Страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4 На какое из указанных чисел делится значение выражения

$108^2 - 87^2$?

1) 70;

2) 91;

3) 95;

4) 143.

Для того чтобы определить, на какое из указанных чисел делится значение выражения $108^2 - 87^2$, необходимо это выражение упростить. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу для нашего случая, где $a = 108$ и $b = 87$:

$108^2 - 87^2 = (108 - 87)(108 + 87)$

Теперь вычислим значения в каждой из скобок:

$108 - 87 = 21$

$108 + 87 = 195$

Таким образом, значение исходного выражения равно произведению чисел $21$ и $195$:

$108^2 - 87^2 = 21 \times 195$

Чтобы проверить делимость на указанные в вариантах ответа числа, разложим множители $21$ и $195$ на простые множители. Это позволит нам увидеть все простые делители исходного выражения.

$21 = 3 \times 7$

$195 = 5 \times 39 = 3 \times 5 \times 13$

Следовательно, полное разложение значения выражения на простые множители выглядит так:

$21 \times 195 = (3 \times 7) \times (3 \times 5 \times 13) = 3^2 \times 5 \times 7 \times 13$

Теперь проверим, на какое из предложенных чисел делится полученное значение. Число делится на другое число, если все простые множители делителя содержатся в разложении делимого.

1) 70: Разложение на простые множители: $70 = 2 \times 5 \times 7$. В разложении нашего выражения $3^2 \times 5 \times 7 \times 13$ отсутствует множитель $2$. Следовательно, значение выражения на 70 не делится.

2) 91: Разложение на простые множители: $91 = 7 \times 13$. Оба множителя, $7$ и $13$, присутствуют в разложении нашего выражения. Следовательно, значение выражения делится на 91.

3) 95: Разложение на простые множители: $95 = 5 \times 19$. В разложении нашего выражения отсутствует множитель $19$. Следовательно, значение выражения на 95 не делится.

4) 143: Разложение на простые множители: $143 = 11 \times 13$. В разложении нашего выражения отсутствует множитель $11$. Следовательно, значение выражения на 143 не делится.

Таким образом, единственное число из предложенных вариантов, на которое делится значение выражения $108^2 - 87^2$, — это 91.

Ответ: 91.

5 Укажите номера выражений, значения которых равны числу −1.

1) $8 \cdot 1,25 - 9$

2) $8 \cdot 0,125 - 2$

3) $0,8 \cdot (-1,25) + 2$

4) $-0,8 \cdot 12,5 + 9$

Чтобы найти выражения, значения которых равны -1, необходимо вычислить значение каждого из них по порядку.

1) $8 \cdot 1,25 - 9$

Сначала выполняем умножение, а затем вычитание:
$8 \cdot 1,25 = 10$
$10 - 9 = 1$
Значение выражения равно 1, что не соответствует условию.
Ответ: 1

2) $8 \cdot 0,125 - 2$

Сначала выполняем умножение. Удобно представить $0,125$ как обыкновенную дробь $\frac{1}{8}$:
$8 \cdot 0,125 = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$
Теперь выполняем вычитание:
$1 - 2 = -1$
Значение выражения равно -1. Этот номер подходит.
Ответ: -1

3) $0,8 \cdot (-1,25) + 2$

Сначала выполняем умножение. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно:
$0,8 \cdot (-1,25) = -(0,8 \cdot 1,25) = -1$
Теперь выполняем сложение:
$-1 + 2 = 1$
Значение выражения равно 1, что не соответствует условию.
Ответ: 1

4) $-0,8 \cdot 12,5 + 9$

Сначала выполняем умножение:
$-0,8 \cdot 12,5 = -(0,8 \cdot 12,5) = -(8 \cdot 1,25) = -10$
Теперь выполняем сложение:
$-10 + 9 = -1$
Значение выражения равно -1. Этот номер также подходит.
Ответ: -1

Таким образом, выражения, значения которых равны числу -1, находятся под номерами 2 и 4.

6 Укажите номера выражений, значения которых равны числу –2.

1) $4 \cdot (-0.75) + 1$

2) $4 \cdot 0.75 - 5$

3) $0.4 \cdot (-7.5) - 1$

4) $-0.04 \cdot 75 + 2$

Чтобы указать номера выражений, значения которых равны $-2$, необходимо поочередно вычислить значение каждого из предложенных выражений.

1) $4 \cdot (-0,75) + 1$
Сначала выполним действие умножения: $4 \cdot (-0,75) = -3$.
Затем выполним сложение: $-3 + 1 = -2$.
Значение первого выражения равно $-2$.

