Страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.42 a) Найдите $a_{10} + a_{20}$, если известно, что $a_9 + a_{11} = 44$ и $a_{19} + a_{21} = 104$.

б) Найдите $a_{15} + a_{30}$, если известно, что $a_{14} + a_{16} = -20$ и $a_{29} + a_{31} = 40$.

а)

В задаче, по всей видимости, речь идет об арифметической прогрессии. Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: любой член прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих от него членов. Это свойство можно записать в виде формулы: $a_{n-k} + a_{n+k} = 2a_n$.

Применим это свойство к первому условию: $a_9 + a_{11} = 44$.
Члены $a_9$ и $a_{11}$ равноудалены от члена $a_{10}$. Следовательно, их сумма равна удвоенному значению этого члена: $a_9 + a_{11} = 2a_{10}$.
Подставив данное значение, получаем уравнение: $2a_{10} = 44$.
Решая его, находим $a_{10}$: $a_{10} = \frac{44}{2} = 22$.

Теперь применим то же свойство ко второму условию: $a_{19} + a_{21} = 104$.
Члены $a_{19}$ и $a_{21}$ равноудалены от члена $a_{20}$. Значит, $a_{19} + a_{21} = 2a_{20}$.
Подставляем известное значение: $2a_{20} = 104$.
Находим $a_{20}$: $a_{20} = \frac{104}{2} = 52$.

Искомая величина — это сумма $a_{10} + a_{20}$.
$a_{10} + a_{20} = 22 + 52 = 74$.

Ответ: 74.

б)

Действуем аналогично пункту а), используя свойство среднего арифметического для членов арифметической прогрессии: $a_{n-k} + a_{n+k} = 2a_n$.

Из первого условия $a_{14} + a_{16} = -20$ следует, что $2a_{15} = -20$, так как $a_{15}$ является средним арифметическим для $a_{14}$ и $a_{16}$.
Отсюда находим $a_{15}$: $a_{15} = \frac{-20}{2} = -10$.

Из второго условия $a_{29} + a_{31} = 40$ следует, что $2a_{30} = 40$, так как $a_{30}$ является средним арифметическим для $a_{29}$ и $a_{31}$.
Отсюда находим $a_{30}$: $a_{30} = \frac{40}{2} = 20$.

Теперь вычисляем требуемую сумму $a_{15} + a_{30}$.
$a_{15} + a_{30} = -10 + 20 = 10$.

Ответ: 10.

16.43 Найдите те значения $x$, при которых числа $x, 2x - 1, 5x$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Пусть данные числа $a_1 = x$, $a_2 = 2x - 1$ и $a_3 = 5x$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Для данных чисел это свойство можно записать в виде следующего равенства:
$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Подставим в это равенство заданные выражения, содержащие $x$, и решим полученное уравнение:
$2x - 1 = \frac{x + 5x}{2}$
$2x - 1 = \frac{6x}{2}$
$2x - 1 = 3x$
Далее, перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а числовые значения — в другую:
$-1 = 3x - 2x$
$x = -1$

Чтобы убедиться в правильности найденного значения, выполним проверку. Подставим $x = -1$ в выражения для членов прогрессии:
$a_1 = -1$
$a_2 = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$
$a_3 = 5(-1) = -5$
Мы получили последовательность чисел: -1, -3, -5. Эта последовательность является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя последовательными членами постоянна: $d = a_2 - a_1 = -3 - (-1) = -2$ и $d = a_3 - a_2 = -5 - (-3) = -2$.

Ответ: -1

16.44 Найдите те значения $y$, при которых числа $2y + 5$, $y$, $3y - 8$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Для того чтобы три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы среднее из них было равно среднему арифметическому двух других (крайних) членов. Если обозначить три последовательных члена прогрессии как $a_1$, $a_2$ и $a_3$, то должно выполняться свойство: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$.

