Страница 134, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.11 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $x^2 + 4x - 21 \leq 0$. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства:

а) $-8 \leq x \leq 1$;

б) $x^2 - 4x - 21 \leq 0$;

в) $\frac{x+5}{2-x} \geq 0$;

г) $x^2 \leq 6$?

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события (выбранное решение удовлетворяет дополнительному неравенству) вычисляется как отношение меры (в данном случае, длины) множества благоприятных исходов к мере всего пространства элементарных исходов.

Сначала найдем множество решений исходного неравенства $x^2 + 4x - 21 \le 0$, которое представляет собой пространство элементарных исходов.

Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 4x - 21 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 4x - 21$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 4x - 21 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-7, 3]$.

Это множество $M = [-7, 3]$ является пространством элементарных исходов. Его длина (мера) равна $L(M) = 3 - (-7) = 10$.

Теперь рассмотрим каждое из предложенных неравенств.

а) $-8 \le x \le 1$

Множество решений этого неравенства — отрезок $A = [-8, 1]$.
Найдем пересечение этого множества с множеством решений исходного неравенства: $M \cap A = [-7, 3] \cap [-8, 1] = [-7, 1]$.
Длина полученного отрезка (множества благоприятных исходов) равна $L(M \cap A) = 1 - (-7) = 8$.
Вероятность того, что случайно выбранное решение из отрезка $[-7, 3]$ также принадлежит отрезку $[-8, 1]$, равна отношению длин:
$P(A) = \frac{L(M \cap A)}{L(M)} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$

б) $x^2 - 4x - 21 \le 0$

Решим это неравенство. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 21 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7$.
Множество решений этого неравенства — отрезок $B = [-3, 7]$.
Найдем пересечение: $M \cap B = [-7, 3] \cap [-3, 7] = [-3, 3]$.
Длина полученного отрезка равна $L(M \cap B) = 3 - (-3) = 6$.
Вероятность: $P(B) = \frac{L(M \cap B)}{L(M)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

в) $\frac{x+5}{2-x} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов.
Нули числителя: $x+5=0 \Rightarrow x=-5$.
Нули знаменателя: $2-x=0 \Rightarrow x=2$. Точка $x=2$ не входит в решение.
Нанесем точки $-5$ и $2$ на числовую прямую и определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -5]$, $[-5, 2)$ и $(2, +\infty)$.
Выражение $\frac{x+5}{2-x}$ положительно на интервале $(-5, 2)$ и равно нулю при $x=-5$.
Таким образом, множество решений неравенства — полуинтервал $C = [-5, 2)$.
Найдем пересечение: $M \cap C = [-7, 3] \cap [-5, 2) = [-5, 2)$.
Длина полученного полуинтервала равна $L(M \cap C) = 2 - (-5) = 7$.
Вероятность: $P(C) = \frac{L(M \cap C)}{L(M)} = \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{10}$

г) $x^2 \le 6$

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$.
Множество решений — отрезок $D = [-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$.
Так как $-7 < -\sqrt{6}$ (поскольку $49 > 6$) и $\sqrt{6} < 3$ (поскольку $6 < 9$), то отрезок $[-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$ полностью содержится в отрезке $[-7, 3]$.
Следовательно, пересечение множеств $M \cap D = [-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$.
Длина полученного отрезка равна $L(M \cap D) = \sqrt{6} - (-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$.
Вероятность: $P(D) = \frac{L(M \cap D)}{L(M)} = \frac{2\sqrt{6}}{10} = \frac{\sqrt{6}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{5}$

20.12 В прямоугольнике $ABCD$ отмечают середины $K$ и $L$ сторон $CD$ и $AD$ соответственно, а также точки $M$ и $N$ на сторонах $AB$ и $BC$ так, что $AM : MB = 1 : 3$ и $BN : NC = 1 : 2$. В прямоугольнике случайно отметили точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется:

а) в треугольнике $KCN$;

б) в треугольнике $MBN$;

в) вне треугольника $AMC$;

г) в четырёхугольнике $MNKL$?

Для решения задачи по геометрической вероятности, введем обозначения для сторон прямоугольника $ABCD$: пусть длина стороны $AB = CD = a$, а ширина $AD = BC = b$. Тогда площадь прямоугольника, которая представляет собой пространство всех возможных исходов, равна $S_{ABCD} = a \cdot b$.

Вероятность того, что случайно выбранная точка окажется в некоторой области внутри прямоугольника, вычисляется как отношение площади этой области к общей площади прямоугольника.

