Страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28 Расположите числа $4\sqrt{5}$; $3\sqrt{7}$; $5\sqrt{3}$; $2\sqrt{11}$ в порядке возрастания.

1) $5\sqrt{3}$; $3\sqrt{7}$; $4\sqrt{5}$; $2\sqrt{11}$;

2) $2\sqrt{11}$; $3\sqrt{7}$; $5\sqrt{3}$; $4\sqrt{5}$;

3) $3\sqrt{7}$; $4\sqrt{5}$; $5\sqrt{3}$; $2\sqrt{11}$;

4) $2\sqrt{11}$; $3\sqrt{7}$; $4\sqrt{5}$; $5\sqrt{3}$.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, сравним их. Сравнивать числа, содержащие квадратные корни, удобнее, если представить их в виде $\sqrt{a}$. Для этого внесем множитель перед корнем под знак корня. Напомним правило: $b\sqrt{c} = \sqrt{b^2 \cdot c}$ для $b \ge 0$.

Преобразуем каждое из чисел:

1. $4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$

2. $3\sqrt{7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$

3. $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$

4. $2\sqrt{11} = \sqrt{2^2 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{44}$

Теперь у нас есть числа $\sqrt{80}$, $\sqrt{63}$, $\sqrt{75}$ и $\sqrt{44}$.

Чем больше подкоренное выражение, тем больше и сам корень. Сравним подкоренные выражения в порядке возрастания:

$44 < 63 < 75 < 80$

Следовательно, соответствующие им корни также будут располагаться в порядке возрастания:

$\sqrt{44} < \sqrt{63} < \sqrt{75} < \sqrt{80}$

Теперь заменим корни на исходные числа:

$2\sqrt{11} < 3\sqrt{7} < 5\sqrt{3} < 4\sqrt{5}$

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $2\sqrt{11}$; $3\sqrt{7}$; $5\sqrt{3}$; $4\sqrt{5}$.

Этот порядок соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2

29 Расположите числа $7\sqrt{3}$; $8\sqrt{2}$; $4\sqrt{7}$; $5\sqrt{6}$ в порядке убывания.

1) $4\sqrt{7}$; $5\sqrt{6}$; $7\sqrt{3}$; $8\sqrt{2}$;

2) $8\sqrt{2}$; $7\sqrt{3}$; $5\sqrt{6}$; $4\sqrt{7}$;

3) $5\sqrt{6}$; $7\sqrt{3}$; $8\sqrt{2}$; $4\sqrt{7}$;

4) $5\sqrt{6}$; $8\sqrt{2}$; $7\sqrt{3}$; $4\sqrt{7}$.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке убывания, необходимо их сравнить. Самый удобный способ сравнения таких чисел — это возведение их в квадрат. Поскольку все числа положительные, то большему квадрату будет соответствовать большее число.

Выполним возведение в квадрат для каждого числа:

• $(7\sqrt{3})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147$
• $(8\sqrt{2})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128$
• $(4\sqrt{7})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 16 \cdot 7 = 112$
• $(5\sqrt{6})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 25 \cdot 6 = 150$

Теперь расположим полученные квадраты в порядке убывания:

$150 > 147 > 128 > 112$

Так как большим квадратам соответствуют большие исходные числа, то и сами числа в порядке убывания будут располагаться в той же последовательности:

$5\sqrt{6} > 7\sqrt{3} > 8\sqrt{2} > 4\sqrt{7}$

Таким образом, искомая последовательность чисел: $5\sqrt{6}; 7\sqrt{3}; 8\sqrt{2}; 4\sqrt{7}$. Данная последовательность соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $5\sqrt{6}; 7\sqrt{3}; 8\sqrt{2}; 4\sqrt{7};$

30 Вычислите:

а) $(-5\sqrt{3})^2 + \sqrt{4\frac{21}{25}};

б) $\sqrt{5\frac{1}{16}} - (0,2\sqrt{10})^2$.

