Страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.55 Является ли число $b$ членом заданной арифметической прогрессии $(a_n)$? Если да, то укажите номер этого члена.

а) $a_n = 13 - 0,4n$, $b = 4,6;$

б) $a_n = 3n - 5,7$, $b = 69,4;$

в) $a_n = 5n - 104$, $b = 21;$

г) $a_n = 21,3 - 1,7n$, $b = 4,3.$

Для того чтобы определить, является ли число $b$ членом арифметической прогрессии $(a_n)$, необходимо приравнять формулу $n$-го члена $a_n$ к числу $b$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Если решение $n$ является натуральным числом (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), то число $b$ является членом прогрессии с номером $n$. В противном случае — не является.

а) $a_n = 13 - 0{,}4n, b = 4{,}6$

Составим и решим уравнение $a_n = b$:

$13 - 0{,}4n = 4{,}6$

Перенесем слагаемые, чтобы выделить член с $n$:

$0{,}4n = 13 - 4{,}6$

$0{,}4n = 8{,}4$

Теперь найдем $n$:

$n = \frac{8{,}4}{0{,}4} = \frac{84}{4}$

$n = 21$

Поскольку мы получили натуральное число $n = 21$, это означает, что число $4{,}6$ является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 21.

б) $a_n = 3n - 5{,}7, b = 69{,}4$

Составим и решим уравнение $a_n = b$:

$3n - 5{,}7 = 69{,}4$

Перенесем слагаемые:

$3n = 69{,}4 + 5{,}7$

$3n = 75{,}1$

Найдем $n$:

$n = \frac{75{,}1}{3}$

$n \approx 25{,}033...$

Полученное значение $n$ не является натуральным числом. Следовательно, число $69{,}4$ не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Нет, не является.

в) $a_n = 5n - 104, b = 21$

Составим и решим уравнение $a_n = b$:

$5n - 104 = 21$

Перенесем слагаемые:

$5n = 21 + 104$

$5n = 125$

Найдем $n$:

$n = \frac{125}{5}$

$n = 25$

Поскольку $n = 25$ — натуральное число, число $21$ является 25-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 25.

г) $a_n = 21{,}3 - 1{,}7n, b = 4{,}3$

Составим и решим уравнение $a_n = b$:

$21{,}3 - 1{,}7n = 4{,}3$

Перенесем слагаемые:

$1{,}7n = 21{,}3 - 4{,}3$

$1{,}7n = 17$

Найдем $n$:

$n = \frac{17}{1{,}7} = \frac{170}{17}$

$n = 10$

Поскольку $n = 10$ — натуральное число, число $4{,}3$ является 10-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 10.

16.56 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии ($a_n$) будут меньше заданного числа $A$:

а) $a_n = 12 - 3n, A = -41$;

б) $a_n = 3\sqrt{3} - n\sqrt{3}, A = -7$;

в) $a_n = 117 - 5.5n, A = 10$;

г) $a_n = 15\sqrt{2} - n(\sqrt{2} - 1), A = -1$.

Для решения задачи необходимо для каждого случая найти наименьший натуральный номер $n$, для которого выполняется неравенство $a_n < A$. Поскольку во всех случаях разность арифметической прогрессии отрицательна, последовательности являются убывающими. Это значит, что если неравенство $a_n < A$ выполняется для некоторого номера $n$, оно будет выполняться и для всех последующих номеров $m > n$.

Дано: $a_n = 12 - 3n$, $A = -41$.

Составим и решим неравенство $a_n < A$:

$12 - 3n < -41$

Перенесем 12 в правую часть:

$-3n < -41 - 12$

$-3n < -53$

Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$n > \frac{-53}{-3}$

$n > \frac{53}{3}$

Выделим целую часть:

$\frac{53}{3} = 17 \frac{2}{3}$

Таким образом, $n > 17 \frac{2}{3}$. Поскольку $n$ — это номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 18.

