Страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.2 По многолетней статистике отдела контроля из 1000 экземпляров некоторой детали, выпущенной на предприятии, в среднем оказывается 4 бракованные детали. Сколько бракованных деталей в среднем можно ожидать:

а) в партии из 4000 деталей;

б) в партии из 7500 деталей;

в) в партии из 11250 деталей;

г) в партии из 300 деталей?

Для решения задачи сначала найдем частоту (или вероятность) появления бракованной детали. Согласно статистике, на 1000 деталей приходится 4 бракованных.

Частота брака = $\frac{\text{Количество бракованных деталей}}{\text{Общее количество деталей}} = \frac{4}{1000} = 0.004$

Это означает, что в среднем 0.4% всех выпускаемых деталей являются бракованными. Чтобы найти ожидаемое количество бракованных деталей в партии любого размера, нужно умножить размер партии на эту частоту.

а) в партии из 4000 деталей;

Ожидаемое количество бракованных деталей равно произведению размера партии на частоту брака:

$4000 \cdot 0.004 = 16$

Также можно рассуждать через пропорцию: партия в 4000 деталей в 4 раза больше партии в 1000 деталей ($4000 / 1000 = 4$). Следовательно, и бракованных деталей в среднем будет в 4 раза больше: $4 \cdot 4 = 16$.

Ответ: 16 бракованных деталей.

б) в партии из 7500 деталей;

Умножим размер партии на частоту брака:

$7500 \cdot 0.004 = 30$

Ответ: 30 бракованных деталей.

в) в партии из 11250 деталей;

Умножим размер партии на частоту брака:

$11250 \cdot 0.004 = 45$

Ответ: 45 бракованных деталей.

г) в партии из 300 деталей?

Умножим размер партии на частоту брака:

$300 \cdot 0.004 = 1.2$

Так как речь идет о среднем (математическом ожидании) количестве, оно может быть нецелым числом.

Ответ: 1.2 бракованной детали.

21.3 По сведениям университетской приёмной комиссии, процент поступающих, верно решивших все задачи на письменном экзамене по математике, практически постоянен за последние несколько лет и равен примерно $1,5\%$.

а) В прошлом году было 405 абитуриентов. Оцените число абитуриентов, решивших все задачи.

б) В позапрошлом году было 467 абитуриентов. Оцените число абитуриентов, решивших все задачи.

в) В этом году подано 534 заявления. Сколько можно ожидать абитуриентов, которые верно решат все задачи?

г) Два года назад 5 абитуриентов верно решили все задачи. Сколько примерно было абитуриентов?

а) Для оценки числа абитуриентов, решивших все задачи, необходимо найти 1,5% от их общего числа. Сначала переведем процент в десятичную дробь: $1,5\% = 0,015$.
Теперь умножим общее число абитуриентов на эту дробь:
$405 \times 0,015 = 6,075$
Поскольку число людей должно быть целым, округляем полученный результат до ближайшего целого числа. Таким образом, число абитуриентов, решивших все задачи, можно оценить как 6.
Ответ: 6 абитуриентов.

б) Действуем аналогично предыдущему пункту. Находим 1,5% от 467 абитуриентов:
$467 \times 0,015 = 7,005$
Округляя до ближайшего целого, получаем, что число абитуриентов, решивших все задачи, можно оценить как 7.
Ответ: 7 абитуриентов.

в) Чтобы спрогнозировать, сколько абитуриентов решат все задачи в этом году, снова используем известный процент (1,5%) от общего числа подавших заявления (534):
$534 \times 0,015 = 8,01$
Округляя до ближайшего целого, можно ожидать, что 8 абитуриентов верно решат все задачи.
Ответ: 8 абитуриентов.

г) В этой задаче нам известно, что 5 абитуриентов, решивших все задачи, составляют 1,5% от общего числа абитуриентов. Пусть общее число абитуриентов равно $N$. Тогда мы можем составить пропорцию:
$N \times 0,015 = 5$
Чтобы найти $N$, нужно разделить 5 на 0,015:
$N = \frac{5}{0,015} = \frac{5}{15/1000} = \frac{5 \times 1000}{15} = \frac{5000}{15} = \frac{1000}{3} \approx 333,33$
Округляя до ближайшего целого, получаем, что общее число абитуриентов было примерно 333.
Ответ: примерно 333 абитуриента.

21.4 По статистике ежедневных продаж в продовольственном супермаркете процент чеков на сумму менее 100 р. достаточно устойчив и колеблется от 9% (по субботам) до 11% (по вторникам).

а) Во вторник в супермаркете было 1247 покупателей. Оцените количество покупок на сумму менее 100 р.

б) В субботу было 2357 покупателей. Оцените количество покупок на сумму не менее 100 р.

в) За неделю было выбито 9785 чеков. В каких пределах лежит число чеков на сумму менее 100 р.?

г) За месяц было выбито 4017 чеков на сумму менее 100 р. Оцените число покупателей за месяц.

а) По условию, во вторник процент чеков на сумму менее 100 р. составляет 11%. Общее количество покупателей в этот день — 1247. Чтобы оценить количество покупок на сумму менее 100 р., необходимо найти 11% от общего числа покупателей.
Расчет: $1247 \times \frac{11}{100} = 1247 \times 0.11 = 137.17$.
Поскольку количество покупок — это целое число, округляем полученное значение.
Ответ: примерно 137 покупок.

