Страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18.22 Известно, что $x = 2^a 3^b 5^c$ и $a, b, c$ — различные числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.

а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа $x$.

б) Сколько всего таких чисел можно составить?

в) Сколько среди них будет нечётных чисел?

г) Сколько среди них будет чисел, кратных 12?

а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа x.

Число $x$ задается формулой $x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$, где $a, b, c$ — различные числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.

Чтобы найти наименьшее значение $x$, нужно использовать три наименьших возможных показателя степени, то есть $\{0, 1, 2\}$. Для минимизации произведения большему основанию должна соответствовать меньшая степень. Таким образом, самому большому основанию 5 мы сопоставляем наименьшую степень 0, основанию 3 — степень 1, и самому маленькому основанию 2 — наибольшую из выбранных степень 2.

Получаем $a=2$, $b=1$, $c=0$.

$x_{мин} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^0 = 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$.

Чтобы найти наибольшее значение $x$, нужно использовать три наибольших возможных показателя степени, то есть $\{1, 2, 3\}$. Для максимизации произведения большему основанию должна соответствовать большая степень. Таким образом, самому большому основанию 5 мы сопоставляем наибольшую степень 3, основанию 3 — степень 2, и самому маленькому основанию 2 — наименьшую из выбранных степень 1.

Получаем $a=1$, $b=2$, $c=3$.

$x_{макс} = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 2 \cdot 9 \cdot 125 = 18 \cdot 125 = 2250$.

Ответ: наименьшее значение 12, наибольшее значение 2250.

б) Сколько всего таких чисел можно составить?

Нам нужно выбрать 3 различных показателя степени из 4 возможных $(\{0, 1, 2, 3\})$ и расставить их по трем позициям $(a, b, c)$. Это является задачей на размещение без повторений.

Количество таких размещений из 4 элементов по 3 равно:

$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.

Согласно основной теореме арифметики, разложение числа на простые множители единственно. Поскольку основания 2, 3, 5 являются простыми числами, каждая уникальная упорядоченная тройка показателей $(a, b, c)$ даст уникальное число $x$. Следовательно, количество возможных чисел $x$ равно количеству возможных троек.

Ответ: 24.

в) Сколько среди них будет нечётных чисел?

Число является нечётным, если в его разложении на простые множители отсутствует множитель 2. В нашем случае, $x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$, это означает, что показатель степени при основании 2 должен быть равен нулю, то есть $a=0$.

Поскольку показатели $a, b, c$ должны быть различными, а $a=0$, то $b$ и $c$ должны быть различными числами, выбранными из оставшегося множества $\{1, 2, 3\}$.

Нам нужно выбрать 2 различных показателя для $b$ и $c$ из 3 возможных и расставить их. Количество способов это сделать равно числу размещений из 3 по 2:

$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \cdot 2 = 6$.

Это соответствует тройкам $(a, b, c)$: $(0, 1, 2)$, $(0, 2, 1)$, $(0, 1, 3)$, $(0, 3, 1)$, $(0, 2, 3)$, $(0, 3, 2)$. Каждая из них дает нечетное число.

Ответ: 6.

г) Сколько среди них будет чисел, кратных 12?

Число $x$ кратно 12, если оно делится на 12. Разложение числа 12 на простые множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$.

Чтобы число $x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ было кратно 12, необходимо и достаточно, чтобы в его разложение входили множители $2^2$ и $3^1$. Это накладывает следующие условия на показатели степеней: $a \ge 2$ и $b \ge 1$.

Поскольку $a, b, c$ — различные числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$, рассмотрим возможные комбинации.
Если $a=2$, то для $b$ (с учётом $b \ge 1$ и $b \ne a$) подходят значения $1$ и $3$. При паре $(a, b) = (2, 1)$ для $c$ остаются значения из множества $\{0, 3\}$ (2 варианта). При паре $(a, b) = (2, 3)$ для $c$ остаются значения из множества $\{0, 1\}$ (2 варианта).
Если $a=3$, то для $b$ (с учётом $b \ge 1$ и $b \ne a$) подходят значения $1$ и $2$. При паре $(a, b) = (3, 1)$ для $c$ остаются значения из множества $\{0, 2\}$ (2 варианта). При паре $(a, b) = (3, 2)$ для $c$ остаются значения из множества $\{0, 1\}$ (2 варианта).

Суммируя все варианты, получаем общее количество чисел, кратных 12: $2 + 2 + 2 + 2 = 8$.

Ответ: 8.

18.23 а) Точки $(0; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 2)$ являются вершинами треугольника. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами $A, B, C$?

б) Точки $(0; 0)$, $(0; 4)$, $(3; 0)$, $(3; 7)$ являются вершинами трапеции. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами $K, L, M, N$?

в) Точки $(1; -3)$, $(0; 0)$, $(0; 4)$, $(3; 0)$, $(3; 7)$ являются вершинами выпуклого пятиугольника. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами $P, R, S, T, Q$?