Ответ: 18.

Дано: $a_n = 3\sqrt{3} - n\sqrt{3}$, $A = -7$.

Составим и решим неравенство $a_n < A$:

$3\sqrt{3} - n\sqrt{3} < -7$

Вынесем $\sqrt{3}$ за скобки:

$\sqrt{3}(3 - n) < -7$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$ (знак неравенства не меняется, так как $\sqrt{3} > 0$):

$3 - n < -\frac{7}{\sqrt{3}}$

Перенесем 3 в правую часть:

$-n < -3 - \frac{7}{\sqrt{3}}$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$n > 3 + \frac{7}{\sqrt{3}}$

Оценим значение правой части. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.

$\frac{7}{\sqrt{3}} \approx \frac{7}{1.732} \approx 4.041$

Тогда $n > 3 + 4.041$, то есть $n > 7.041$.

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 8.

Ответ: 8.

Дано: $a_n = 117 - 5.5n$, $A = 10$.

Составим и решим неравенство $a_n < A$:

$117 - 5.5n < 10$

Перенесем 117 в правую часть:

$-5.5n < 10 - 117$

$-5.5n < -107$

Разделим обе части на -5.5, изменив знак неравенства на противоположный:

$n > \frac{-107}{-5.5}$

$n > \frac{107}{5.5}$

$n > \frac{1070}{55}$

$n > \frac{214}{11}$

Выделим целую часть:

$\frac{214}{11} = 19 \frac{5}{11}$

Таким образом, $n > 19 \frac{5}{11}$. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 20.

Ответ: 20.

Дано: $a_n = 15\sqrt{2} - n(\sqrt{2}-1)$, $A = -1$.

Составим и решим неравенство $a_n < A$:

$15\sqrt{2} - n(\sqrt{2}-1) < -1$

Перенесем $15\sqrt{2}$ в правую часть:

$-n(\sqrt{2}-1) < -1 - 15\sqrt{2}$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$n(\sqrt{2}-1) > 1 + 15\sqrt{2}$

Разделим обе части на $(\sqrt{2}-1)$. Так как $\sqrt{2} > 1$, то $(\sqrt{2}-1) > 0$, и знак неравенства не меняется:

$n > \frac{1 + 15\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$:

$n > \frac{(1 + 15\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{1 \cdot \sqrt{2} + 1 \cdot 1 + 15\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 15\sqrt{2} \cdot 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1 + 15 \cdot 2 + 15\sqrt{2}}{2 - 1}$

$n > \frac{31 + 16\sqrt{2}}{1}$

$n > 31 + 16\sqrt{2}$

Оценим значение правой части. Приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$.

$16\sqrt{2} \approx 16 \cdot 1.414 = 22.624$

Тогда $n > 31 + 22.624$, то есть $n > 53.624$.

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 54.

Ответ: 54.

16.57 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии ($a_n$) будут больше заданного числа $A$:

a) $a_n = 7n - 121, A = \sqrt{3};$

б) $a_n = n\sqrt{2} - 4\sqrt{2}, A = 21;$

в) $a_n = 5n - 17,7, A = 2 + 3\sqrt{5};$

г) $a_n = n(\sqrt{5} - 1) - 3\sqrt{5}, A = 5.$

Для каждого случая необходимо решить неравенство $a_n > A$ относительно $n$ и найти наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству.

а) Дана прогрессия $a_n = 7n - 121$ и число $A = \sqrt{3}$.

Составим и решим неравенство $a_n > A$:

$7n - 121 > \sqrt{3}$

$7n > 121 + \sqrt{3}$

$n > \frac{121 + \sqrt{3}}{7}$

Чтобы найти наименьшее целое $n$, оценим значение правой части. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, следовательно $1 < \sqrt{3} < 2$.

Тогда $121 + 1 < 121 + \sqrt{3} < 121 + 2$, то есть $122 < 121 + \sqrt{3} < 123$.