б) В субботу было 2357 покупателей. По условию, в этот день процент чеков на сумму менее 100 р. составляет 9%. Следовательно, процент чеков на сумму не менее 100 р. (то есть 100 р. и более) составляет $100\% - 9\% = 91\%$.
Оценим количество таких покупок, найдя 91% от общего числа покупателей.
Расчет: $2357 \times \frac{91}{100} = 2357 \times 0.91 = 2144.87$.
Округляя до целого числа, получаем 2145.
Ответ: примерно 2145 покупок.

в) За неделю было выбито 9785 чеков. Процент чеков на сумму менее 100 р. колеблется в пределах от 9% до 11%. Чтобы найти пределы, в которых лежит число таких чеков, вычислим нижнюю и верхнюю границы.
Нижняя граница (9% от общего числа): $9785 \times 0.09 = 880.65$.
Верхняя граница (11% от общего числа): $9785 \times 0.11 = 1076.35$.
Число чеков должно быть целым, поэтому оно находится в диапазоне от $\lceil 880.65 \rceil = 881$ до $\lfloor 1076.35 \rfloor = 1076$.
Ответ: число чеков на сумму менее 100 р. лежит в пределах от 881 до 1076.

г) За месяц было выбито 4017 чеков на сумму менее 100 р. Пусть $N$ — общее число покупателей (и чеков) за месяц. Доля чеков на сумму менее 100 р. составляет от 9% до 11% от общего числа. Это можно выразить двойным неравенством:
$0.09 \le \frac{4017}{N} \le 0.11$.
Чтобы найти пределы для $N$, решим это неравенство.
Из левой части $0.09 \le \frac{4017}{N}$ получаем $N \le \frac{4017}{0.09}$, то есть $N \le 44633.33...$
Из правой части $\frac{4017}{N} \le 0.11$ получаем $N \ge \frac{4017}{0.11}$, то есть $N \ge 36518.18...$
Объединяя результаты, получаем: $36518.18... \le N \le 44633.33...$
Поскольку число покупателей $N$ должно быть целым, оно находится в диапазоне от $\lceil 36518.18... \rceil = 36519$ до $\lfloor 44633.33... \rfloor = 44633$.
Ответ: число покупателей за месяц находится в пределах от 36519 до 44633.

21.5 На железнодорожном вокзале при проходе к поездам пригородного сообщения стоят турникеты. Примерно 38 % ежедневно проданных билетов составляют билеты до 2-й зоны и 17 % составляют билеты до 3-й зоны.

а) В понедельник было продано 12153 билета до 2-й зоны. Оцените количество билетов, проданных в понедельник.

б) Оцените количество билетов, проданных в понедельник до 3-й зоны.

в) Во вторник было продано 6057 билетов до 3-й зоны. Сколько примерно было продано билетов до 2-й зоны?

г) Оцените количество билетов, проданных за эти два дня.

а) Согласно условию, билеты до 2-й зоны составляют примерно 38% от общего числа проданных билетов. Обозначим общее количество проданных в понедельник билетов за $N_{общ}$. Тогда количество билетов до 2-й зоны, равное 12153, составляет 0.38 от $N_{общ}$.
Чтобы найти общее количество билетов, нужно решить уравнение: $12153 = 0.38 \times N_{общ}$.
Отсюда, $N_{общ} = \frac{12153}{0.38} \approx 31981.58$.
Поскольку количество билетов — это целое число, округлим результат до ближайшего целого.
Ответ: Примерно 31982 билета.

б) Билеты до 3-й зоны составляют 17% от общего числа проданных билетов. Мы можем использовать общее количество билетов, найденное в пункте а), чтобы оценить количество билетов до 3-й зоны ($N_3$) в понедельник.
$N_3 \approx N_{общ} \times 0.17 \approx 31982 \times 0.17 \approx 5436.94$.
Более точный способ — найти соотношение между билетами до 3-й и 2-й зон, так как это не зависит от округления общего числа билетов: $\frac{N_3}{N_2} \approx \frac{17\%}{38\%}$.
Тогда $N_3 \approx N_2 \times \frac{17}{38} = 12153 \times \frac{17}{38} \approx 5436.79$.
Округлим результат до ближайшего целого.
Ответ: Примерно 5437 билетов.

в) Во вторник было продано 6057 билетов до 3-й зоны, что составляет 17% от общего числа. Мы можем использовать соотношение долей, чтобы найти количество билетов до 2-й зоны ($N_2$), которые составляют 38%.
Соотношение: $\frac{N_2}{N_3} \approx \frac{38\%}{17\%}$.
Отсюда $N_2 \approx N_3 \times \frac{38}{17} = 6057 \times \frac{38}{17} \approx 13539.18$.
Округлим результат до ближайшего целого.
Ответ: Примерно 13539 билетов.

г) Чтобы оценить общее количество билетов, проданных за два дня, нужно сложить общее количество билетов за понедельник и за вторник.
Общее количество билетов за понедельник, как мы нашли в пункте а), составляет примерно 31982 билета.
Теперь оценим общее количество билетов за вторник ($N_{общ, вт}$). Известно, что 6057 билетов до 3-й зоны составляют 17% от общего числа:
$N_{общ, вт} \approx \frac{6057}{0.17} \approx 35629.41$. Округляем до 35629 билетов.
Суммарное количество за два дня: $31982 + 35629 = 67611$.
Ответ: Примерно 67611 билетов.