Страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3. Обладает ли график функции $y = x^{-2n}$, $n \in N$, симметрией?

Относительно чего?

Чтобы определить наличие и вид симметрии у графика функции $y = x^{-2n}$ при $n \in N$, необходимо исследовать данную функцию на четность.

Напомним определения:

• Функция $f(x)$ называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Функция $f(x)$ называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{-2n}$.

1. Найдем область определения функции. Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{2n}}$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x^{2n} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно точки $x=0$.

2. Проверим выполнение условия четности. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = (-x)^{-2n}$.

Поскольку $n$ является натуральным числом ($n \in N$), показатель степени $2n$ всегда будет четным натуральным числом (например, 2, 4, 6, ...). Для любой четной степени $k=2n$ и любого $x \neq 0$ выполняется свойство: $(-x)^k = x^k$.

Используя это свойство, преобразуем выражение для $f(-x)$:$f(-x) = (-x)^{-2n} = \frac{1}{(-x)^{2n}} = \frac{1}{x^{2n}} = x^{-2n}$.

Таким образом, мы получили, что $f(-x) = x^{-2n} = f(x)$.

Так как условие $f(-x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, функция $y = x^{-2n}$ является четной. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Ответ: Да, график функции обладает симметрией. Он симметричен относительно оси ординат (оси OY).

4. Является ли функция $y = x^{-2n}$, $n \in N$, чётной или нечётной?

4.

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проверить ее на соответствие определениям. Функция $y = f(x)$ является четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция является нечетной, если ее область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим заданную функцию $y(x) = x^{-2n}$, где $n \in \mathbb{N}$.

Сначала найдем область определения функции. Функцию можно представить в виде дроби $y(x) = \frac{1}{x^{2n}}$. Дробь определена, когда ее знаменатель не равен нулю. Значит, $x^{2n} \ne 0$, что выполняется при $x \ne 0$. Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно начала координат, так как если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже ей принадлежит.

Теперь проверим выполнение условия четности/нечетности. Для этого найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = (-x)^{-2n} = \frac{1}{(-x)^{2n}}$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), то показатель степени $2n$ всегда будет четным натуральным числом (например, 2, 4, 6 и так далее). При возведении любого ненулевого числа в четную степень результат будет таким же, как при возведении в эту степень противоположного ему числа. Таким образом, $(-x)^{2n} = x^{2n}$.

Подставим это в выражение для $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{1}{x^{2n}}$.

Сравнивая это с исходной функцией $y(x) = x^{-2n} = \frac{1}{x^{2n}}$, мы видим, что выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.

Так как область определения симметрична и $y(-x) = y(x)$, то функция является четной.

Ответ: функция является четной.

5. Обладает ли график функции $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, симметрией?

Относительно чего?

Для того чтобы определить, обладает ли график функции $y = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$, симметрией, необходимо исследовать эту функцию на четность и нечетность.

Функция является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Функция является нечетной, если выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки O(0,0)).

Рассмотрим показатель степени в заданной функции: $-(2n-1)$. Поскольку $n$ является натуральным числом ($n=1, 2, 3, \ldots$), выражение $2n-1$ всегда является нечетным натуральным числом ($1, 3, 5, \ldots$). Следовательно, показатель степени $-(2n-1)$ является нечетным отрицательным целым числом для любого $n \in \mathbb{N}$.

Теперь проверим, как ведет себя функция $y(x) = x^{-(2n-1)}$ при замене аргумента $x$ на $-x$. Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции в точке $-x$:$y(-x) = (-x)^{-(2n-1)}$Это выражение можно записать в виде дроби:$y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2n-1}}$

Так как степень $2n-1$ является нечетным числом, то для любого $x$ выполняется равенство $(-x)^{2n-1} = -x^{2n-1}$.Подставим это в наше выражение:$y(-x) = \frac{1}{-x^{2n-1}} = - \frac{1}{x^{2n-1}} = -x^{-(2n-1)}$

Сравнивая полученный результат с исходной функцией $y(x) = x^{-(2n-1)}$, мы видим, что:$y(-x) = -y(x)$

Это равенство является определением нечетной функции. Таким образом, функция $y = x^{-(2n-1)}$ является нечетной для любого натурального $n$. График любой нечетной функции обладает центральной симметрией относительно начала координат.

Ответ: Да, график функции обладает симметрией. Он симметричен относительно начала координат.

6. Является ли функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, чётной или нечётной?

Для того чтобы определить, является ли функция $y(x) = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$, четной или нечетной, необходимо проверить ее на соответствие двум условиям: симметричность области определения и выполнение одного из равенств: $y(-x) = y(x)$ (для четной функции) или $y(-x) = -y(x)$ (для нечетной функции).