В условии задачи даны три числа: $2y + 5$, $y$ и $3y - 8$. Будем считать, что они являются последовательными членами арифметической прогрессии именно в этом порядке. Таким образом, мы можем обозначить:
$a_1 = 2y + 5$
$a_2 = y$
$a_3 = 3y - 8$

Теперь применим характеристическое свойство арифметической прогрессии, подставив в формулу наши выражения:
$y = \frac{(2y + 5) + (3y - 8)}{2}$

Решим полученное линейное уравнение относительно переменной $y$. Сначала умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2y = (2y + 5) + (3y - 8)$

Далее упростим правую часть уравнения, сгруппировав подобные слагаемые:
$2y = (2y + 3y) + (5 - 8)$
$2y = 5y - 3$

Перенесем все слагаемые, содержащие $y$, в правую часть уравнения, а числовые слагаемые — в левую:
$3 = 5y - 2y$
$3 = 3y$

Наконец, разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти значение $y$:
$y = \frac{3}{3}$
$y = 1$

Проверим полученный результат. Подставим значение $y = 1$ в исходные выражения:
Первый член: $2(1) + 5 = 2 + 5 = 7$
Второй член: $1$
Третий член: $3(1) - 8 = 3 - 8 = -5$
Мы получили последовательность чисел 7, 1, -5. Найдем разность между соседними членами: $1 - 7 = -6$ и $-5 - 1 = -6$. Так как разность постоянна и равна -6, эти числа действительно образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: 1.

16.45 а) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 7.

б) Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.

а)

Двузначные числа, кратные 7, представляют собой арифметическую прогрессию. Двузначные числа — это числа от 10 до 99 включительно.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Это наименьшее двузначное число, которое делится на 7 без остатка. Ближайшее к 10 число, кратное 7, — это $7 \times 2 = 14$. Таким образом, $a_1 = 14$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Это наибольшее двузначное число, кратное 7. Разделим 99 на 7: $99 \div 7 \approx 14.14$. Возьмем целую часть — 14. $7 \times 14 = 98$. Таким образом, $a_n = 98$.

3. Разность прогрессии ($d$) равна 7, так как мы ищем числа, кратные 7.

4. Найдем количество членов прогрессии ($n$) по формуле $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$: $98 = 14 + (n-1) \times 7$ $98 - 14 = 7(n-1)$ $84 = 7(n-1)$ $n-1 = \frac{84}{7}$ $n-1 = 12$ $n = 13$ Всего 13 таких чисел.

5. Найдем сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$: $S_{13} = \frac{14 + 98}{2} \times 13 = \frac{112}{2} \times 13 = 56 \times 13 = 728$.

Ответ: 728

б)

Двузначные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, также образуют арифметическую прогрессию. Эти числа можно представить в виде $5k+2$.

1. Найдем первый член прогрессии ($b_1$). Это наименьшее двузначное число, которое при делении на 5 дает в остатке 2. Такие числа должны оканчиваться на 2 или 7. Наименьшее двузначное число с таким свойством — 12. Проверка: $12 = 5 \times 2 + 2$. Итак, $b_1 = 12$.

2. Найдем последний член прогрессии ($b_m$). Это наибольшее двузначное число, которое при делении на 5 дает в остатке 2. Наибольшее двузначное число, оканчивающееся на 2 или 7, — это 97. Проверка: $97 = 5 \times 19 + 2$. Итак, $b_m = 97$.

3. Разность прогрессии ($d$) равна 5, так как каждое следующее число в последовательности больше предыдущего на 5 (например, 12, 17, 22, ...).

4. Найдем количество членов прогрессии ($m$) по формуле $m$-го члена арифметической прогрессии $b_m = b_1 + (m-1)d$: $97 = 12 + (m-1) \times 5$ $97 - 12 = 5(m-1)$ $85 = 5(m-1)$ $m-1 = \frac{85}{5}$ $m-1 = 17$ $m = 18$ Всего 18 таких чисел.

5. Найдем сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_m = \frac{b_1 + b_m}{2} \times m$: $S_{18} = \frac{12 + 97}{2} \times 18 = \frac{109}{2} \times 18 = 109 \times 9 = 981$.

Ответ: 981

16.46 а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 8.

б) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении на 12 дают в остатке 5.

