Страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

19.17 После урока по теме «Статистика» на доске остались таблица

и ответ: «$Среднее значение = 10$».

а) Заполните пустое место в таблице.

б) Укажите размах и моду распределения.

в) Может ли в ответе для среднего значения стоять число 15, если все варианты — целые числа?

г) Заполните пустое место в таблице, если в ответе для среднего значения стоит число $x$.

а) Заполните пустое место в таблице.

Среднее значение (или среднее арифметическое взвешенное) для набора данных вычисляется по формуле:
$Среднее = \frac{\sum_{i=1}^{n} v_i \cdot k_i}{\sum_{i=1}^{n} k_i}$
где $v_i$ — это варианты, а $k_i$ — их кратности (частоты).

В нашей задаче даны варианты $v_1 = 4$ и $v_2 = 7$ с кратностями $k_1 = 5$ и $k_2 = 2$. Третья варианта, обозначим ее $v_3$, неизвестна, но ее кратность $k_3 = 3$.
Среднее значение дано и равно 10.

Сначала найдем сумму всех кратностей (общий объем выборки):
$\sum k_i = k_1 + k_2 + k_3 = 5 + 2 + 3 = 10$

Теперь подставим все известные значения в формулу для среднего значения: $10 = \frac{v_1 \cdot k_1 + v_2 \cdot k_2 + v_3 \cdot k_3}{10}$
$10 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + v_3 \cdot 3}{10}$
$10 = \frac{20 + 14 + 3v_3}{10}$
$10 = \frac{34 + 3v_3}{10}$

Решим это уравнение относительно $v_3$:
$10 \cdot 10 = 34 + 3v_3$
$100 = 34 + 3v_3$
$3v_3 = 100 - 34$
$3v_3 = 66$
$v_3 = \frac{66}{3} = 22$

Таким образом, недостающая варианта равна 22. Ответ: 22.

б) Укажите размах и моду распределения.

Используя результат из пункта а), мы имеем полный набор вариант: 4, 7, 22. Их кратности соответственно равны: 5, 2, 3.

Размах распределения — это разность между наибольшей и наименьшей вариантами.
Наибольшая варианта: $max(4, 7, 22) = 22$
Наименьшая варианта: $min(4, 7, 22) = 4$
Размах = $22 - 4 = 18$

Мода распределения — это варианта с наибольшей кратностью.
Кратность варианты 4 равна 5.
Кратность варианты 7 равна 2.
Кратность варианты 22 равна 3.
Наибольшая кратность — 5, она соответствует варианте 4. Следовательно, мода равна 4.

Ответ: Размах равен 18, мода равна 4.

в) Может ли в ответе для среднего значения стоять число 15, если все варианты — целые числа?

Предположим, что среднее значение равно 15. Используем ту же формулу, что и в пункте а), чтобы найти неизвестную варианту $v_3$.
$15 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + v_3 \cdot 3}{5 + 2 + 3}$
$15 = \frac{20 + 14 + 3v_3}{10}$
$15 = \frac{34 + 3v_3}{10}$

Решим уравнение относительно $v_3$:
$15 \cdot 10 = 34 + 3v_3$
$150 = 34 + 3v_3$
$3v_3 = 150 - 34$
$3v_3 = 116$
$v_3 = \frac{116}{3}$

Число 116 не делится нацело на 3 (так как сумма его цифр $1+1+6=8$ не делится на 3). Результат деления $v_3 = 38\frac{2}{3}$ не является целым числом. Поскольку по условию все варианты должны быть целыми числами, а для получения среднего значения 15 третья варианта должна быть дробным числом, то такая ситуация невозможна.

Ответ: Нет, не может.

г) Заполните пустое место в таблице, если в ответе для среднего значения стоит число x.

Это обобщение пункта а). Пусть среднее значение равно $x$, а неизвестная варианта — $v_3$.
Используем формулу среднего значения: $x = \frac{\sum v_i \cdot k_i}{\sum k_i}$

Подставим известные значения: $x = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + v_3 \cdot 3}{5 + 2 + 3}$
$x = \frac{20 + 14 + 3v_3}{10}$
$x = \frac{34 + 3v_3}{10}$

Теперь выразим $v_3$ через $x$: $10x = 34 + 3v_3$
$3v_3 = 10x - 34$
$v_3 = \frac{10x - 34}{3}$

Значение в пустом месте таблицы (неизвестная варианта) равно выражению $\frac{10x - 34}{3}$. Ответ: $\frac{10x - 34}{3}$.

19.18 После урока по теме «Статистика» на доске остались таблица

и ответ: «Среднее значение $ = 10$».

а) Заполните пустое место в таблице.

б) Укажите размах и моду распределения.

в) Можно ли пустое место в таблице заполнить так, чтобы среднее значение стало равно $5$?

г) Какое ближайшее к 5 число может стоять в ответе для среднего значения?

а) Заполните пустое место в таблице.

В данной задаче представлены варианты (значения) $x_i$ и их кратности (частоты) $n_i$. Из таблицы и условия нам известны:
Варианта $x_1 = 4$ с кратностью $n_1 = 5$.
Варианта $x_2 = 7$ с кратностью $n_2 = 2$.
Варианта $x_3 = 11$ с неизвестной кратностью $n_3$.
Среднее значение $\bar{x} = 10$.