Сначала найдем область определения функции. Функцию можно представить в виде $y(x) = \frac{1}{x^{2n-1}}$. Данное выражение определено для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Условие $x^{2n-1} \neq 0$ выполняется для всех $x \neq 0$. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно начала координат, так как если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит.

Теперь проверим, как ведет себя функция при замене $x$ на $-x$. Найдем $y(-x)$:$y(-x) = (-x)^{-(2n-1)}$.

Рассмотрим показатель степени $2n-1$. По условию, $n$ — натуральное число ($n = 1, 2, 3, \ldots$). Это означает, что $2n$ всегда является четным числом, а $2n-1$ — всегда нечетным натуральным числом (например, 1, 3, 5, ...).

Используем свойство степеней, согласно которому возведение отрицательного основания в нечетную степень дает отрицательный результат: $(-a)^k = -a^k$, если $k$ — нечетное число. Преобразуем выражение для $y(-x)$:$y(-x) = (-x)^{-(2n-1)} = \frac{1}{(-x)^{2n-1}}$.

Поскольку показатель степени $2n-1$ является нечетным, то $(-x)^{2n-1} = -x^{2n-1}$. Подставим это в наше выражение:$y(-x) = \frac{1}{-x^{2n-1}} = - \frac{1}{x^{2n-1}}$.

Сравнивая полученный результат с исходной функцией $y(x) = \frac{1}{x^{2n-1}}$, мы видим, что выполняется равенство:$y(-x) = -y(x)$.

Так как область определения функции симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, данная функция является нечетной при любом натуральном значении $n$.

Ответ: функция является нечетной.

7. Какова область значений функции $y=x^{-2n}, n \in N$?

Для нахождения области значений функции $y = x^{-2n}$ при $n \in \mathbb{N}$ проанализируем её свойства.

В первую очередь, преобразуем данную функцию, используя свойство степени с отрицательным показателем: $y = x^{-2n} = \frac{1}{x^{2n}}$

По условию, $n$ является натуральным числом, то есть $n$ может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$. Следовательно, показатель степени $2n$ всегда будет являться положительным четным числом (например, $2, 4, 6, \ldots$).

Рассмотрим знаменатель дроби: $x^{2n}$. Поскольку показатель степени $2n$ — четное число, то при любом действительном значении $x \neq 0$ результат возведения в эту степень будет строго положительным. То есть, $x^{2n} > 0$ для всех $x$ из области определения функции. Область определения, в свою очередь, исключает $x=0$, так как на ноль делить нельзя.

Теперь проанализируем значение всей дроби $y = \frac{1}{x^{2n}}$. Числитель дроби равен 1 (положительное число), а знаменатель, как мы установили, всегда строго положителен ($x^{2n} > 0$). Деление положительного числа на положительное число всегда дает в результате положительное число. Следовательно, $y$ может принимать только значения, большие нуля ($y > 0$).

Чтобы определить, все ли положительные значения может принимать $y$, рассмотрим поведение функции на границах её области определения. Когда $x$ стремится к нулю ($x \to 0$), знаменатель $x^{2n}$ также стремится к нулю, оставаясь положительным ($x^{2n} \to 0^+$). В этом случае значение функции $y = \frac{1}{x^{2n}}$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$). Когда $x$ стремится к плюс или минус бесконечности ($x \to \pm\infty$), знаменатель $x^{2n}$ стремится к плюс бесконечности ($x^{2n} \to +\infty$). В этом случае значение функции $y = \frac{1}{x^{2n}}$ стремится к нулю, оставаясь положительным ($y \to 0^+$).

Поскольку функция непрерывна на своей области определения $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ и ее значения могут быть как сколь угодно близки к нулю (но не достигая его), так и сколь угодно велики, она принимает все значения на интервале от $0$ до $+\infty$, не включая $0$.

Таким образом, область значений функции — это множество всех положительных действительных чисел.
Ответ: $(0, +\infty)$.

8. Какова область значений функции $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in \mathbb{N}$?

Для того чтобы найти область значений функции $y = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$, необходимо проанализировать ее поведение в зависимости от переменной $x$ и параметра $n$.

1. Анализ показателя степени
Параметр $n$ принадлежит множеству натуральных чисел, то есть $n = 1, 2, 3, \ldots$. Рассмотрим, какие значения принимает выражение $2n-1$:

• При $n=1$, показатель равен $-(2 \cdot 1 - 1) = -1$. Функция: $y=x^{-1} = \frac{1}{x}$.
• При $n=2$, показатель равен $-(2 \cdot 2 - 1) = -3$. Функция: $y=x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.
• При $n=3$, показатель равен $-(2 \cdot 3 - 1) = -5$. Функция: $y=x^{-5} = \frac{1}{x^5}$.

В общем случае, выражение $2n-1$ представляет собой любое положительное нечетное число. Обозначим это число как $k = 2n-1$, где $k \in \{1, 3, 5, \ldots\}$.