Поделим на 7:

$\frac{122}{7} < \frac{121 + \sqrt{3}}{7} < \frac{123}{7}$

$17\frac{3}{7} < \frac{121 + \sqrt{3}}{7} < 17\frac{4}{7}$

Таким образом, $n > 17.something$. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 18.

Ответ: 18.

б) Дана прогрессия $a_n = n\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$ и число $A = 21$.

Составим и решим неравенство $a_n > A$:

$n\sqrt{2} - 4\sqrt{2} > 21$

$\sqrt{2}(n - 4) > 21$

$n - 4 > \frac{21}{\sqrt{2}}$

$n > 4 + \frac{21}{\sqrt{2}}$

Упростим выражение: $\frac{21}{\sqrt{2}} = \frac{21\sqrt{2}}{2} = 10.5\sqrt{2}$.

$n > 4 + 10.5\sqrt{2}$

Оценим значение правой части, используя приближение $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$n > 4 + 10.5 \cdot 1.414 = 4 + 14.847 = 18.847$

Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 18.847, — это 19.

Ответ: 19.

в) Дана прогрессия $a_n = 5n - 17.7$ и число $A = 2 + 3\sqrt{5}$.

Составим и решим неравенство $a_n > A$:

$5n - 17.7 > 2 + 3\sqrt{5}$

$5n > 19.7 + 3\sqrt{5}$

$n > \frac{19.7 + 3\sqrt{5}}{5}$

Оценим значение правой части, используя приближение $\sqrt{5} \approx 2.236$:

$n > \frac{19.7 + 3 \cdot 2.236}{5} = \frac{19.7 + 6.708}{5} = \frac{26.408}{5} = 5.2816$

Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 5.2816, — это 6.

Ответ: 6.

г) Дана прогрессия $a_n = n(\sqrt{5}-1) - 3\sqrt{5}$ и число $A = 5$.

Составим и решим неравенство $a_n > A$:

$n(\sqrt{5}-1) - 3\sqrt{5} > 5$

$n(\sqrt{5}-1) > 5 + 3\sqrt{5}$

Так как $\sqrt{5} > 1$, то $\sqrt{5}-1 > 0$, поэтому при делении знак неравенства сохраняется:

$n > \frac{5 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5}+1$:

$n > \frac{(5 + 3\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{5\sqrt{5} + 5 \cdot 1 + 3\sqrt{5}\cdot\sqrt{5} + 3\sqrt{5} \cdot 1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2}$

$n > \frac{5\sqrt{5} + 5 + 3 \cdot 5 + 3\sqrt{5}}{5 - 1} = \frac{8\sqrt{5} + 20}{4} = 2\sqrt{5} + 5$

Оценим значение правой части, используя приближение $\sqrt{5} \approx 2.236$:

$n > 2 \cdot 2.236 + 5 = 4.472 + 5 = 9.472$

Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 9.472, — это 10.

Ответ: 10.

16.58 Арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = 6n - 306$. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены прогрессии:

а) больше $-12$;

б) являются положительными;

в) принадлежат лучу $[300; +\infty)$;

г) принадлежат открытому лучу $(-6; +\infty)$.

а) больше –12;

Чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого все члены прогрессии $a_n = 6n - 306$ будут больше –12, необходимо решить неравенство $a_n > -12$.

Подставим выражение для $a_n$ в неравенство:

$6n - 306 > -12$

Перенесем –306 в правую часть, изменив знак:

$6n > -12 + 306$

$6n > 294$

Разделим обе части неравенства на 6:

$n > \frac{294}{6}$

$n > 49$

Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 50.

Проверим: $a_{49} = 6 \cdot 49 - 306 = 294 - 306 = -12$. Этот член не больше –12.

$a_{50} = 6 \cdot 50 - 306 = 300 - 306 = -6$. Этот член больше –12.

Ответ: 50.