а)

Трехзначные числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее основные параметры.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее трехзначное число, которое делится на 8. Наименьшее трехзначное число — 100. При делении 100 на 8 получаем остаток 4 ($100 = 12 \cdot 8 + 4$). Следовательно, наименьшее трехзначное число, кратное 8, это $100 - 4 + 8 = 104$. Итак, $a_1 = 104$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее трехзначное число, которое делится на 8. Наибольшее трехзначное число — 999. При делении 999 на 8 получаем остаток 7 ($999 = 124 \cdot 8 + 7$). Значит, искомое число равно $999 - 7 = 992$. Итак, $a_n = 992$.

Разность прогрессии ($d$) равна 8, так как мы рассматриваем числа, кратные 8.

Теперь найдем количество членов ($n$) в этой прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$992 = 104 + (n-1) \cdot 8$
$992 - 104 = (n-1) \cdot 8$
$888 = (n-1) \cdot 8$
$n-1 = \frac{888}{8} = 111$
$n = 112$

Для нахождения суммы всех этих чисел воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{112} = \frac{104 + 992}{2} \cdot 112 = \frac{1096}{2} \cdot 112 = 548 \cdot 112 = 61376$.

Ответ: 61376

б)

Трехзначные числа, которые при делении на 12 дают в остатке 5, образуют арифметическую прогрессию. Общий вид таких чисел: $12k+5$, где $k$ — целое число.

Найдем первый член прогрессии ($b_1$), который является трехзначным числом. Для этого решим неравенство:
$12k+5 \ge 100$
$12k \ge 95$
$k \ge \frac{95}{12} \approx 7.91$
Так как $k$ — целое, наименьшее подходящее значение $k=8$.
Первый член прогрессии: $b_1 = 12 \cdot 8 + 5 = 96 + 5 = 101$.

Найдем последний член прогрессии ($b_n$), который является трехзначным. Решим неравенство:
$12k+5 \le 999$
$12k \le 994$
$k \le \frac{994}{12} \approx 82.83$
Так как $k$ — целое, наибольшее подходящее значение $k=82$.
Последний член прогрессии: $b_n = 12 \cdot 82 + 5 = 984 + 5 = 989$.

Разность прогрессии ($d$) равна 12.

Найдем количество членов прогрессии ($n$). Значения $k$ изменяются от 8 до 82 включительно. Количество таких значений: $n = 82 - 8 + 1 = 75$.

Теперь вычислим сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$:
$S_{75} = \frac{101 + 989}{2} \cdot 75 = \frac{1090}{2} \cdot 75 = 545 \cdot 75 = 40875$.

Ответ: 40875

16.47 Зная формулу $n$-го члена арифметической прогрессии ($a_n$), найдите $a_1$ и $d$:

а) $a_n = -\frac{n+1}{4}$;

б) $a_n = \frac{2\sqrt{3}-5n}{3}$;

в) $a_n = \frac{3n-2}{5}$;

г) $a_n = \frac{\sqrt{7n-5}}{\sqrt{5}}$.

Чтобы найти первый член арифметической прогрессии $a_1$ и ее разность $d$, зная формулу $n$-го члена, мы будем использовать следующий метод:
1. Для нахождения первого члена $a_1$ подставим в формулу значение $n=1$.
2. Для нахождения разности $d$ сначала вычислим второй член прогрессии $a_2$, подставив в формулу $n=2$.
3. Затем найдем разность по формуле $d = a_2 - a_1$.

а) Дана формула $a_n = -\frac{n+1}{4}$.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$:

$a_1 = -\frac{1+1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Найдем второй член прогрессии $a_2$, подставив $n=2$:

$a_2 = -\frac{2+1}{4} = -\frac{3}{4}$.

Разность прогрессии $d$ равна $a_2 - a_1$:

$d = -\frac{3}{4} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $a_1 = -\frac{1}{2}$, $d = -\frac{1}{4}$.

б) Дана формула $a_n = \frac{2\sqrt{3} - 5n}{3}$.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$:

$a_1 = \frac{2\sqrt{3} - 5 \cdot 1}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 5}{3}$.