2. Анализ функции
Таким образом, исходную функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^k}$, где $k$ — любое положительное нечетное целое число.
Область определения данной функции — все действительные числа, кроме тех, где знаменатель обращается в ноль. $x^k = 0$ только при $x=0$. Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
Теперь найдем множество значений, которые может принимать $y$.

• Пусть $x > 0$. Тогда $x^k$ также будет положительным числом ($x^k > 0$), так как любое положительное число в любой степени положительно. Когда $x$ пробегает все значения от $0$ до $+\infty$, $x^k$ также пробегает все значения от $0$ до $+\infty$. Тогда $y = \frac{1}{x^k}$ будет принимать все значения от $+\infty$ до $0$. Таким образом, для $x>0$ значения $y$ покрывают интервал $(0, +\infty)$.
• Пусть $x < 0$. Так как $k$ — нечетное число, то $x^k$ будет отрицательным числом ($x^k < 0$). Когда $x$ пробегает все значения от $-\infty$ до $0$, $x^k$ также пробегает все значения от $-\infty$ до $0$. Тогда $y = \frac{1}{x^k}$ будет принимать все значения от $0$ до $-\infty$. Таким образом, для $x<0$ значения $y$ покрывают интервал $(-\infty, 0)$.

Значение $y=0$ не достигается, так как для этого необходимо, чтобы дробь $\frac{1}{x^k}$ была равна нулю, что невозможно, поскольку ее числитель равен 1.

3. Вывод
Объединяя оба случая, мы заключаем, что функция может принимать любые действительные значения, как положительные, так и отрицательные, но не может быть равна нулю.

Ответ: Область значений функции — это множество всех действительных чисел, кроме нуля: $E(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

9. Что называют асимптотой графика функции $y = f(x)$?

Асимптота графика функции $y=f(x)$ — это прямая, к которой график функции приближается сколь угодно близко при удалении его точки в бесконечность. То есть, расстояние от точки на графике до этой прямой стремится к нулю.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальная асимптота

Прямая вида $x=a$ называется вертикальной асимптотой графика функции $y=f(x)$, если при приближении $x$ к точке $a$ (слева или справа) значение функции стремится к бесконечности. Математически это записывается как выполнение хотя бы одного из условий:
$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ или $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$.
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции, например, в точках, где знаменатель рациональной функции обращается в ноль, а числитель — нет.

Горизонтальная асимптота

Прямая вида $y=b$ называется горизонтальной асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x \to +\infty$ (или при $x \to -\infty$), если предел функции при стремлении $x$ к соответствующей бесконечности равен конечному числу $b$.
Математически это определяется условиями:
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ или $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$.
Функция может иметь одну горизонтальную асимптоту (если пределы при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ равны), две разные горизонтальные асимптоты или не иметь их вовсе.

Наклонная асимптота

Прямая вида $y=kx+b$ (где $k \neq 0$) называется наклонной асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x \to \pm\infty$, если расстояние между графиком функции и этой прямой стремится к нулю.
Коэффициенты $k$ и $b$ находятся с помощью пределов:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$
Наклонная асимптота существует только в том случае, если оба предела существуют и конечны, причем $k \neq 0$. Если $k=0$, то асимптота является горизонтальной. Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, наклонной асимптоты нет.

Ответ: Асимптотой графика функции $y=f(x)$ называют прямую, к которой неограниченно приближается график данной функции по мере того, как его точка удаляется на бесконечность. В зависимости от её положения относительно осей координат, асимптота может быть вертикальной (прямая $x=a$), горизонтальной (прямая $y=b$) или наклонной (прямая $y=kx+b$). Каждому виду асимптоты соответствует своё определение через пределы функции.

10. Запишите уравнения асимптот графика функции $y = x^{-2n}$, $n \in N$.

Данная функция $y = x^{-2n}$, где $n$ — натуральное число ($n \in N$), может быть представлена в виде $y = \frac{1}{x^{2n}}$. Так как $n$ — натуральное число, показатель $2n$ всегда будет положительным четным числом (2, 4, 6, и т.д.). Для нахождения асимптот графика этой функции исследуем ее поведение в точках разрыва и на бесконечности.

Сначала найдем вертикальные асимптоты. Они могут существовать в точках, где функция не определена. Знаменатель дроби $x^{2n}$ обращается в ноль при $x=0$. Это единственная точка разрыва функции. Найдем предел функции при приближении к этой точке. Поскольку показатель степени $2n$ является четным, знаменатель $x^{2n}$ всегда положителен при $x \neq 0$ и стремится к нулю, когда $x \to 0$.

$\lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2n}} = +\infty$

Так как предел функции в точке $x=0$ равен бесконечности, прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.