б) являются положительными;

Чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого все члены прогрессии становятся положительными, нужно решить неравенство $a_n > 0$.

Подставим формулу для $a_n$:

$6n - 306 > 0$

Перенесем –306 в правую часть:

$6n > 306$

Разделим обе части на 6:

$n > \frac{306}{6}$

$n > 51$

Наименьшее целое число $n$, которое больше 51, — это 52.

Проверим: $a_{51} = 6 \cdot 51 - 306 = 306 - 306 = 0$. Этот член не является положительным.

$a_{52} = 6 \cdot 52 - 306 = 312 - 306 = 6$. Этот член является положительным.

Ответ: 52.

в) принадлежат лучу [300; +∞);

Чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого члены прогрессии принадлежат лучу $[300; +\infty)$, нужно решить неравенство $a_n \ge 300$.

Подставим формулу для $a_n$:

$6n - 306 \ge 300$

Перенесем –306 в правую часть:

$6n \ge 300 + 306$

$6n \ge 606$

Разделим обе части на 6:

$n \ge \frac{606}{6}$

$n \ge 101$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 101.

Проверим: $a_{100} = 6 \cdot 100 - 306 = 600 - 306 = 294$. Этот член меньше 300.

$a_{101} = 6 \cdot 101 - 306 = 606 - 306 = 300$. Этот член равен 300 и принадлежит лучу.

Ответ: 101.

г) принадлежат открытому лучу (–6; +∞).

Чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого члены прогрессии принадлежат открытому лучу $(–6; +∞)$, нужно решить неравенство $a_n > -6$.

Подставим формулу для $a_n$:

$6n - 306 > -6$

Перенесем –306 в правую часть:

$6n > -6 + 306$

$6n > 300$

Разделим обе части на 6:

$n > \frac{300}{6}$

$n > 50$

Наименьшее целое число $n$, которое больше 50, — это 51.

Проверим: $a_{50} = 6 \cdot 50 - 306 = 300 - 306 = -6$. Этот член не больше –6.

$a_{51} = 6 \cdot 51 - 306 = 306 - 306 = 0$. Этот член больше –6.

Ответ: 51.

16.59 a) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 7 и не делятся на 13.

б) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые не делятся ни на 7, ни на 13.

а) Чтобы найти сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 7, но не делятся на 13, необходимо найти сумму всех трёхзначных чисел, кратных 7, и вычесть из неё сумму всех трёхзначных чисел, которые кратны и 7, и 13. Числа, кратные одновременно 7 и 13, делятся на их наименьшее общее кратное, которое равно $7 \times 13 = 91$.

1. Найдём сумму $S_7$ всех трёхзначных чисел, делящихся на 7. Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Первое такое число $a_1 = 105$ ($15 \times 7$), а последнее $a_n = 994$ ($142 \times 7$). Количество таких чисел $n = 142 - 15 + 1 = 128$. Сумма этой прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_7 = \frac{105 + 994}{2} \cdot 128 = 1099 \cdot 64 = 70336$.

2. Найдём сумму $S_{91}$ всех трёхзначных чисел, делящихся на 91. Это также арифметическая прогрессия. Первое такое число $b_1 = 182$ ($2 \times 91$), а последнее $b_m = 910$ ($10 \times 91$). Количество таких чисел $m = 10 - 2 + 1 = 9$. Сумма этой прогрессии:
$S_{91} = \frac{182 + 910}{2} \cdot 9 = 546 \cdot 9 = 4914$.

3. Искомая сумма равна разности $S_7 - S_{91}$.
$70336 - 4914 = 65422$.
Ответ: 65422

б) Чтобы найти сумму всех трёхзначных чисел, которые не делятся ни на 7, ни на 13, нужно из общей суммы всех трёхзначных чисел ($S_{общ}$) вычесть сумму тех чисел, которые делятся хотя бы на одно из этих чисел (на 7 или на 13). Сумма чисел, делящихся на 7 или на 13, находится по формуле включений-исключений: $S_{7 \cup 13} = S_7 + S_{13} - S_{7 \cap 13}$, где $S_{7 \cap 13} = S_{91}$.