Среднее значение для такого распределения вычисляется по формуле среднего взвешенного: $\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + x_3 n_3}{n_1 + n_2 + n_3}$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти $n_3$: $10 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 11 \cdot n_3}{5 + 2 + n_3}$

Теперь решим полученное уравнение: $10 = \frac{20 + 14 + 11n_3}{7 + n_3}$
$10(7 + n_3) = 34 + 11n_3$
$70 + 10n_3 = 34 + 11n_3$
$11n_3 - 10n_3 = 70 - 34$
$n_3 = 36$

Следовательно, в пустой ячейке таблицы должно стоять число 36.

Ответ: 36

б) Укажите размах и моду распределения.

После заполнения таблицы мы имеем следующее распределение:
Варианты: 4, 7, 11.
Кратности: 5, 2, 36.

Размах распределения — это разность между максимальной и минимальной вариантой.
Размах = $11 - 4 = 7$.

Мода распределения — это варианта, имеющая наибольшую кратность. В данном случае наибольшая кратность равна 36, и она соответствует варианте 11.
Мода = 11.

Ответ: размах равен 7, мода равна 11.

в) Можно ли пустое место в таблице заполнить так, чтобы среднее значение стало равно 5?

Для ответа на этот вопрос подставим в формулу среднего значения $\bar{x} = 5$ и найдем соответствующее значение кратности $n_3$.
$5 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 11 \cdot n_3}{5 + 2 + n_3}$
$5 = \frac{20 + 14 + 11n_3}{7 + n_3}$
$5(7 + n_3) = 34 + 11n_3$
$35 + 5n_3 = 34 + 11n_3$
$6n_3 = 1$
$n_3 = \frac{1}{6}$

Кратность по определению — это количество раз, которое встречается варианта, поэтому она должна быть целым неотрицательным числом. Так как мы получили дробное значение $n_3 = \frac{1}{6}$, заполнить таблицу таким образом невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

г) Какое ближайшее к 5 число может стоять в ответе для среднего значения?

Как мы выяснили в пункте в), среднее значение равно 5 при $n_3 = \frac{1}{6}$. Так как $n_3$ должно быть целым неотрицательным числом ($n_3 \in \{0, 1, 2, ...\}$), нам нужно найти, при каком целом $n_3$ среднее значение будет наиболее близко к 5. Ближайшие целые числа к $\frac{1}{6}$ — это 0 и 1.

Рассчитаем среднее значение для каждого из этих случаев. Формула среднего значения в зависимости от $n_3$: $\bar{x}(n_3) = \frac{34 + 11n_3}{7 + n_3}$.
1. При $n_3 = 0$: $\bar{x} = \frac{34 + 11 \cdot 0}{7 + 0} = \frac{34}{7}$.
2. При $n_3 = 1$: $\bar{x} = \frac{34 + 11 \cdot 1}{7 + 1} = \frac{45}{8}$.

Теперь определим, какое из этих значений ближе к 5. Для этого найдем расстояние от каждого значения до 5:
$|\frac{34}{7} - 5| = |\frac{34 - 35}{7}| = |-\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$.
$|\frac{45}{8} - 5| = |\frac{45 - 40}{8}| = |\frac{5}{8}| = \frac{5}{8}$.

Сравним полученные расстояния $\frac{1}{7}$ и $\frac{5}{8}$. Приведя их к общему знаменателю 56, получаем $\frac{8}{56}$ и $\frac{35}{56}$.
Поскольку $\frac{8}{56} < \frac{35}{56}$, то $\frac{1}{7} < \frac{5}{8}$.
Следовательно, значение $\frac{34}{7}$ находится ближе к 5.

Ответ: $\frac{34}{7}$

19.19 В наборе $5, 5, \dots, 5$ (20 штук) на двойки заменили $n$ пятёрок.

а) Найдите среднее получившегося набора при $n=5$.

б) Найдите среднее получившегося набора при $n=10$.

в) При каком наименьшем $n$ среднее получившегося набора станет не меньше 4?

г) При каком наименьшем $n$ среднее получившегося набора станет не меньше 3?

Первоначально в наборе было 20 чисел, каждое из которых равно 5.

По условию, $n$ пятёрок заменяют на двойки. Это означает, что после замены в наборе будет $n$ двоек и $(20-n)$ пятёрок. Общее количество чисел в наборе остаётся равным 20.

Сумма $S$ всех элементов нового набора равна сумме $n$ двоек и $(20-n)$ пятёрок:

$S = 2 \cdot n + 5 \cdot (20 - n) = 2n + 100 - 5n = 100 - 3n$.

Среднее арифметическое набора $M$ вычисляется как отношение суммы его элементов к их количеству:

$M = \frac{S}{20} = \frac{100 - 3n}{20}$.

а)

При $n = 5$ подставим это значение в формулу для среднего:

$M = \frac{100 - 3 \cdot 5}{20} = \frac{100 - 15}{20} = \frac{85}{20} = 4,25$.