Далее найдем горизонтальные асимптоты, исследовав поведение функции на бесконечности ($x \to \pm\infty$). Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид $y=k$, где $k = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$.

$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^{2n}} = 0$, так как знаменатель неограниченно возрастает.

$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2n}} = 0$, так как показатель $2n$ четный, и знаменатель $(-\infty)^{2n} = +\infty$ также неограниченно возрастает.

Поскольку пределы на плюс и минус бесконечности равны нулю, прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот вида $y=kx+b$ (при $k \neq 0$) у функции нет, так как уже существует горизонтальная асимптота.

Ответ: $x=0$, $y=0$.

11. Запишите уравнения асимптот графика функции $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$.

Данная функция $y = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел: $1, 2, 3, \ldots$).
Преобразуем вид функции, используя свойство степени с отрицательным показателем: $y = \frac{1}{x^{2n-1}}$

Поскольку $n$ — натуральное число, показатель степени $k = 2n-1$ будет принимать значения:

• при $n=1$, $k=2(1)-1=1$, функция $y = \frac{1}{x}$
• при $n=2$, $k=2(2)-1=3$, функция $y = \frac{1}{x^3}$
• при $n=3$, $k=2(3)-1=5$, функция $y = \frac{1}{x^5}$

Таким образом, для любого натурального $n$ показатель степени $2n-1$ является положительным нечетным числом.

Поиск вертикальных асимптот

Вертикальные асимптоты существуют в точках разрыва функции. Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа, кроме тех, где знаменатель обращается в ноль. $x^{2n-1} = 0 \implies x = 0$ Найдем односторонние пределы в точке $x=0$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^{2n-1}} = \frac{1}{(+0)^{2n-1}} = +\infty$ $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^{2n-1}} = \frac{1}{(-0)^{2n-1}} = -\infty$ (поскольку $2n-1$ — нечетное число) Так как пределы в точке $x=0$ равны бесконечности, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

Поиск горизонтальных асимптот

Горизонтальные асимптоты определяются поведением функции при $x \to \pm\infty$. Найдем пределы: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2n-1}}$ Поскольку $n \in \mathbb{N}$, то $2n-1 \ge 1$. При $x \to \infty$, знаменатель $x^{2n-1} \to \infty$, следовательно, вся дробь стремится к нулю. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2n-1}} = 0$

Аналогично для $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2n-1}} = 0$ Так как пределы при $x \to \pm\infty$ существуют и равны 0, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Поскольку существует горизонтальная асимптота, наклонные асимптоты отсутствуют.

Ответ: Уравнения асимптот: $x=0$ (вертикальная асимптота) и $y=0$ (горизонтальная асимптота).

12. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = x^{-2n}$, $n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

б) функция $y = x^{-2n}$, $n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0;

в) функция $y = x^{-2n}$, $n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

г) функция $y = x^{-2n}$, $n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо проанализировать поведение функции $y = x^{-2n}$, где $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{2n}}$. Поскольку $n \in \mathbb{N}$, показатель $2n$ является положительным четным числом. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не должен обращаться в ноль. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Для исследования функции на монотонность (возрастание или убывание) найдем ее производную:

$y' = (x^{-2n})' = -2n \cdot x^{-2n-1} = -\frac{2n}{x^{2n+1}}$

Теперь определим знак производной на интервалах области определения.

1. При $x > 0$ (интервал $(0, +\infty)$, соответствующий в задаче условию $x \ge 0$):

Знаменатель $x^{2n+1}$ будет положительным, так как положительное число в любой степени положительно. Числитель $-2n$ отрицателен ($n \in \mathbb{N}$).

$y' = \frac{-2n}{x^{2n+1}} = \frac{\text{отрицательное}}{\text{положительное}} < 0$

Поскольку производная отрицательна, функция на этом интервале убывает.

2. При $x < 0$ (интервал $(-\infty, 0)$, соответствующий в задаче условию $x \le 0$):

Знаменатель $x^{2n+1}$ будет отрицательным, так как отрицательное число в нечетной степени ($2n+1$ всегда нечетно) отрицательно. Числитель $-2n$ также отрицателен.

$y' = \frac{-2n}{x^{2n+1}} = \frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}} > 0$

Поскольку производная положительна, функция на этом интервале возрастает.

Итак, функция $y = x^{-2n}$ убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$. Проверим предложенные утверждения.

а) функция $y = x^{-2n}, n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$

Решение: Это утверждение неверно. Наш анализ показал, что функция убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$.

Ответ: неверно.

б) функция $y = x^{-2n}, n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$

Решение: Это утверждение неверно, так как при $x > 0$ функция убывает.

Ответ: неверно.

в) функция $y = x^{-2n}, n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$

Решение: Это утверждение неверно, так как при $x < 0$ функция возрастает.

Ответ: неверно.

