.

17.34 Найдите те значения переменной $x$, при которых числа $x - 1$, $\sqrt{3x}$, $6x$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть данные числа $b_1 = x - 1$, $b_2 = \sqrt{3x}$ и $b_3 = 6x$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Для того чтобы три числа были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться ее характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних. В виде формулы это записывается как $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Прежде чем решать уравнение, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как в задаче есть выражение с квадратным корнем $\sqrt{3x}$, подкоренное выражение не может быть отрицательным: $3x \geq 0$ $x \geq 0$

Теперь подставим данные нам выражения в формулу характеристического свойства геометрической прогрессии: $(\sqrt{3x})^2 = (x - 1) \cdot 6x$

Решим это уравнение: $3x = 6x^2 - 6x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: $6x^2 - 6x - 3x = 0$ $6x^2 - 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x(2x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения: 1) $3x = 0 \implies x_1 = 0$ 2) $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_2 = \frac{3}{2}$

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \geq 0$). Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \geq 0$. Корень $x_2 = \frac{3}{2}$ также удовлетворяет условию, так как $\frac{3}{2} \geq 0$. Следовательно, оба значения являются потенциальными решениями.

Проведем проверку, подставив найденные значения $x$ в исходные выражения.

Для $x = 0$: Первый член: $x - 1 = 0 - 1 = -1$ Второй член: $\sqrt{3x} = \sqrt{3 \cdot 0} = 0$ Третий член: $6x = 6 \cdot 0 = 0$ Получилась последовательность: $-1, 0, 0$. Это геометрическая прогрессия, знаменатель которой $q = \frac{0}{-1} = 0$.

Для $x = \frac{3}{2}$: Первый член: $x - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ Второй член: $\sqrt{3x} = \sqrt{3 \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ Третий член: $6x = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$ Получилась последовательность: $\frac{1}{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}, 9$. Проверим характеристическое свойство: $(\frac{3}{\sqrt{2}})^2 = \frac{9}{2}$. Произведение крайних членов: $\frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2}$. Равенство выполняется, значит, это геометрическая прогрессия.

Оба найденных значения $x$ являются решениями задачи.

Ответ: $0; \frac{3}{2}$.

17.35 Клиент взял в банке кредит в размере 50 000 евро на 5 лет под 20 % годовых. Какую сумму он в итоге выплатит, если условия погашения кредита таковы:

a) проценты возвращаются в банк ежегодно;

б) весь кредит с процентами возвращается в банк в конце срока?

а) проценты возвращаются в банк ежегодно;

В данном случае применяется схема с простыми процентами. Клиент каждый год выплачивает проценты, начисленные на исходную сумму кредита, а в конце всего срока возвращает основную сумму ("тело кредита").

Исходные данные:

• Сумма кредита (P): $50000$ евро
• Годовая процентная ставка (r): $20\%$ или $0,2$
• Срок кредита (t): $5$ лет

1. Рассчитаем сумму процентов, которую клиент выплачивает каждый год:
Ежегодный платеж по процентам = $P \cdot r = 50000 \cdot 0,2 = 10000$ евро.

2. Рассчитаем общую сумму выплаченных процентов за весь срок кредита:
Общая сумма процентов = (Ежегодный платеж по процентам) $\cdot t = 10000 \cdot 5 = 50000$ евро.

3. Итоговая сумма, которую выплатит клиент, состоит из общей суммы процентов и основной суммы кредита, которая возвращается в конце срока:
Общая выплата = (Общая сумма процентов) + P = $50000 + 50000 = 100000$ евро.

Ответ: 100 000 евро.

б) весь кредит с процентами возвращается в банк в конце срока?

В этом случае проценты ежегодно начисляются на текущую сумму долга (включая ранее начисленные проценты), но не выплачиваются до конца срока. Это расчет по формуле сложных процентов.

Формула для расчета итоговой суммы (A) при сложных процентах:
$A = P \cdot (1 + r)^t$
где $P$ – первоначальная сумма, $r$ – годовая процентная ставка в долях, $t$ – количество лет.