2) $4 \cdot 0,75 - 5$
Сначала выполним действие умножения: $4 \cdot 0,75 = 3$.
Затем выполним вычитание: $3 - 5 = -2$.
Значение второго выражения равно $-2$.

3) $0,4 \cdot (-7,5) - 1$
Сначала выполним действие умножения: $0,4 \cdot (-7,5) = -3$.
Затем выполним вычитание: $-3 - 1 = -4$.
Значение третьего выражения равно $-4$.

4) $-0,04 \cdot 75 + 2$
Сначала выполним действие умножения: $-0,04 \cdot 75 = -3$.
Затем выполним сложение: $-3 + 2 = -1$.
Значение четвертого выражения равно $-1$.

Сравнив полученные результаты, мы видим, что значения, равные числу $-2$, имеют выражения под номерами 1 и 2.

Ответ: 1, 2.

7 Установите соответствие между выражением и его значением.

А. $\frac{1}{3} : 0,3;$

Б. $0,3 \cdot \frac{2}{3};$

В. $0,4 : 1\frac{1}{3}.$

1) 0,3;

2) 0,2;

3) 0,1;

4) $1\frac{1}{9}.$

Для установления соответствия необходимо вычислить значение каждого выражения.

А. $\frac{1}{3} : 0,3$

Переведем десятичную дробь $0,3$ в обыкновенную: $0,3 = \frac{3}{10}$.
Выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$\frac{1}{3} : \frac{3}{10} = \frac{1}{3} \cdot \frac{10}{3} = \frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$.
Это значение соответствует варианту ответа под номером 4.
Ответ: 4.

Б. $0,3 \cdot \frac{2}{3}$

Переведем десятичную дробь $0,3$ в обыкновенную: $0,3 = \frac{3}{10}$.
Выполним умножение дробей:
$\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 3}$.
Сократим общий множитель 3 в числителе и знаменателе:
$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Переведем полученную дробь в десятичную:
$\frac{1}{5} = 0,2$.
Это значение соответствует варианту ответа под номером 2.
Ответ: 2.

В. $0,4 : 1\frac{1}{3}$

Переведем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби для удобства вычислений.
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
Выполним деление дробей:
$\frac{2}{5} : \frac{4}{3} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20}$.
Сократим полученную дробь:
$\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
Переведем результат в десятичную дробь:
$\frac{3}{10} = 0,3$.
Это значение соответствует варианту ответа под номером 1.
Ответ: 1.

Итоговое соответствие: А – 4, Б – 2, В – 1.

8 Установите соответствие между выражением и его значением.

А. $ \frac{1}{6} - 0,6 $;

Б. $ 0,6 - 1\frac{1}{6} $;

В. $ 0,6 - \frac{5}{6} $.

1) $ -\frac{7}{30} $;

2) $ -\frac{23}{30} $;

3) $ -\frac{13}{30} $;

4) $ -\frac{17}{30} $.

Для того чтобы установить соответствие, необходимо вычислить значение каждого выражения. Для удобства вычислений переведем десятичную дробь 0,6 в обыкновенную и смешанные числа в неправильные дроби.

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$

Теперь решим каждое выражение.

А. $\frac{1}{6} - 0,6$

Подставим значение $0,6 = \frac{3}{5}$ и приведем дроби к общему знаменателю 30 (наименьшее общее кратное для 6 и 5).

$\frac{1}{6} - \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{5}{30} - \frac{18}{30} = \frac{5 - 18}{30} = -\frac{13}{30}$

Данное значение соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3

Б. $0,6 - 1\frac{1}{6}$

Подставим значения $0,6 = \frac{3}{5}$ и $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30.

$\frac{3}{5} - \frac{7}{6} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} - \frac{7 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{18}{30} - \frac{35}{30} = \frac{18 - 35}{30} = -\frac{17}{30}$

Такого ответа среди вариантов нет. Однако вариант 4) имеет значение $\frac{17}{30}$, которое отличается от нашего результата только знаком. Вероятнее всего, в условии задания допущена опечатка и имелось в виду выражение $1\frac{1}{6} - 0,6$. Проверим это предположение:

$1\frac{1}{6} - 0,6 = \frac{7}{6} - \frac{3}{5} = \frac{7 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{35}{30} - \frac{18}{30} = \frac{17}{30}$

Результат совпал с вариантом 4). Таким образом, выражению Б соответствует вариант 4.