г) функция $y = x^{-2n}, n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$?

Решение: Это утверждение полностью соответствует нашему анализу. Функция убывает на интервале $(0, +\infty)$ (условие $x \ge 0$) и возрастает на интервале $(-\infty, 0)$ (условие $x \le 0$).

Ответ: верно.

13. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

б) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0;

в) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

г) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0?

Для того чтобы определить, на каких промежутках функция $y = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$, возрастает или убывает, необходимо исследовать знак ее производной.

Сначала проанализируем саму функцию. Показатель степени $k = -(2n-1)$. Поскольку $n$ является натуральным числом ($n=1, 2, 3, \dots$), выражение $2n-1$ представляет собой последовательность нечетных натуральных чисел ($1, 3, 5, \dots$). Следовательно, показатель степени $k = -(2n-1)$ является отрицательным нечетным целым числом. Примерами таких функций являются $y=x^{-1}=\frac{1}{x}$, $y=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ и так далее.

Найдем производную функции $y = x^{-(2n-1)}$ по степенному правилу дифференцирования $(x^a)' = ax^{a-1}$:
$y' = \frac{d}{dx}(x^{-(2n-1)}) = -(2n-1) \cdot x^{-(2n-1)-1} = -(2n-1)x^{-2n}$

Запишем производную в более удобном для анализа виде:
$y' = -\frac{2n-1}{x^{2n}}$

Теперь определим знак производной для всех $x$ из области определения функции (то есть для $x \ne 0$):

• Числитель дроби, $2n-1$, является положительным числом, так как $n \ge 1$. Соответственно, выражение $-(2n-1)$ всегда отрицательно.
• Знаменатель дроби, $x^{2n} = (x^2)^n$, всегда положителен при любом ненулевом значении $x$, так как любое действительное число, отличное от нуля, в четной степени ($2n$) будет положительным.

Таким образом, производная $y'$ представляет собой частное от деления отрицательного числа $-(2n-1)$ на положительное число $x^{2n}$. Это означает, что $y' < 0$ для всех $x \ne 0$.

Согласно правилу, если производная функции на некотором интервале отрицательна, то функция на этом интервале убывает. Поскольку $y' < 0$ как при $x > 0$, так и при $x < 0$, функция $y = x^{-(2n-1)}$ является убывающей на обоих интервалах своей области определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что верным является утверждение в).

Ответ: в) функция $y = x^{-(2n-1)}, n \in \mathbb{N}$, убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$;

14. Какое из утверждений верно:

a) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0;

б) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

в) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

г) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0?

Для исследования функции на выпуклость (вогнутость) необходимо найти ее вторую производную $y''$. Функция является выпуклой вниз (convex), если $y'' > 0$, и выпуклой вверх (concave), если $y'' < 0$.

Дана функция $y = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$.

Найдем первую производную:

$y' = (x^{-(2n-1)})' = -(2n-1)x^{-(2n-1)-1} = -(2n-1)x^{-2n}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = (-(2n-1)x^{-2n})' = -(2n-1)(-2n)x^{-2n-1} = 2n(2n-1)x^{-(2n+1)}$.

Запишем вторую производную в виде дроби:

$y'' = \frac{2n(2n-1)}{x^{2n+1}}$

Проанализируем знак $y''$.

Так как $n \in \mathbb{N}$ (натуральные числа, $n \ge 1$), множитель $2n(2n-1)$ в числителе всегда положителен. Показатель степени в знаменателе, $2n+1$, является нечетным натуральным числом для любого $n \in \mathbb{N}$ (например, 3, 5, 7, ...). Поэтому знак знаменателя $x^{2n+1}$ совпадает со знаком $x$.

Таким образом, знак второй производной $y''$ зависит от знака $x$:

• При $x > 0$, знаменатель $x^{2n+1} > 0$, следовательно $y'' = \frac{+}{+} > 0$. Функция выпукла вниз.
• При $x < 0$, знаменатель $x^{2n+1} < 0$, следовательно $y'' = \frac{+}{-} < 0$. Функция выпукла вверх.

Теперь проверим каждое из утверждений на основе полученных выводов.

а) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in \mathbb{N}$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$;

Из нашего анализа следует, что при $x > 0$ функция выпукла вниз ($y'' > 0$), а утверждение говорит, что она выпукла вверх. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

б) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in \mathbb{N}$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

Из нашего анализа следует, что при $x > 0$ функция выпукла вниз ($y'' > 0$), а не вверх. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in \mathbb{N}$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

Это утверждение полностью соответствует результатам нашего анализа: при $x > 0$ функция выпукла вниз ($y'' > 0$), а при $x < 0$ — выпукла вверх ($y'' < 0$).

Ответ: верно.

г) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in \mathbb{N}$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$?