1. Подставим наши значения в формулу:
$A = 50000 \cdot (1 + 0,2)^5$
$A = 50000 \cdot (1,2)^5$

2. Вычислим $(1,2)^5$:
$(1,2)^5 = 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 = 2,48832$.

3. Рассчитаем итоговую сумму к возврату:
$A = 50000 \cdot 2,48832 = 124416$ евро.

Ответ: 124 416 евро.

17.36 Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, заданной формулой n-го члена:

а) $b_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n;$

б) $b_n = \frac{0,3}{(-5)^{n-1}};$

в) $b_n = \frac{5}{2^n};$

г) $b_n = -\frac{1}{7} \cdot 2^{n+1}.$

Чтобы найти первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$) геометрической прогрессии, можно использовать два основных подхода:
1. Найти первые два члена прогрессии, подставив $n=1$ и $n=2$ в заданную формулу. Первый член будет равен $b_1$, а знаменатель $q$ можно найти по формуле $q = \frac{b_2}{b_1}$.
2. Привести заданную формулу к стандартному виду формулы n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Из этого вида можно сразу определить $b_1$ и $q$.

а) Дана формула n-го члена: $b_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n$.

Найдем первый член $b_1$, подставив $n=1$:

$b_1 = \frac{2}{5} \cdot 3^1 = \frac{6}{5}$.

Найдем второй член $b_2$, подставив $n=2$:

$b_2 = \frac{2}{5} \cdot 3^2 = \frac{2}{5} \cdot 9 = \frac{18}{5}$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{18}{5}}{\frac{6}{5}} = \frac{18}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Проверка через приведение к стандартному виду:

$b_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n = \frac{2}{5} \cdot 3 \cdot 3^{n-1} = \frac{6}{5} \cdot 3^{n-1}$.

Сравнивая с $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, получаем $b_1 = \frac{6}{5}$ и $q = 3$.

Ответ: $b_1 = \frac{6}{5}$, $q = 3$.

б) Дана формула n-го члена: $b_n = \frac{0,3}{(-5)^{n-1}}$.

Формулу можно переписать в стандартном виде $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_n = 0,3 \cdot \frac{1}{(-5)^{n-1}} = 0,3 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}$.

Из этого вида сразу видно, что:

Первый член $b_1 = 0,3$.

Знаменатель $q = -\frac{1}{5}$.

Проверка через вычисление первых двух членов:

$b_1 = \frac{0,3}{(-5)^{1-1}} = \frac{0,3}{(-5)^0} = \frac{0,3}{1} = 0,3$.

$b_2 = \frac{0,3}{(-5)^{2-1}} = \frac{0,3}{-5} = -0,06$.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-0,06}{0,3} = -\frac{6}{30} = -\frac{1}{5}$.

Ответ: $b_1 = 0,3$, $q = -\frac{1}{5}$.

в) Дана формула n-го члена: $b_n = \frac{5}{2^n}$.

Найдем первый член $b_1$ ($n=1$):

$b_1 = \frac{5}{2^1} = \frac{5}{2}$.

Найдем второй член $b_2$ ($n=2$):

$b_2 = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4}$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Проверка через приведение к стандартному виду:

$b_n = \frac{5}{2^n} = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Сравнивая с $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, получаем $b_1 = \frac{5}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$.

Ответ: $b_1 = \frac{5}{2}$, $q = \frac{1}{2}$.

г) Дана формула n-го члена: $b_n = -\frac{1}{7} \cdot 2^{n+1}$.

Найдем первый член $b_1$ ($n=1$):

$b_1 = -\frac{1}{7} \cdot 2^{1+1} = -\frac{1}{7} \cdot 2^2 = -\frac{4}{7}$.

Найдем второй член $b_2$ ($n=2$):

$b_2 = -\frac{1}{7} \cdot 2^{2+1} = -\frac{1}{7} \cdot 2^3 = -\frac{8}{7}$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{8}{7}}{-\frac{4}{7}} = \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Проверка через приведение к стандартному виду:

Используем свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$. Нам нужен показатель $n-1$, поэтому представим $n+1$ как $(n-1)+2$.

$b_n = -\frac{1}{7} \cdot 2^{(n-1)+2} = -\frac{1}{7} \cdot 2^2 \cdot 2^{n-1} = -\frac{4}{7} \cdot 2^{n-1}$.