Определим длины отрезков, исходя из условий задачи:

• $K$ — середина стороны $CD$, следовательно, $CK = KD = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2}$.
• $L$ — середина стороны $AD$, следовательно, $AL = LD = \frac{1}{2} AD = \frac{b}{2}$.
• Точка $M$ на стороне $AB$ делит ее в отношении $AM : MB = 1 : 3$, поэтому $AM = \frac{1}{4} AB = \frac{a}{4}$ и $MB = \frac{3}{4} AB = \frac{3a}{4}$.
• Точка $N$ на стороне $BC$ делит ее в отношении $BN : NC = 1 : 2$, поэтому $BN = \frac{1}{3} BC = \frac{b}{3}$ и $NC = \frac{2}{3} BC = \frac{2b}{3}$.

Теперь найдем вероятности для каждого случая.

а) в треугольнике KCN;

Треугольник $KCN$ является прямоугольным, так как угол $C$ — это угол прямоугольника. Его катеты — $CK$ и $CN$.

Площадь треугольника $KCN$ вычисляется по формуле: $S_{KCN} = \frac{1}{2} \cdot CK \cdot NC$.

Подставим значения длин катетов: $S_{KCN} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2b}{3} = \frac{2ab}{12} = \frac{ab}{6}$.

Вероятность того, что точка окажется в треугольнике $KCN$, равна: $P(KCN) = \frac{S_{KCN}}{S_{ABCD}} = \frac{ab/6}{ab} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

б) в треугольнике MBN;

Треугольник $MBN$ является прямоугольным с прямым углом $B$. Его катеты — $MB$ и $BN$.

Площадь треугольника $MBN$ равна: $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BN$.

Подставим значения длин катетов: $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3a}{4} \cdot \frac{b}{3} = \frac{3ab}{24} = \frac{ab}{8}$.

Вероятность того, что точка окажется в треугольнике $MBN$, равна: $P(MBN) = \frac{S_{MBN}}{S_{ABCD}} = \frac{ab/8}{ab} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

в) вне треугольника AMC;

Сначала найдем вероятность того, что точка окажется внутри треугольника $AMC$. Затем вычтем эту вероятность из 1.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Его основание $AM$ лежит на стороне $AB$. Высота, проведенная из вершины $C$ к основанию $AM$ (или его продолжению), равна стороне прямоугольника $BC = b$.

Площадь треугольника $AMC$ равна: $S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot b = \frac{ab}{8}$.

Вероятность попадания точки в треугольник $AMC$ составляет: $P(\text{внутри } AMC) = \frac{S_{AMC}}{S_{ABCD}} = \frac{ab/8}{ab} = \frac{1}{8}$.

Следовательно, вероятность того, что точка окажется вне треугольника $AMC$, равна: $P(\text{вне } AMC) = 1 - P(\text{внутри } AMC) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$

г) в четырёхугольнике MNKL?

Площадь четырёхугольника $MNKL$ можно найти, вычтя из площади всего прямоугольника $ABCD$ площади четырех "угловых" треугольников: $ALM$, $MBN$, $NCK$ и $KDL$.

Найдем площади этих треугольников:

• $S_{ALM}$: прямоугольный треугольник с катетами $AL = \frac{b}{2}$ и $AM = \frac{a}{4}$. $S_{ALM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{16}$.
• $S_{MBN}$: площадь уже найдена в пункте б), $S_{MBN} = \frac{ab}{8}$.
• $S_{NCK}$: площадь уже найдена в пункте а) (как $S_{KCN}$), $S_{NCK} = \frac{ab}{6}$.
• $S_{KDL}$: прямоугольный треугольник с катетами $KD = \frac{a}{2}$ и $DL = \frac{b}{2}$. $S_{KDL} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8}$.

Суммарная площадь этих четырех треугольников равна: $S_{углов} = S_{ALM} + S_{MBN} + S_{NCK} + S_{KDL} = \frac{ab}{16} + \frac{ab}{8} + \frac{ab}{6} + \frac{ab}{8}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 48: $S_{углов} = ab \left( \frac{3}{48} + \frac{6}{48} + \frac{8}{48} + \frac{6}{48} \right) = ab \left( \frac{3+6+8+6}{48} \right) = \frac{23ab}{48}$.

Площадь четырёхугольника $MNKL$ равна: $S_{MNKL} = S_{ABCD} - S_{углов} = ab - \frac{23ab}{48} = \frac{48ab - 23ab}{48} = \frac{25ab}{48}$.

Вероятность того, что точка окажется в четырёхугольнике $MNKL$, равна: $P(MNKL) = \frac{S_{MNKL}}{S_{ABCD}} = \frac{25ab/48}{ab} = \frac{25}{48}$.

Ответ: $\frac{25}{48}$

20.13 Из цифр 0, 1, 4, 8, 9 случайным образом составляют двузначное число (повторения допускаются). Какова вероятность того, что получится:

а) наименьшее из всех таких чисел;

б) чётное число;

в) число, кратное 9;

г) число, удалённое от 50 менее чем на 20?

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных исходов, то есть сколько всего двузначных чисел можно составить из данных цифр.