Из нашего анализа следует, что при $x < 0$ функция выпукла вверх ($y'' < 0$), а не вниз. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

20.6 В задании линейной функции $y = ax + 152$ в качестве коэффициента $a$ наудачу подставляют некоторое число из множества $\{-10, -3, 0, 1, 2\}$. Найдите вероятность того, что график функции:

а) не пересечёт ось ординат;

б) не пересечёт ось абсцисс;

в) пересечёт ось абсцисс левее точки $(-50; 0)$;

г) не пересечёт четвёртую координатную четверть.

В задаче дана линейная функция $y = ax + 152$. Коэффициент $a$ выбирается случайным образом из множества $\{-10, -3, 0, 1, 2\}$. Всего возможно 5 равновероятных исходов для значения $a$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятных исходов. В нашем случае $n=5$.

а) не пересечёт ось ординат;

График функции пересекает ось ординат (ось $y$) в точке, где $x=0$. Подставим $x=0$ в уравнение функции:$y = a \cdot 0 + 152 = 152$.Это означает, что при любом значении коэффициента $a$ из заданного множества, график функции всегда пересекает ось ординат в точке $(0; 152)$.Следовательно, событие "график не пересечёт ось ординат" невозможно. Число благоприятных исходов $m=0$.Вероятность этого события: $P = \frac{0}{5} = 0$.
Ответ: $0$.

б) не пересечёт ось абсцисс;

График функции пересекает ось абсцисс (ось $x$) в точке, где $y=0$. Подставим $y=0$ в уравнение функции:$0 = ax + 152$$ax = -152$Это уравнение имеет решение $x = -\frac{152}{a}$, если коэффициент $a \neq 0$.Если же $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -152$, или $0 = -152$, что является неверным равенством. Это означает, что при $a=0$ у уравнения нет решений, и график функции не пересекает ось абсцисс. В этом случае функция имеет вид $y = 152$ — это прямая, параллельная оси абсцисс.Из множества $\{-10, -3, 0, 1, 2\}$ только одно значение $a=0$ удовлетворяет условию. Число благоприятных исходов $m=1$.Вероятность этого события: $P = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) пересечёт ось абсцисс левее точки $(-50; 0)$;

Точка пересечения графика с осью абсцисс имеет координату $x = -\frac{152}{a}$ (это возможно только при $a \neq 0$).Условие "левее точки $(-50; 0)$" означает, что абсцисса точки пересечения должна быть меньше $-50$:$-\frac{152}{a} < -50$.Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:$\frac{152}{a} > 50$.Проверим это неравенство для каждого ненулевого значения $a$ из множества $\{-10, -3, 1, 2\}$.
При $a=-10$: $\frac{152}{-10} > 50 \implies -15.2 > 50$. Неверно.
При $a=-3$: $\frac{152}{-3} > 50 \implies -50\frac{2}{3} > 50$. Неверно.
При $a=1$: $\frac{152}{1} > 50 \implies 152 > 50$. Верно.
При $a=2$: $\frac{152}{2} > 50 \implies 76 > 50$. Верно.
Условию удовлетворяют два значения: $a=1$ и $a=2$. Число благоприятных исходов $m=2$.Вероятность этого события: $P = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

г) не пересечёт четвертую координатную четверть.

Четвертая координатная четверть определяется условиями $x>0$ и $y<0$.График функции $y = ax + 152$ не пересечёт четвертую четверть, если для всех $x>0$ будет выполняться условие $y \ge 0$.Точка пересечения с осью $y$ — $(0; 152)$. Эта точка лежит на положительной полуоси ординат.
Рассмотрим поведение функции при $x>0$ в зависимости от знака $a$.
- Если $a>0$ (значения $1, 2$), функция возрастает. Так как при $x=0$ значение $y=152>0$, то для всех $x>0$ значение $y$ будет еще больше. Следовательно, график будет находиться в I и II четвертях и не пересечёт IV четверть. Эти значения $a$ являются благоприятными.
- Если $a=0$, функция имеет вид $y=152$. Это горизонтальная прямая, которая проходит через I и II четверти и не пересекает IV четверть. Это значение $a$ является благоприятным.
- Если $a<0$ (значения $-10, -3$), функция убывает. Она пересекает ось $y$ в точке $(0; 152)$ и, убывая, пересечёт ось $x$ в точке $x = -\frac{152}{a} > 0$. Для всех $x$, больших этой точки пересечения, значения $y$ будут отрицательными. Таким образом, часть графика будет находиться в IV четверти. Эти значения $a$ не являются благоприятными.
Благоприятными являются значения $a \in \{0, 1, 2\}$. Число благоприятных исходов $m=3$.Вероятность этого события: $P = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

20.7 В каждую клетку таблички $2\times2$ случайным образом ставят крестик или нолик. Найдите вероятность того, что:

а) будет поставлен ровно один крестик;

б) будет поставлено ровно два нолика;

в) в левой нижней клетке будет стоять крестик;

г) в верхней левой и нижней правой клетках будут разные значки.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Таблица размером 2×2 состоит из 4 клеток. В каждую клетку случайным образом ставится либо крестик, либо нолик, то есть для каждой клетки есть 2 варианта. Так как заполнение клеток — независимые события, общее число способов заполнить таблицу равно $N = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$. Все эти 16 исходов являются равновероятными.