1. Найдём общую сумму $S_{общ}$ всех трёхзначных чисел (от 100 до 999). Они образуют арифметическую прогрессию, в которой $999 - 100 + 1 = 900$ членов.
$S_{общ} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550$.

2. Найдём сумму $S_{13}$ всех трёхзначных чисел, делящихся на 13. Это арифметическая прогрессия. Первое число $c_1 = 104$ ($8 \times 13$), последнее $c_k = 988$ ($76 \times 13$). Количество членов $k = 76 - 8 + 1 = 69$. Сумма этой прогрессии:
$S_{13} = \frac{104 + 988}{2} \cdot 69 = 546 \cdot 69 = 37674$.

3. Суммы $S_7 = 70336$ и $S_{91} = 4914$ уже были найдены в пункте а). Теперь можем найти сумму всех чисел, делящихся на 7 или на 13:
$S_{7 \cup 13} = S_7 + S_{13} - S_{91} = 70336 + 37674 - 4914 = 108010 - 4914 = 103096$.

4. Искомая сумма равна разности $S_{общ} - S_{7 \cup 13}$.
$494550 - 103096 = 391454$.
Ответ: 391454

16.60 При делении девятого члена арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, на второй член в частном получается 5 ($a_9 = 5a_2$), а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2, а в остатке 5 ($a_{13} = 2a_6 + 5$). Найдите первый член и разность прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, прогрессия состоит из целых чисел, следовательно, $a_1$ и $d$ являются целыми числами.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений.
Первое условие: при делении девятого члена ($a_9 = a_1 + 8d$) на второй член ($a_2 = a_1 + d$) в частном получается 5. Это означает деление без остатка:
$a_9 = 5 \cdot a_2$
$a_1 + 8d = 5(a_1 + d)$

Второе условие: при делении тринадцатого члена ($a_{13} = a_1 + 12d$) на шестой член ($a_6 = a_1 + 5d$) в частном получается 2, а в остатке 5. Это записывается в виде уравнения:
$a_{13} = 2 \cdot a_6 + 5$
Также из этого условия следует, что остаток должен быть меньше модуля делителя, то есть $5 < |a_6|$.
Подставив выражения для членов прогрессии, получаем:
$a_1 + 12d = 2(a_1 + 5d) + 5$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases}a_1 + 8d = 5(a_1 + d) \\a_1 + 12d = 2(a_1 + 5d) + 5\end{cases}$

Решим эту систему. Сначала упростим каждое уравнение.
Из первого уравнения:
$a_1 + 8d = 5a_1 + 5d$
$8d - 5d = 5a_1 - a_1$
$3d = 4a_1$

Из второго уравнения:
$a_1 + 12d = 2a_1 + 10d + 5$
$12d - 10d = 2a_1 - a_1 + 5$
$2d = a_1 + 5$
Из этого уравнения удобно выразить $a_1$:
$a_1 = 2d - 5$

Теперь подставим полученное выражение для $a_1$ в первое упрощенное уравнение ($3d = 4a_1$):
$3d = 4(2d - 5)$
$3d = 8d - 20$
$8d - 3d = 20$
$5d = 20$
$d = 4$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d=4$ в выражение $a_1 = 2d - 5$:
$a_1 = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3$

Мы получили, что первый член $a_1 = 3$ и разность $d = 4$. Оба числа целые, что соответствует условию задачи.

Осталось проверить дополнительное условие $5 < |a_6|$.
Найдем шестой член прогрессии:
$a_6 = a_1 + 5d = 3 + 5(4) = 3 + 20 = 23$
Неравенство $5 < |23|$ выполняется. Все условия задачи соблюдены.

Ответ: первый член прогрессии равен 3, а разность прогрессии равна 4.