а) $(-5\sqrt{3})^2 + \sqrt{4\frac{21}{25}}$

Для решения этого выражения вычислим каждое слагаемое по отдельности, а затем сложим результаты.
1. Вычислим первое слагаемое, возведя в квадрат произведение. Используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$:
$(-5\sqrt{3})^2 = (-5)^2 \cdot (\sqrt{3})^2$.
Поскольку $(-5)^2 = 25$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$, получаем:
$25 \cdot 3 = 75$.
2. Вычислим второе слагаемое $\sqrt{4\frac{21}{25}}$. Сначала преобразуем смешанную дробь под корнем в неправильную:
$4\frac{21}{25} = \frac{4 \cdot 25 + 21}{25} = \frac{100 + 21}{25} = \frac{121}{25}$.
Теперь извлечем квадратный корень из дроби, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{121}{25}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{25}} = \frac{11}{5}$.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную для удобства сложения:
$\frac{11}{5} = 2.2$.
3. Сложим полученные значения:
$75 + 2.2 = 77.2$.

Ответ: $77.2$

б) $\sqrt{5\frac{1}{16}} - (0.2\sqrt{10})^2$

Для решения этого выражения вычислим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности, а затем найдем их разность.
1. Вычислим уменьшаемое $\sqrt{5\frac{1}{16}}$. Преобразуем смешанную дробь в неправильную:
$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{9}{4} = 2.25$.
2. Вычислим вычитаемое $(0.2\sqrt{10})^2$. Возведем в квадрат каждый множитель:
$(0.2\sqrt{10})^2 = (0.2)^2 \cdot (\sqrt{10})^2$.
Поскольку $(0.2)^2 = 0.04$ и $(\sqrt{10})^2 = 10$, получаем:
$0.04 \cdot 10 = 0.4$.
3. Найдем разность полученных значений:
$2.25 - 0.4 = 1.85$.

Ответ: $1.85$

31 Вычислите:

a) $\sqrt{113^2 - 112^2} + (\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 6);$

б) $\frac{\sqrt{244^2 - 240^2}}{(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)}.$

а) Для вычисления выражения $\sqrt{113^2 - 112^2} + (\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 6)$ разобьем его на две части и решим каждую по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.

1. Для первого слагаемого $\sqrt{113^2 - 112^2}$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ под корнем:

$113^2 - 112^2 = (113 - 112)(113 + 112) = 1 \cdot 225 = 225$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{225} = 15$.

2. Для второго слагаемого $(\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 6)$ также применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{7}$ и $b = 6$:

$(\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 6) = (\sqrt{7})^2 - 6^2 = 7 - 36 = -29$.

3. Сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$15 + (-29) = 15 - 29 = -14$.

Ответ: -14

б) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt{244^2 - 240^2}}{(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)}$ упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Упростим числитель $\sqrt{244^2 - 240^2}$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$244^2 - 240^2 = (244 - 240)(244 + 240) = 4 \cdot 484$.

Теперь извлечем корень из произведения:

$\sqrt{4 \cdot 484} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{484} = 2 \cdot 22 = 44$.

2. Упростим знаменатель $(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)$. Применим ту же формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{5}$ и $b = 4$:

$(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4) = (\sqrt{5})^2 - 4^2 = 5 - 16 = -11$.

3. Разделим результат числителя на результат знаменателя:

$\frac{44}{-11} = -4$.

Ответ: -4

32 Вычислите:

а) $(5\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{3})^4;$

б) $(2\sqrt{5})^4 - (7\sqrt{2})^2.$

а) $(5\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{3})^4$

Для решения этого выражения необходимо вычислить значение каждого слагаемого по отдельности, а затем сложить их. Мы будем использовать свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$.

1. Вычислим первое слагаемое $(5\sqrt{2})^2$:

$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.

2. Вычислим второе слагаемое $(-2\sqrt{3})^4$:

Так как степень четная (4), знак минус исчезает.

$(-2\sqrt{3})^4 = (-2)^4 \cdot (\sqrt{3})^4 = 16 \cdot ((\sqrt{3})^2)^2 = 16 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

3. Сложим полученные значения:

$50 + 144 = 194$.