Ответ: 4

В. $0,6 - \frac{5}{6}$

Подставим значение $0,6 = \frac{3}{5}$ и приведем дроби к общему знаменателю 30.

$\frac{3}{5} - \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} - \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{18}{30} - \frac{25}{30} = \frac{18 - 25}{30} = -\frac{7}{30}$

Данное значение соответствует варианту под номером 1.

Ответ: 1

9 Установите соответствие между обыкновенной и десятичной дробью.

A. $ \frac{1}{3} $;

Б. $ \frac{5}{8} $;

В. $ \frac{1}{16} $.

1) 0,625;

2) 0,3;

3) 0,(3);

4) 0,0625.

Для установления соответствия необходимо перевести каждую обыкновенную дробь в десятичную.

Чтобы перевести обыкновенную дробь $ \frac{1}{3} $ в десятичную, необходимо разделить числитель 1 на знаменатель 3. Это можно сделать делением в столбик.

$ 1 \div 3 = 0,333... $

Получается бесконечная периодическая десятичная дробь. В математической записи это обозначается как $ 0,(3) $. Сравнивая с предложенными вариантами, находим соответствие с номером 3.

Ответ: 3

Чтобы перевести обыкновенную дробь $ \frac{5}{8} $ в десятичную, необходимо разделить числитель 5 на знаменатель 8. Выполним деление в столбик:

$ 5 \div 8 = 0,625 $

Другой способ — привести знаменатель к степени 10. Знаменатель 8 можно домножить на 125, чтобы получить 1000. Соответственно, числитель также нужно домножить на 125:

$ \frac{5}{8} = \frac{5 \times 125}{8 \times 125} = \frac{625}{1000} = 0,625 $

Полученное значение соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1

Чтобы перевести обыкновенную дробь $ \frac{1}{16} $ в десятичную, необходимо разделить числитель 1 на знаменатель 16. Выполним деление в столбик:

$ 1 \div 16 = 0,0625 $

Также можно привести знаменатель к степени 10. Знаменатель $ 16 = 2^4 $. Чтобы получить степень 10 (в данном случае $ 10^4 = 10000 $), нужно домножить на $ 5^4 = 625 $:

$ \frac{1}{16} = \frac{1 \times 625}{16 \times 625} = \frac{625}{10000} = 0,0625 $

Это значение соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4

10 Установите соответствие между обыкновенной и десятичной дробью.

А. $ \frac{1}{6} $

Б. $ \frac{3}{5} $

В. $ \frac{2}{3} $.

1) 1,6

2) 0,6

3) $0,(6)$

4) $0,1(6)$.

Для того чтобы установить соответствие между обыкновенными и десятичными дробями, необходимо каждую обыкновенную дробь перевести в десятичную. Это делается путем деления числителя на знаменатель.

А.

Рассмотрим дробь $\frac{1}{6}$. Чтобы перевести ее в десятичную, разделим числитель 1 на знаменатель 6:

$1 \div 6 = 0,1666...$

В результате деления мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь. После запятой стоит цифра 1, а затем бесконечно повторяется цифра 6 (период). Такая дробь записывается в виде $0,1(6)$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4

Б.

Рассмотрим дробь $\frac{3}{5}$. Чтобы перевести ее в десятичную, можно привести ее к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} = 0,6$

Также можно просто разделить числитель 3 на знаменатель 5, что даст тот же результат: $3 \div 5 = 0,6$. Это конечная десятичная дробь.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2

В.

Рассмотрим дробь $\frac{2}{3}$. Переведем ее в десятичную, разделив числитель 2 на знаменатель 3:

$2 \div 3 = 0,666...$

В результате деления мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь, у которой цифра 6 бесконечно повторяется. Такая дробь записывается в виде $0,(6)$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3

11 Запишите десятичную дробь, сумма разрядных слагаемых которой равна

а) $2 \cdot 10 + 3 \cdot 10^{-1} + 10^{-3}$;

б) $4 \cdot 10^0 + 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3}$.

а) Чтобы записать десятичную дробь по сумме ее разрядных слагаемых, необходимо определить, какая цифра какому разряду соответствует. Разряд определяется степенью числа 10.

Рассмотрим выражение: $2 \cdot 10 + 3 \cdot 10^{-1} + 10^{-3}$.