г) В скольких случаях в задании в) $PR$ будет одной из сторон?

а) У нас есть 3 различные вершины и 3 различные буквы (A, B, C) для их обозначения. Задача сводится к нахождению числа способов сопоставить каждой вершине уникальную букву. Это соответствует числу перестановок из 3 элементов. Число таких способов вычисляется как факториал числа элементов по формуле $P_n = n!$. В данном случае $n=3$.
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Ответ: 6

б) Аналогично предыдущему пункту, у нас есть 4 различные вершины и 4 различные буквы (K, L, M, N). Необходимо найти количество способов сопоставить каждой вершине уникальную букву. Это задача на нахождение числа перестановок из 4 элементов.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Ответ: 24

в) В этом случае у нас есть 5 различных вершин выпуклого пятиугольника и 5 различных букв (P, R, S, T, Q). Задача заключается в том, чтобы найти общее количество способов обозначить 5 вершин 5-ю буквами. Это число перестановок из 5 элементов.
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Ответ: 120

г) Из 120 общих способов обозначения вершин, найденных в пункте в), нам нужно посчитать те, в которых отрезок PR будет одной из сторон пятиугольника. Это означает, что вершины, обозначенные буквами P и R, должны быть соседними.
Будем рассуждать следующим образом:
1. Сначала выберем сторону пятиугольника, которую будут образовывать вершины P и R. В пятиугольнике 5 сторон, значит, у нас есть 5 вариантов выбора.
2. Для выбранной стороны нужно обозначить её две вершины буквами P и R. Это можно сделать двумя способами: первая вершина P, вторая R, или наоборот, первая R, а вторая P. То есть $2$ способа.
3. Оставшиеся 3 буквы (S, T, Q) нужно присвоить оставшимся 3 вершинам. Число способов сделать это равно числу перестановок из 3 элементов: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.
Чтобы найти общее число случаев, когда PR является стороной, перемножим число вариантов на каждом этапе:
$N = 5 \times 2 \times 3! = 5 \times 2 \times 6 = 60$.
Ответ: 60

18.24 В волейбольной команде шесть человек, а на площадке шесть позиций (номеров) для их расстановки.

а) Сколькими способами команду можно расставить по позициям?

б) Сколько есть способов расстановок, при которых капитан находится на подаче?

в) Сколько есть способов расстановок, при которых капитан находится не на подаче?

г) Сколько есть способов расстановок, при которых капитан находится или на подаче, или на месте разыгрывающего?

а) Сколькими способами команду можно расставить по позициям?
В команде 6 человек и 6 позиций на площадке. Необходимо найти количество всех возможных расстановок 6 игроков по 6 позициям. Это задача на нахождение числа перестановок из 6 элементов. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В данном случае $n=6$.
$P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.
Ответ: 720.

б) Сколько есть способов расстановки, при которых капитан находится на подаче?
Если позиция капитана зафиксирована (он находится на подаче), то нам остается расставить оставшихся 5 игроков на оставшиеся 5 позиций. Количество таких способов равно числу перестановок из 5 элементов.
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
Ответ: 120.

в) Сколько есть способов расстановки, при которых капитан находится не на подаче?
Чтобы найти количество способов, при которых капитан не находится на подаче, нужно из общего числа всех возможных расстановок (найденного в пункте а) вычесть число расстановок, при которых капитан находится на подаче (найденное в пункте б).
$N = P_6 - P_5 = 720 - 120 = 600$.
Ответ: 600.

г) Сколько есть способов расстановки, при которых капитан находится или на подаче, или на месте разыгрывающего?
Данная задача рассматривает два несовместных события: "капитан на подаче" и "капитан на месте разыгрывающего". По правилу суммы, общее количество способов равно сумме способов для каждого из этих событий.
1. Количество способов, при которых капитан на подаче, равно $5! = 120$ (из пункта б).
2. Аналогично, если капитан находится на месте разыгрывающего, его позиция зафиксирована, а остальных 5 игроков можно расставить на 5 оставшихся мест $5!$ способами. То есть, $5! = 120$ способов.
Общее число способов: $120 + 120 = 240$.
Ответ: 240.

18.25 Упростите выражение:

a) $(n + 2)!(n^2 - 9) / (n + 4)!$;

б) $1 / (n - 2)! - (n^3 - n) / (n + 1)!$;

в) $(25m^5 - m^3) / (5m + 1)! \cdot (1 / (5 \cdot (5m - 2)!))^{-1}$;

г) $((3k + 3)! \cdot k!) / (3k)! : ((k + 3)!(3k + 1)) / (k^2 + 5k + 6)$.