Ответ: 194

б) $(2\sqrt{5})^4 - (7\sqrt{2})^2$

Для решения этого выражения необходимо вычислить значение уменьшаемого и вычитаемого, а затем найти их разность.

1. Вычислим уменьшаемое $(2\sqrt{5})^4$:

$(2\sqrt{5})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{5})^4 = 16 \cdot ((\sqrt{5})^2)^2 = 16 \cdot 5^2 = 16 \cdot 25 = 400$.

2. Вычислим вычитаемое $(7\sqrt{2})^2$:

$(7\sqrt{2})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$.

3. Найдем разность полученных значений:

$400 - 98 = 302$.

Ответ: 302

33 Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{7 - \sqrt{24}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt{24}};$

б) $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}.$

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{7 - \sqrt{24}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt{24}}$, воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$). Так как $7 = \sqrt{49}$, а $\sqrt{24} < \sqrt{49}$, то выражение $7 - \sqrt{24}$ положительно. Выражение $7 + \sqrt{24}$ также положительно. Таким образом, мы можем объединить множители под один корень:

$\sqrt{7 - \sqrt{24}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt{24}} = \sqrt{(7 - \sqrt{24})(7 + \sqrt{24})}$

Выражение в скобках под корнем является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=7$ и $y=\sqrt{24}$.

$(7 - \sqrt{24})(7 + \sqrt{24}) = 7^2 - (\sqrt{24})^2 = 49 - 24 = 25$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$\sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

б) Аналогично решим второе выражение $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}$. Сначала проверим, что подкоренные выражения неотрицательны. Для этого сравним $6$ и $2\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат: $6^2 = 36$ и $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$. Поскольку $36 > 20$, то $6 > 2\sqrt{5}$, и выражение $6 - 2\sqrt{5}$ положительно.

Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5})}$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=6$ и $y=2\sqrt{5}$.

$(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - 20 = 16$

Теперь вычислим корень:

$\sqrt{16} = 4$

Ответ: 4

34 Найдите значение выражения:

a) $\\sqrt{(5 - \\sqrt{23})^2} + \\sqrt{(4 - \\sqrt{23})^2};$

б) $\\sqrt{(6 - \\sqrt{41})^2} + \\sqrt{(7 - \\sqrt{41})^2}.$

а) $\sqrt{(5 - \sqrt{23})^2} + \sqrt{(4 - \sqrt{23})^2}$

Для решения воспользуемся тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применяя это свойство к каждому слагаемому, получаем:

$\sqrt{(5 - \sqrt{23})^2} + \sqrt{(4 - \sqrt{23})^2} = |5 - \sqrt{23}| + |4 - \sqrt{23}|$

Теперь необходимо раскрыть модули. Для этого определим знак каждого выражения, стоящего под знаком модуля.

1. Рассмотрим выражение $5 - \sqrt{23}$. Сравним числа $5$ и $\sqrt{23}$. Для этого возведем их в квадрат:

$5^2 = 25$

$(\sqrt{23})^2 = 23$

Поскольку $25 > 23$, то и $5 > \sqrt{23}$. Это означает, что разность $5 - \sqrt{23}$ положительна. Следовательно, $|5 - \sqrt{23}| = 5 - \sqrt{23}$.

2. Рассмотрим выражение $4 - \sqrt{23}$. Сравним числа $4$ и $\sqrt{23}$. Возведем их в квадрат:

$4^2 = 16$

$(\sqrt{23})^2 = 23$

Поскольку $16 < 23$, то и $4 < \sqrt{23}$. Это означает, что разность $4 - \sqrt{23}$ отрицательна. Следовательно, $|4 - \sqrt{23}| = -(4 - \sqrt{23}) = -4 + \sqrt{23} = \sqrt{23} - 4$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение и выполним сложение:

$(5 - \sqrt{23}) + (\sqrt{23} - 4) = 5 - \sqrt{23} + \sqrt{23} - 4 = 5 - 4 = 1$

Ответ: $1$

б) $\sqrt{(6 - \sqrt{41})^2} + \sqrt{(7 - \sqrt{41})^2}$

Аналогично пункту а), используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(6 - \sqrt{41})^2} + \sqrt{(7 - \sqrt{41})^2} = |6 - \sqrt{41}| + |7 - \sqrt{41}|$

Определим знак каждого подмодульного выражения.