Слагаемое $2 \cdot 10$ (или $2 \cdot 10^1$) соответствует разряду десятков. Значит, цифра в разряде десятков равна 2.
В выражении отсутствует слагаемое с $10^0$, что соответствует разряду единиц. Значит, в разряде единиц стоит 0.
Слагаемое $3 \cdot 10^{-1}$ соответствует разряду десятых (первая цифра после запятой). Значит, цифра в разряде десятых равна 3.
В выражении отсутствует слагаемое с $10^{-2}$, что соответствует разряду сотых. Значит, в разряде сотых стоит 0.
Слагаемое $10^{-3}$ (можно записать как $1 \cdot 10^{-3}$) соответствует разряду тысячных (третья цифра после запятой). Значит, цифра в разряде тысячных равна 1.
Собираем число из полученных цифр: 2 десятка, 0 единиц, 3 десятых, 0 сотых и 1 тысячная. В виде десятичной дроби это записывается как 20,301.
Проверим сложением: $2 \cdot 10 + 3 \cdot 10^{-1} + 10^{-3} = 20 + 0.3 + 0.001 = 20.301$.
Ответ: 20,301.

б) Аналогично поступим со вторым выражением.

Рассмотрим выражение: $4 \cdot 10^0 + 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3}$.

Слагаемое $4 \cdot 10^0$ соответствует разряду единиц. Значит, цифра в разряде единиц равна 4.
В выражении отсутствует слагаемое с $10^{-1}$, что соответствует разряду десятых. Значит, в разряде десятых стоит 0.
Слагаемое $10^{-2}$ (или $1 \cdot 10^{-2}$) соответствует разряду сотых (вторая цифра после запятой). Значит, цифра в разряде сотых равна 1.
Слагаемое $7 \cdot 10^{-3}$ соответствует разряду тысячных (третья цифра после запятой). Значит, цифра в разряде тысячных равна 7.
Собираем число из полученных цифр: 4 единицы, 0 десятых, 1 сотая и 7 тысячных. В виде десятичной дроби это записывается как 4,017.
Проверим сложением: $4 \cdot 10^0 + 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3} = 4 + 0.01 + 0.007 = 4.017$.
Ответ: 4,017.

12 Установите соответствие между десятичной дробью и её записью, представленной в виде суммы разрядных слагаемых.

А. 70,77.

Б. 7,707.

В. 0,777.

1) $7 \cdot 10 + 7 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-3}$

2) $7 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3}$

3) $7 \cdot 10^0 + 7 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-3}$

4) $7 \cdot 10 + 7 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-2}$

Чтобы установить соответствие, представим каждую десятичную дробь в виде суммы разрядных слагаемых. Разрядные слагаемые — это представление числа в виде суммы его разрядов (единиц, десятков, сотых, тысячных и т.д.), умноженных на соответствующую степень числа 10.

А. Рассмотрим десятичную дробь $70,77$.

• Цифра $7$ в разряде десятков соответствует слагаемому $7 \cdot 10^1$ или $7 \cdot 10$.
• Цифра $0$ в разряде единиц ($0 \cdot 10^0$) не учитывается в сумме.
• Цифра $7$ в разряде десятых (первая после запятой) соответствует слагаемому $7 \cdot 10^{-1}$.
• Цифра $7$ в разряде сотых (вторая после запятой) соответствует слагаемому $7 \cdot 10^{-2}$.

Складывая эти слагаемые, получаем: $70,77 = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-2}$. Это выражение совпадает с вариантом 4.
Ответ: 4

Б. Рассмотрим десятичную дробь $7,707$.

• Цифра $7$ в разряде единиц соответствует слагаемому $7 \cdot 10^0$.
• Цифра $7$ в разряде десятых соответствует слагаемому $7 \cdot 10^{-1}$.
• Цифра $0$ в разряде сотых не учитывается в сумме.
• Цифра $7$ в разряде тысячных (третья после запятой) соответствует слагаемому $7 \cdot 10^{-3}$.

Складывая эти слагаемые, получаем: $7,707 = 7 \cdot 10^0 + 7 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-3}$. Это выражение совпадает с вариантом 3.
Ответ: 3

В. Рассмотрим десятичную дробь $0,777$.

• Целая часть равна нулю.
• Цифра $7$ в разряде десятых соответствует слагаемому $7 \cdot 10^{-1}$.
• Цифра $7$ в разряде сотых соответствует слагаемому $7 \cdot 10^{-2}$.
• Цифра $7$ в разряде тысячных соответствует слагаемому $7 \cdot 10^{-3}$.

Складывая эти слагаемые, получаем: $0,777 = 7 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3}$. Это выражение совпадает с вариантом 2.
Ответ: 2