Найдем второй член прогрессии $a_2$, подставив $n=2$:

$a_2 = \frac{2\sqrt{3} - 5 \cdot 2}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 10}{3}$.

Разность прогрессии $d$ равна $a_2 - a_1$:

$d = \frac{2\sqrt{3} - 10}{3} - \frac{2\sqrt{3} - 5}{3} = \frac{(2\sqrt{3} - 10) - (2\sqrt{3} - 5)}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 10 - 2\sqrt{3} + 5}{3} = \frac{-5}{3} = -\frac{5}{3}$.

Ответ: $a_1 = \frac{2\sqrt{3} - 5}{3}$, $d = -\frac{5}{3}$.

в) Дана формула $a_n = \frac{3n - 2}{5}$.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$:

$a_1 = \frac{3 \cdot 1 - 2}{5} = \frac{1}{5}$.

Найдем второй член прогрессии $a_2$, подставив $n=2$:

$a_2 = \frac{3 \cdot 2 - 2}{5} = \frac{6-2}{5} = \frac{4}{5}$.

Разность прогрессии $d$ равна $a_2 - a_1$:

$d = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $a_1 = \frac{1}{5}$, $d = \frac{3}{5}$.

г) Дана формула $a_n = \frac{\sqrt{7}n - 5}{\sqrt{5}}$.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$:

$a_1 = \frac{\sqrt{7} \cdot 1 - 5}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{5}}$.

Найдем второй член прогрессии $a_2$, подставив $n=2$:

$a_2 = \frac{\sqrt{7} \cdot 2 - 5}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{7} - 5}{\sqrt{5}}$.

Разность прогрессии $d$ равна $a_2 - a_1$:

$d = \frac{2\sqrt{7} - 5}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{5}} = \frac{(2\sqrt{7} - 5) - (\sqrt{7} - 5)}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{7} - 5 - \sqrt{7} + 5}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$.

Ответ: $a_1 = \frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{5}}$, $d = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$.

16.48 Составьте формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

a) $a_5 = 15$, $a_{12} = 29$;

б) $a_9 = -30$, $a_{19} = -45$;

в) $a_7 = 20$, $a_{15} = 40$;

г) $a_5 = 0,2$, $a_{16} = -7,5$.

Общий подход к решению: формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Чтобы составить формулу для $a_n$, нам нужно найти $a_1$ и $d$, используя данные в условии задачи.

Разность $d$ можно найти по формуле, связывающей два любых члена прогрессии: $d = \frac{a_m - a_k}{m - k}$.

После нахождения $d$, первый член $a_1$ можно выразить из формулы для одного из известных членов, например: $a_k = a_1 + (k-1)d \implies a_1 = a_k - (k-1)d$.

а) Дано: $a_5 = 15, a_{12} = 29$.

1. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{a_{12} - a_5}{12 - 5} = \frac{29 - 15}{7} = \frac{14}{7} = 2$.

2. Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_5 = 15$ и $d=2$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d$

$15 = a_1 + 4 \cdot 2$

$15 = a_1 + 8$

$a_1 = 15 - 8 = 7$.

3. Подставим найденные значения $a_1 = 7$ и $d = 2$ в общую формулу n-го члена и упростим:

$a_n = 7 + (n-1) \cdot 2 = 7 + 2n - 2 = 2n + 5$.

Ответ: $a_n = 2n + 5$.

б) Дано: $a_9 = -30, a_{19} = -45$.

1. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{a_{19} - a_9}{19 - 9} = \frac{-45 - (-30)}{10} = \frac{-15}{10} = -1,5$.

2. Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_9 = -30$ и $d=-1,5$:

$a_9 = a_1 + (9-1)d$

$-30 = a_1 + 8 \cdot (-1,5)$

$-30 = a_1 - 12$

$a_1 = -30 + 12 = -18$.

3. Подставим найденные значения $a_1 = -18$ и $d = -1,5$ в общую формулу n-го члена и упростим:

$a_n = -18 + (n-1) \cdot (-1,5) = -18 - 1,5n + 1,5 = -1,5n - 16,5$.