Дан набор цифр: {0, 1, 4, 8, 9}. Всего 5 цифр. Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. На месте первой цифры (десятки) может быть любая из данных цифр, кроме 0, так как иначе число не будет двузначным. Таким образом, для первой цифры есть 4 варианта: 1, 4, 8, 9. На месте второй цифры (единицы) может быть любая из 5 данных цифр, поскольку повторения допускаются. Варианты для второй цифры: 0, 1, 4, 8, 9.

Общее число $N$ всех возможных двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой цифры: $N = 4 \times 5 = 20$.

Вероятность события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число равновозможных исходов.

а) наименьшее из всех таких чисел

Чтобы найти наименьшее число, рассмотрим все возможные числа, начиная с наименьшей возможной первой цифры (1). Наименьшее число получится, если на месте десятков стоит наименьшая возможная цифра (1), а на месте единиц — также наименьшая возможная цифра (0). Таким образом, наименьшее из всех таких чисел — это 10.

Это единственный благоприятный исход, поэтому число благоприятных исходов $m = 1$. Вероятность того, что получится наименьшее число, равна: $P(а) = \frac{m}{N} = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$

б) чётное число

Чётное число — это число, которое оканчивается на чётную цифру. Из нашего набора {0, 1, 4, 8, 9} чётными являются цифры {0, 4, 8}. Таким образом, для второй цифры (единицы) есть 3 варианта. Для первой цифры (десятки) по-прежнему 4 варианта {1, 4, 8, 9}.

Число благоприятных исходов $m$ (количество чётных чисел) можно найти, перемножив количество вариантов для каждой цифры: $m = 4 \times 3 = 12$.

Вероятность того, что получится чётное число: $P(б) = \frac{m}{N} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

в) число, кратное 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Проверим все возможные комбинации первой и второй цифр.

• Первая цифра 1: $1 + x$ должно быть кратно 9. Подходит $x=8$. Число 18.
• Первая цифра 4: $4 + x$ должно быть кратно 9. Среди {0, 1, 4, 8, 9} подходящего $x$ нет.
• Первая цифра 8: $8 + x$ должно быть кратно 9. Подходит $x=1$. Число 81.
• Первая цифра 9: $9 + x$ должно быть кратно 9. Подходят $x=0$ и $x=9$. Числа 90 и 99.

Таким образом, благоприятные исходы — это числа 18, 81, 90, 99. Всего 4 благоприятных исхода, следовательно, $m = 4$.

Вероятность того, что получится число, кратное 9: $P(в) = \frac{m}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

г) число, удалённое от 50 менее чем на 20

Пусть искомое число — это $X$. Условие "число, удалённое от 50 менее чем на 20" можно записать в виде неравенства с модулем: $|X - 50| < 20$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству: $-20 < X - 50 < 20$. Прибавив 50 ко всем трём частям, получим: $50 - 20 < X < 50 + 20$, $30 < X < 70$.

Теперь необходимо найти, сколько из 20 возможных чисел попадают в этот интервал. Подходящие числа — это те, у которых первая цифра 4. Таких чисел 5: 40, 41, 44, 48, 49. Все они больше 30 и меньше 70. Числа, начинающиеся на 1, меньше 30. Числа, начинающиеся на 8 или 9, больше 70.

Таким образом, у нас 5 благоприятных исходов: 40, 41, 44, 48, 49. Число благоприятных исходов $m = 5$.

Вероятность получить такое число: $P(г) = \frac{m}{N} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

20.14 Монету подбрасывают четыре раза. Какова вероятность того, что:

а) все четыре раза результат будет одним и тем же;

б) при первых трёх подбрасываниях выпадет решка;

в) в последний раз выпадет орёл;

г) орлов и решек выпадет одинаково?

Для решения задачи определим общее число возможных исходов. При каждом подбрасывании монеты есть два равновероятных исхода: орёл (О) или решка (Р). Поскольку монету подбрасывают четыре раза и броски являются независимыми событиями, общее число всех возможных элементарных исходов равно $N = 2^4 = 16$. Все эти исходы равновероятны.

а) все четыре раза результат будет одним и тем же;
Это событие (назовем его A) происходит в двух случаях: если все четыре раза выпал орёл (ОООО) или если все четыре раза выпала решка (РРРР). Таким образом, число благоприятных исходов $m_A = 2$. Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

б) при первых трёх подбрасываниях выпадет решка;
Пусть событие B заключается в том, что первые три результата — решка (РРР). Четвертый результат может быть любым: орлом или решкой. Следовательно, благоприятными исходами являются последовательности: РРРР и РРРО. Число благоприятных исходов $m_B = 2$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
Также можно отметить, что вероятность выпадения решки в каждом из первых трех независимых бросков равна $\frac{1}{2}$. Итоговая вероятность произведения этих событий: $P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