Ответ: 4,25.

б)

При $n = 10$ подставим это значение в формулу для среднего:

$M = \frac{100 - 3 \cdot 10}{20} = \frac{100 - 30}{20} = \frac{70}{20} = 3,5$.

Ответ: 3,5.

в)

Требуется найти наименьшее целое $n$, при котором среднее $M$ станет меньше 4. Для этого решим неравенство:

$M < 4$

$\frac{100 - 3n}{20} < 4$

Умножим обе части на 20:

$100 - 3n < 80$

$-3n < 80 - 100$

$-3n < -20$

Разделим обе части на -3, не забыв поменять знак неравенства на противоположный:

$n > \frac{20}{3}$

$n > 6\frac{2}{3}$

Так как $n$ — это количество заменённых чисел, оно должно быть целым. Наименьшее целое число, которое больше $6\frac{2}{3}$, это 7.

Ответ: 7.

г)

Требуется найти наименьшее целое $n$, при котором среднее $M$ станет меньше 3. Решим неравенство:

$M < 3$

$\frac{100 - 3n}{20} < 3$

Умножим обе части на 20:

$100 - 3n < 60$

Вычтем 100 из обеих частей:

$-3n < -40$

Разделим обе части на -3, поменяв знак неравенства:

$n > \frac{40}{3}$

$n > 13\frac{1}{3}$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, это 14.

Ответ: 14.

19.20 Семь экспертов независимо оценивают качество товара. Наименьший и наибольший результаты отбрасывают и вычисляют дисперсию оставшихся оценок. Если дисперсия окажется меньше 0,09, то оценки товара считаются согласованными. Для следующих случаев оценок семи экспертов найдите дисперсию и определите, являются ли они согласованными или нет.

а) 12,3; 12,7; 12,5; 12,0; 12,6; 12,9; 12,4.

б) 10,6; 9,7; 10,3; 9,5; 10,5; 10,4; 9,6.

Для решения задачи необходимо для каждого набора оценок выполнить следующие действия:

1. Упорядочить оценки по возрастанию.
2. Отбросить наименьшую и наибольшую оценки.
3. Для оставшихся 5 оценок вычислить их среднее арифметическое (математическое ожидание) $\bar{x}$.
4. Вычислить дисперсию $D$ по формуле: $D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$, где $n=5$ — количество оставшихся оценок.
5. Сравнить полученную дисперсию со значением 0,09 и сделать вывод о согласованности оценок.

а)

Исходный набор оценок: 12,3; 12,7; 12,5; 12,0; 12,6; 12,9; 12,4.

1. Упорядочим оценки по возрастанию: 12,0; 12,3; 12,4; 12,5; 12,6; 12,7; 12,9.

2. Отбрасываем наименьшую (12,0) и наибольшую (12,9) оценки. Остаются следующие 5 оценок: 12,3; 12,4; 12,5; 12,6; 12,7.

3. Найдем среднее арифметическое оставшихся оценок:

$\bar{x} = \frac{12,3 + 12,4 + 12,5 + 12,6 + 12,7}{5} = \frac{62,5}{5} = 12,5$.

4. Вычислим дисперсию:

$D = \frac{(12,3-12,5)^2 + (12,4-12,5)^2 + (12,5-12,5)^2 + (12,6-12,5)^2 + (12,7-12,5)^2}{5}$

$D = \frac{(-0,2)^2 + (-0,1)^2 + 0^2 + (0,1)^2 + (0,2)^2}{5} = \frac{0,04 + 0,01 + 0 + 0,01 + 0,04}{5} = \frac{0,10}{5} = 0,02$.

5. Сравним полученную дисперсию с пороговым значением. Так как $0,02 < 0,09$, оценки считаются согласованными.

Ответ: Дисперсия равна 0,02. Оценки являются согласованными.

б)

Исходный набор оценок: 10,6; 9,7; 10,3; 9,5; 10,5; 10,4; 9,6.

1. Упорядочим оценки по возрастанию: 9,5; 9,6; 9,7; 10,3; 10,4; 10,5; 10,6.

2. Отбрасываем наименьшую (9,5) и наибольшую (10,6) оценки. Остаются следующие 5 оценок: 9,6; 9,7; 10,3; 10,4; 10,5.

3. Найдем среднее арифметическое оставшихся оценок:

$\bar{x} = \frac{9,6 + 9,7 + 10,3 + 10,4 + 10,5}{5} = \frac{50,5}{5} = 10,1$.

4. Вычислим дисперсию:

$D = \frac{(9,6-10,1)^2 + (9,7-10,1)^2 + (10,3-10,1)^2 + (10,4-10,1)^2 + (10,5-10,1)^2}{5}$

$D = \frac{(-0,5)^2 + (-0,4)^2 + (0,2)^2 + (0,3)^2 + (0,4)^2}{5} = \frac{0,25 + 0,16 + 0,04 + 0,09 + 0,16}{5} = \frac{0,70}{5} = 0,14$.

5. Сравним полученную дисперсию с пороговым значением. Так как $0,14 > 0,09$, оценки не считаются согласованными.

Ответ: Дисперсия равна 0,14. Оценки не являются согласованными.