Ответ: $a_n = -1,5n - 16,5$.

в) Дано: $a_7 = 20, a_{15} = 40$.

1. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{a_{15} - a_7}{15 - 7} = \frac{40 - 20}{8} = \frac{20}{8} = 2,5$.

2. Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_7 = 20$ и $d=2,5$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d$

$20 = a_1 + 6 \cdot 2,5$

$20 = a_1 + 15$

$a_1 = 20 - 15 = 5$.

3. Подставим найденные значения $a_1 = 5$ и $d = 2,5$ в общую формулу n-го члена и упростим:

$a_n = 5 + (n-1) \cdot 2,5 = 5 + 2,5n - 2,5 = 2,5n + 2,5$.

Ответ: $a_n = 2,5n + 2,5$.

г) Дано: $a_5 = 0,2, a_{16} = -7,5$.

1. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{a_{16} - a_5}{16 - 5} = \frac{-7,5 - 0,2}{11} = \frac{-7,7}{11} = -0,7$.

2. Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_5 = 0,2$ и $d=-0,7$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d$

$0,2 = a_1 + 4 \cdot (-0,7)$

$0,2 = a_1 - 2,8$

$a_1 = 0,2 + 2,8 = 3$.

3. Подставим найденные значения $a_1 = 3$ и $d = -0,7$ в общую формулу n-го члена и упростим:

$a_n = 3 + (n-1) \cdot (-0,7) = 3 - 0,7n + 0,7 = 3,7 - 0,7n$.

Ответ: $a_n = 3,7 - 0,7n$.

16.49 Найдите восьмой член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

а) $a_9 = 8, a_7 = -2;$

б) $a_7 = 4, a_9 = -4;$

в) $a_7 = -7, a_9 = -1;$

г) $a_9 = -0,9, a_7 = -0,7.$

а) Дано: $a_9 = 8$ и $a_7 = -2$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии ($d$) воспользуемся формулой, связывающей два любых члена прогрессии: $a_n = a_m + (n-m)d$. Отсюда можно выразить разность: $d = \frac{a_n - a_m}{n-m}$.

Подставим известные значения для $a_9$ и $a_7$:

$d = \frac{a_9 - a_7}{9 - 7} = \frac{8 - (-2)}{2} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Восьмой член прогрессии ($a_8$) можно найти, зная, что он является средним арифметическим соседних членов $a_7$ и $a_9$. Формула: $a_8 = \frac{a_7 + a_9}{2}$.

Вычислим $a_8$:

$a_8 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Также можно найти $a_8$, используя найденную разность: $a_8 = a_7 + d = -2 + 5 = 3$.

Ответ: восьмой член $a_8 = 3$, разность $d = 5$.

б) Дано: $a_7 = 4$ и $a_9 = -4$.

Найдем разность прогрессии $d$, используя формулу $d = \frac{a_9 - a_7}{9 - 7}$:

$d = \frac{-4 - 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Найдем восьмой член прогрессии $a_8$ как среднее арифметическое $a_7$ и $a_9$:

$a_8 = \frac{a_7 + a_9}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Ответ: восьмой член $a_8 = 0$, разность $d = -4$.

в) Дано: $a_7 = -7$ и $a_9 = -1$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{a_9 - a_7}{9 - 7} = \frac{-1 - (-7)}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Найдем восьмой член прогрессии $a_8$:

$a_8 = \frac{a_7 + a_9}{2} = \frac{-7 + (-1)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Ответ: восьмой член $a_8 = -4$, разность $d = 3$.

г) Дано: $a_9 = -0,9$ и $a_7 = -0,7$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{a_9 - a_7}{9 - 7} = \frac{-0,9 - (-0,7)}{2} = \frac{-0,9 + 0,7}{2} = \frac{-0,2}{2} = -0,1$.

Найдем восьмой член прогрессии $a_8$:

$a_8 = \frac{a_7 + a_9}{2} = \frac{-0,7 + (-0,9)}{2} = \frac{-1,6}{2} = -0,8$.

Ответ: восьмой член $a_8 = -0,8$, разность $d = -0,1$.