в) в последний раз выпадет орёл;
Событие C — в четвертый (последний) раз выпадает орёл. Результаты первых трех бросков могут быть любыми. Для первых трех бросков существует $2^3 = 8$ различных комбинаций. Каждая из них в сочетании с орлом на четвертом месте является благоприятным исходом. Значит, число благоприятных исходов $m_C = 8$. Вероятность события C: $P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
Так как все броски независимы, вероятность выпадения орла в любом конкретном броске (в том числе и в последнем) равна $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) орлов и решек выпадет одинаково?
Событие D — количество орлов и решек одинаково. При четырех бросках это означает, что выпадет 2 орла и 2 решки. Число благоприятных исходов $m_D$ равно числу способов выбрать 2 позиции для орлов из 4 возможных. Это число сочетаний из 4 по 2: $m_D = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
Благоприятные исходы: ООРР, ОРОР, ОРРО, РРОО, РОРО, РООР. Вероятность события D: $P(D) = \frac{m_D}{N} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$

20.15 В квадратное уравнение $x^2 + bx + 15 = 0$ в качестве коэффициента $b$ подставляют некоторое натуральное число от 2 до 11. Найдите вероятность того, что у полученного квадратного уравнения:

а) будут два различных корня;

б) не будет корней;

в) будет хотя бы один отрицательный корень;

г) будет хотя бы один положительный корень.

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx + 15 = 0$. Коэффициент $b$ выбирается случайным образом из множества натуральных чисел от 2 до 11 включительно. Это множество $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$.

Общее число возможных значений для коэффициента $b$ равно $11 - 2 + 1 = 10$. Это общее число $N$ равновероятных исходов для нашего вероятностного эксперимента.

Наличие и количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$. Для нашего уравнения с коэффициентами $a=1$ и $c=15$, дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = b^2 - 60$.

а) будут два различных корня;

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант строго положителен: $D > 0$. Это условие приводит к неравенству: $b^2 - 60 > 0$, что эквивалентно $b^2 > 60$.

Нам нужно найти, сколько значений $b$ из нашего множества $\{2, ..., 11\}$ удовлетворяют этому неравенству. Поскольку $7^2 = 49 < 60$, а $8^2 = 64 > 60$, неравенству удовлетворяют все целые числа из заданного диапазона, начиная с 8. Это значения $b \in \{8, 9, 10, 11\}$.

Таким образом, число благоприятных исходов $m$ равно 4. Вероятность этого события $P(A)$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{m}{N} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

б) не будет корней;

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен: $D < 0$. Это условие приводит к неравенству: $b^2 - 60 < 0$, что эквивалентно $b^2 < 60$.

Найдем, какие значения $b$ из множества $\{2, ..., 11\}$ удовлетворяют этому неравенству. Так как $7^2 = 49 < 60$ и $8^2 = 64 > 60$, неравенство выполняется для всех целых чисел из нашего диапазона, которые меньше 8. Это значения $b \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Число благоприятных исходов $m$ равно 6. Вероятность этого события $P(B)$ равна: $P(B) = \frac{m}{N} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

в) будет хотя бы один отрицательный корень;

Для анализа знаков корней воспользуемся теоремой Виета. Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = 15$

Во-первых, чтобы у уравнения были действительные корни, необходимо, чтобы $D \ge 0$. Как мы выяснили в пункте а), это выполняется для $b \in \{8, 9, 10, 11\}$ (случай $D=0$ для целочисленных $b$ невозможен, т.к. $\sqrt{60}$ не является целым числом).

Во-вторых, проанализируем знаки корней для этих значений $b$. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 15$. Так как оно положительно, корни имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные). Сумма корней $x_1 + x_2 = -b$. Так как $b$ — натуральное число ($b \ge 2$), то $-b$ всегда отрицательно. Если два числа имеют одинаковый знак, а их сумма отрицательна, то оба этих числа должны быть отрицательными.

Следовательно, если у уравнения есть корни, то они оба отрицательные. Таким образом, событие "будет хотя бы один отрицательный корень" эквивалентно событию "уравнение имеет действительные корни". Это происходит при $b \in \{8, 9, 10, 11\}$, то есть в 4 случаях из 10.

Вероятность этого события $P(C) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

г) будет хотя бы один положительный корень.

Как было установлено в решении пункта в), если у данного уравнения существуют действительные корни (при $b \in \{8, 9, 10, 11\}$), то они оба являются отрицательными. Это следует из теоремы Виета: $x_1 \cdot x_2 = 15 > 0$ и $x_1 + x_2 = -b < 0$.

Таким образом, не существует такого натурального значения $b$, при котором уравнение имело бы хотя бы один положительный корень. Это событие является невозможным.

Число благоприятных исходов $m$ равно 0. Вероятность невозможного события равна нулю: $P(D) = \frac{0}{10} = 0$.

Ответ: $0$