1. Рассмотрим выражение $6 - \sqrt{41}$. Сравним $6$ и $\sqrt{41}$ путем возведения в квадрат:

$6^2 = 36$

$(\sqrt{41})^2 = 41$

Так как $36 < 41$, то $6 < \sqrt{41}$. Значит, разность $6 - \sqrt{41}$ отрицательна. Поэтому, $|6 - \sqrt{41}| = -(6 - \sqrt{41}) = -6 + \sqrt{41} = \sqrt{41} - 6$.

2. Рассмотрим выражение $7 - \sqrt{41}$. Сравним $7$ и $\sqrt{41}$ путем возведения в квадрат:

$7^2 = 49$

$(\sqrt{41})^2 = 41$

Так как $49 > 41$, то $7 > \sqrt{41}$. Значит, разность $7 - \sqrt{41}$ положительна. Поэтому, $|7 - \sqrt{41}| = 7 - \sqrt{41}$.

Подставим раскрытые модули в выражение и вычислим сумму:

$(\sqrt{41} - 6) + (7 - \sqrt{41}) = \sqrt{41} - 6 + 7 - \sqrt{41} = -6 + 7 = 1$

Ответ: $1$

35 Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt{5};$

б) $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} - \sqrt{7}.$

а) $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt{5}$

Для упрощения выражения под корнем $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$ воспользуемся формулой для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Наша цель — представить подкоренное выражение $9 + 4\sqrt{5}$ в виде полного квадрата.

Перепишем слагаемое $4\sqrt{5}$ как $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$. Тогда выражение примет вид $9 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$.

Теперь нам нужно найти два числа, $a$ и $b$, такие что $a^2 + b^2 = 9$ и $2ab = 4\sqrt{5}$, что эквивалентно $ab = 2\sqrt{5}$.

В качестве таких чисел можно взять $a = 2$ и $b = \sqrt{5}$.

Проверим, выполняется ли условие $a^2 + b^2 = 9$:

$a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$.

Условие выполняется. Таким образом, мы можем представить подкоренное выражение в виде квадрата суммы:

$9 + 4\sqrt{5} = 4 + 5 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 2^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = (2 + \sqrt{5})^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = |2 + \sqrt{5}| = 2 + \sqrt{5}$ (поскольку выражение $2 + \sqrt{5}$ положительно).

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(2 + \sqrt{5}) - \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2$.

Ответ: $2$.

б) $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} - \sqrt{7}$

Для упрощения выражения под корнем $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ воспользуемся формулой для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Наша цель — представить подкоренное выражение $8 - 2\sqrt{7}$ в виде полного квадрата.

Выражение $8 - 2\sqrt{7}$ уже имеет вид $a^2+b^2 - 2ab$. Нам нужно найти два числа, $a$ и $b$, такие что $a^2 + b^2 = 8$ и $ab = \sqrt{7}$.

В качестве таких чисел можно взять $a = \sqrt{7}$ и $b = 1$.

Проверим, выполняется ли условие $a^2 + b^2 = 8$:

$a^2 + b^2 = (\sqrt{7})^2 + 1^2 = 7 + 1 = 8$.

Условие выполняется. Таким образом, мы можем представить подкоренное выражение в виде квадрата разности:

$8 - 2\sqrt{7} = 7 + 1 - 2\sqrt{7} \cdot 1 = (\sqrt{7})^2 + 1^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 = (\sqrt{7} - 1)^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - 1)^2} = |\sqrt{7} - 1|$.

Чтобы раскрыть модуль, оценим знак выражения $\sqrt{7} - 1$. Так как $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. Следовательно, $\sqrt{7} - 1$ является положительным числом, и модуль можно опустить: $|\sqrt{7} - 1| = \sqrt{7} - 1$.

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\sqrt{7} - 1) - \sqrt{7} = \sqrt{7} - 1 - \sqrt{7} = -1$.

Ответ: $-1$.