а)

Дано выражение: $ \frac{(n + 2)!(n^2 - 9)}{(n + 4)!} $
Для упрощения воспользуемся определением факториала $k! = k \cdot (k-1) \cdot ... \cdot 1$ и формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
1. Представим факториал в знаменателе через факториал в числителе:
$ (n + 4)! = (n + 4)(n + 3)(n + 2)! $
2. Разложим на множители выражение $n^2 - 9$:
$ n^2 - 9 = n^2 - 3^2 = (n - 3)(n + 3) $
3. Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:
$ \frac{(n + 2)!(n - 3)(n + 3)}{(n + 4)(n + 3)(n + 2)!} $
4. Сократим общие множители $(n + 2)!$ и $(n + 3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $n+3 \ne 0$ и $n+2 \ge 0$):
$ \frac{n - 3}{n + 4} $
Ответ: $ \frac{n - 3}{n + 4} $

б)

Дано выражение: $ \frac{1}{(n - 2)!} - \frac{n^3 - n}{(n + 1)!} $
Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю.
1. Общим знаменателем является $(n + 1)!$. Представим его через $(n-2)!$:
$ (n + 1)! = (n + 1)n(n - 1)(n - 2)! $
2. Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на $(n + 1)n(n - 1)$:
$ \frac{1}{(n - 2)!} = \frac{(n + 1)n(n - 1)}{(n + 1)n(n - 1)(n - 2)!} = \frac{(n + 1)n(n - 1)}{(n + 1)!} $
3. Разложим на множители числитель второй дроби:
$ n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) $
4. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{(n + 1)n(n - 1)}{(n + 1)!} - \frac{n(n - 1)(n + 1)}{(n + 1)!} = \frac{n(n-1)(n+1) - n(n-1)(n+1)}{(n+1)!} = \frac{0}{(n+1)!} = 0 $
Ответ: $ 0 $

в)

Дано выражение: $ \frac{25m^5 - m^3}{(5m + 1)!} \cdot \left( \frac{1}{5 \cdot (5m - 2)!} \right)^{-1} $
1. Упростим второй множитель, используя свойство отрицательной степени $ (a/b)^{-1} = b/a $:
$ \left( \frac{1}{5 \cdot (5m - 2)!} \right)^{-1} = 5 \cdot (5m - 2)! $
2. Теперь исходное выражение имеет вид:
$ \frac{25m^5 - m^3}{(5m + 1)!} \cdot 5(5m - 2)! $
3. Разложим на множители числитель первой дроби:
$ 25m^5 - m^3 = m^3(25m^2 - 1) = m^3(5m - 1)(5m + 1) $
4. Представим факториал в знаменателе через $(5m - 2)!$:
$ (5m + 1)! = (5m + 1)(5m)(5m - 1)(5m - 2)! $
5. Подставим все в выражение и произведем сокращение:
$ \frac{m^3(5m - 1)(5m + 1)}{(5m + 1)(5m)(5m - 1)(5m - 2)!} \cdot 5(5m - 2)! $
После сокращения одинаковых множителей $(5m+1)$, $(5m-1)$ и $(5m-2)!$ получаем:
$ \frac{m^3}{5m} \cdot 5 $
6. Сокращаем оставшиеся члены:
$ \frac{5m^3}{5m} = m^2 $
Ответ: $ m^2 $

г)

Дано выражение: $ \frac{(3k + 3)! \cdot k!}{(3k)!} : \frac{(k + 3)!(3k + 1)}{k^2 + 5k + 6} $
1. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$ \frac{(3k + 3)! \cdot k!}{(3k)!} \cdot \frac{k^2 + 5k + 6}{(k + 3)!(3k + 1)} $
2. Упростим отношение факториалов в первом множителе:
$ \frac{(3k + 3)!}{(3k)!} = \frac{(3k + 3)(3k + 2)(3k + 1)(3k)!}{(3k)!} = (3k + 3)(3k + 2)(3k + 1) $
Таким образом, первый множитель равен $ (3k + 3)(3k + 2)(3k + 1) \cdot k! $.
3. Упростим второй множитель. Разложим числитель на множители: $ k^2 + 5k + 6 = (k + 2)(k + 3) $.
Разложим факториал в знаменателе: $ (k + 3)! = (k + 3)(k + 2)(k + 1)k! $.
Второй множитель примет вид:
$ \frac{(k + 2)(k + 3)}{(k + 3)(k + 2)(k + 1)k! \cdot (3k + 1)} = \frac{1}{(k + 1)k! (3k + 1)} $
4. Теперь перемножим упрощенные части:
$ (3k + 3)(3k + 2)(3k + 1) k! \cdot \frac{1}{(k + 1)k! (3k + 1)} $
5. Сократим общие множители $ k! $ и $ (3k + 1) $:
$ \frac{(3k + 3)(3k + 2)}{k + 1} $
6. Вынесем 3 за скобки в выражении $ (3k + 3) $: $ 3(k + 1) $.
$ \frac{3(k + 1)(3k + 2)}{k + 1} $
7. Сократим $ (k + 1) $ и получим окончательный результат:
$ 3(3k + 2) = 9k + 6 $
Ответ: $ 9k + 6 $