Сравнивая с $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, получаем $b_1 = -\frac{4}{7}$ и $q = 2$.

Ответ: $b_1 = -\frac{4}{7}$, $q = 2$.

17.37 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены геометрической прогрессии ($b_n$) будут больше числа A:

a) $b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$, $A = 324$;

б) $b_n = 3,5 \cdot (\sqrt{2})^{n-2}$, $A = 14$;

в) $b_n = 2 \cdot 5^{n-1}$, $A = 1250$;

г) $b_n = \frac{2}{5} \cdot (\sqrt{3})^{n+3}$, $A = 32,4$.

а)

Для того чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого все члены геометрической прогрессии $b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ будут больше числа $A = 324$, необходимо решить неравенство $b_n > A$.

$4 \cdot 3^{n-1} > 324$

Разделим обе части неравенства на 4:

$3^{n-1} > \frac{324}{4}$

$3^{n-1} > 81$

Представим число 81 в виде степени с основанием 3: $81 = 3^4$.

$3^{n-1} > 3^4$

Так как основание степени 3 больше 1, то для показателей степени неравенство сохраняет свой знак:

$n - 1 > 4$

$n > 5$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 6. Поскольку знаменатель прогрессии $q=3 > 1$, она является возрастающей, и все члены, начиная с шестого, будут больше 324.

Ответ: 6.

б)

Решим неравенство $b_n > A$ для $b_n = 3,5 \cdot (\sqrt{2})^{n-2}$ и $A = 14$.

$3,5 \cdot (\sqrt{2})^{n-2} > 14$

Разделим обе части на 3,5:

$(\sqrt{2})^{n-2} > \frac{14}{3,5}$

$(\sqrt{2})^{n-2} > 4$

Представим обе части неравенства в виде степени с основанием 2: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ и $4 = 2^2$.

$(2^{1/2})^{n-2} > 2^2$

$2^{\frac{n-2}{2}} > 2^2$

Так как основание степени 2 больше 1, переходим к неравенству для показателей:

$\frac{n-2}{2} > 2$

$n - 2 > 4$

$n > 6$

Наименьшее целое число $n$, которое больше 6, это 7. Знаменатель прогрессии $q=\sqrt{2} > 1$, значит, она возрастающая.

Ответ: 7.

в)

Решим неравенство $b_n > A$ для $b_n = 2 \cdot 5^{n-1}$ и $A = 1250$.

$2 \cdot 5^{n-1} > 1250$

Разделим обе части на 2:

$5^{n-1} > \frac{1250}{2}$

$5^{n-1} > 625$

Представим 625 в виде степени с основанием 5: $625 = 5^4$.

$5^{n-1} > 5^4$

Так как основание 5 больше 1, получаем:

$n - 1 > 4$

$n > 5$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 6. Знаменатель прогрессии $q=5 > 1$, значит, она возрастающая.

Ответ: 6.

г)

Решим неравенство $b_n > A$ для $b_n = \frac{2}{5} \cdot (\sqrt{3})^{n+3}$ и $A = 32,4$.

$\frac{2}{5} \cdot (\sqrt{3})^{n+3} > 32,4$

Преобразуем $32,4$ в обыкновенную дробь: $32,4 = \frac{324}{10} = \frac{162}{5}$.

$\frac{2}{5} \cdot (\sqrt{3})^{n+3} > \frac{162}{5}$

Умножим обе части на $\frac{5}{2}$:

$(\sqrt{3})^{n+3} > \frac{162}{5} \cdot \frac{5}{2}$

$(\sqrt{3})^{n+3} > 81$

Представим обе части в виде степени с основанием 3: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ и $81 = 3^4$.

$(3^{1/2})^{n+3} > 3^4$

$3^{\frac{n+3}{2}} > 3^4$

Так как основание 3 больше 1:

$\frac{n+3}{2} > 4$

$n + 3 > 8$

$n > 5$

Наименьшее целое число $n$, которое больше 5, это 6. Знаменатель прогрессии $q=\sqrt{3} > 1$, значит, она возрастающая.

Ответ: 6.