а) будет поставлен ровно один крестик

Пусть событие А заключается в том, что в таблице поставлен ровно один крестик. Это означает, что остальные три клетки должны быть заполнены ноликами. Число благоприятствующих этому событию исходов равно числу способов выбрать одну клетку для крестика из четырех. Это можно рассчитать с помощью числа сочетаний $C_n^k$.

Количество благоприятных исходов $M_a = C_4^1 = \binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.

Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{M_a}{N} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) будет поставлено ровно два нолика

Пусть событие Б заключается в том, что в таблице поставлено ровно два нолика. Это также означает, что две оставшиеся клетки заняты крестиками. Число благоприятных исходов — это количество способов выбрать две клетки для ноликов из четырех.

Количество благоприятных исходов $M_б = C_4^2 = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Вероятность события Б равна: $P(Б) = \frac{M_б}{N} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

в) в левой нижней клетке будет стоять крестик

Пусть событие В заключается в том, что в левой нижней клетке стоит крестик. В этом случае содержимое одной клетки зафиксировано (1 вариант — крестик). Каждая из трех оставшихся клеток может быть заполнена либо крестиком, либо ноликом, то есть для каждой из них есть 2 варианта.

Число благоприятных исходов $M_в$ равно произведению числа вариантов для каждой из оставшихся клеток: $M_в = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$.

Вероятность события В равна: $P(В) = \frac{M_в}{N} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) в верхней левой и нижней правой клетках будут разные значки

Пусть событие Г заключается в том, что в верхней левой и нижней правой клетках стоят разные значки. Содержимое двух других клеток (верхней правой и нижней левой) может быть любым, что дает $2 \times 2 = 4$ варианта для их заполнения. Для указанных двух клеток (верхней левой и нижней правой) есть два благоприятных варианта:

1. Верхняя левая — крестик, нижняя правая — нолик.

2. Верхняя левая — нолик, нижняя правая — крестик.

Для каждого из этих двух вариантов есть 4 способа заполнить остальные две клетки. Таким образом, общее число благоприятных исходов $M_г = 2 \cdot 4 = 8$.

Вероятность события Г равна: $P(Г) = \frac{M_г}{N} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

20.8 В красный цвет покрашены 37 точек из 100, а 23 точки из оставшихся покрашены в синий цвет. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется:

а) синей;

б) не красной;

в) красной или синей;

г) неокрашенной?

Для решения задачи сначала определим количество точек каждого вида. Общее число точек $N = 100$.

1. Количество красных точек по условию: $N_{красных} = 37$.

2. Количество оставшихся точек после покраски красных: $100 - 37 = 63$.

3. Количество синих точек по условию (из оставшихся): $N_{синих} = 23$.

4. Количество неокрашенных точек. Это точки, которые не являются ни красными, ни синими. Их можно найти, вычтя из общего числа точек количество красных и синих: $N_{неокрашенных} = 100 - N_{красных} - N_{синих} = 100 - 37 - 23 = 40$.

Вероятность случайного события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу возможных исходов $n$: $P = \frac{m}{n}$. В данном случае общее число исходов $n=100$.

а) синей;

Событие A — выбранная точка синяя. Число благоприятных исходов $m$ равно количеству синих точек, то есть $m = 23$.

Вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется синей, равна:

$P(A) = \frac{23}{100} = 0,23$.

Ответ: 0,23

б) не красной;

Событие B — выбранная точка не красная. Это означает, что точка может быть синей или неокрашенной. Количество благоприятных исходов $m$ равно сумме синих и неокрашенных точек: $m = N_{синих} + N_{неокрашенных} = 23 + 40 = 63$.

Вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется не красной, равна:

$P(B) = \frac{63}{100} = 0,63$.

Ответ: 0,63

в) красной или синей;

Событие C — выбранная точка красная или синяя. Количество благоприятных исходов $m$ равно сумме красных и синих точек: $m = N_{красных} + N_{синих} = 37 + 23 = 60$.

Вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется красной или синей, равна:

$P(C) = \frac{60}{100} = 0,6$.

Ответ: 0,6

г) неокрашенной?

Событие D — выбранная точка неокрашенная. Мы уже определили, что количество неокрашенных точек равно 40. Следовательно, число благоприятных исходов $m=40$.

Вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется неокрашенной, равна:

$P(D) = \frac{40}{100} = 0,4$.

Ответ: 0,4

20.9 Найдите вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет:

а) четвёрка;

б) чётное число очков;

в) число очков больше четырёх;

г) число очков, не кратное трём.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию.

При одном бросании стандартного игрального кубика имеется 6 возможных исходов (выпадение грани с числом очков 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Все эти исходы равновероятны. Таким образом, общее число элементарных исходов $n = 6$ для всех подпунктов задачи.

а) четвёрка;

Событие А заключается в том, что выпала четвёрка. Этому событию благоприятствует только один исход — выпадение грани с числом 4. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность этого события: $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) чётное число очков;

Событие Б заключается в том, что выпало чётное число очков. Благоприятными исходами являются выпадение чисел 2, 4 или 6. Всего таких исходов 3. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 3$.

Вероятность этого события: $P(Б) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) число очков больше четырёх;

Событие В заключается в том, что выпало число очков больше четырёх. Этому условию удовлетворяют исходы, когда выпадают числа 5 или 6. Количество таких исходов равно 2. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность этого события: $P(В) = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) число очков, не кратное трём.

Событие Г заключается в том, что выпало число очков, не кратное трём. Из возможных чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6} кратными трём являются 3 и 6. Остальные числа — 1, 2, 4, 5 — не кратны трём. Количество таких исходов равно 4. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 4$.

Вероятность этого события: $P(Г) = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

20.10 Из костей домино случайно выбирают одну. Найдите вероятность того, что:

а) она не является дублем;

б) на ней не выпала тройка;

в) произведение очков на ней меньше 29;

г) выпавшие очки различаются больше чем на 1.

Стандартный набор домино содержит кости со значениями очков от 0 до 6. Каждая кость представляет собой неупорядоченную пару чисел $(a, b)$, где $a, b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Общее число костей домино $N$ в наборе можно найти как число сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа от 0 до 6) по 2:

$N = C_{7+2-1}^{2} = C_{8}^{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$.

Таким образом, общее число равновероятных исходов при выборе одной кости равно 28.

а) она не является дублем;

Событие A — выбранная кость не является дублем. Дублем называется кость, у которой очки на обеих половинках совпадают. В стандартном наборе домино 7 дублей: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).

Количество костей, которые не являются дублями, равно общему числу костей минус число дублей. Назовем это число благоприятных исходов $m_A$.

$m_A = 28 - 7 = 21$.

Вероятность $P(A)$ того, что случайно выбранная кость не является дублем, вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) на ней не выпала тройка;

Событие B — на выбранной кости нет очков, равных трем. Для нахождения вероятности этого события найдем сначала количество костей, на которых есть тройка. Это следующие кости: (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6). Всего таких костей 7.

Следовательно, количество костей, на которых нет тройки (число благоприятных исходов $m_B$), равно:

$m_B = 28 - 7 = 21$.

Вероятность $P(B)$ данного события равна:

$P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) произведение очков на ней меньше 29;

Событие C — произведение очков на кости меньше 29. Найдем количество костей, для которых это условие не выполняется, то есть произведение очков больше или равно 29. Пусть очки на кости $(a, b)$, где $0 \le a \le b \le 6$.

Переберем кости, для которых $a \cdot b \ge 29$:

• Кость (5,6): $5 \cdot 6 = 30 \ge 29$.
• Кость (6,6): $6 \cdot 6 = 36 \ge 29$.

Для всех остальных костей произведение будет меньше. Например, для кости (4,6) произведение равно 24, а для (5,5) — 25. Таким образом, только 2 кости не удовлетворяют условию.

Число благоприятных исходов $m_C$ (произведение меньше 29) равно:

$m_C = 28 - 2 = 26$.

Вероятность $P(C)$ этого события:

$P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{26}{28} = \frac{13}{14}$.

Ответ: $\frac{13}{14}$.

г) выпавшие очки различаются больше чем на 1.

Событие D — разница между очками на кости строго больше 1. Пусть очки на кости $(a, b)$, где $a \le b$. Условие записывается как $b - a > 1$.

Найдем количество костей, для которых это условие не выполняется, то есть разница очков меньше или равна 1 ($b - a \le 1$).

1. Разница равна 0 ($b-a=0$): это все 7 дублей.
2. Разница равна 1 ($b-a=1$): это кости с соседними значениями очков: (0,1), (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6). Таких костей 6.

Общее количество костей, где разница не больше 1, составляет $7 + 6 = 13$.

Следовательно, количество костей, у которых разница очков больше 1 (число благоприятных исходов $m_D$), равно:

$m_D = 28 - 13 = 15$.

Вероятность $P(D)$ этого события:

$P(D) = \frac{m_D}{N} = \frac{15}{28}$.

Ответ: $\frac{15}{28}$.