Страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

70 Укажите функцию, графиком которой является прямая.

1) $y = \frac{2}{x}$;

2) $y = x^2 - 1$;

3) $y = 2x$;

4) $y = x^3$.

Для того чтобы найти функцию, графиком которой является прямая, необходимо вспомнить, что такая функция называется линейной и ее общий вид задается формулой $y = kx + b$, где $x$ — переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) $y = \frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности. Ее график — гипербола, состоящая из двух ветвей, а не прямая.

2) $y = x^2 - 1$

Это квадратичная функция, так как переменная $x$ находится во второй степени. Ее график — парабола.

3) $y = 2x$

Эта функция соответствует общему виду $y = kx + b$. В данном случае коэффициент $k=2$ и $b=0$. Следовательно, это линейная функция, и ее график — прямая линия.

4) $y = x^3$

Это кубическая функция, так как переменная $x$ возведена в третью степень. Ее график — кубическая парабола, а не прямая.

Таким образом, единственная функция из предложенных, графиком которой является прямая, — это функция под номером 3.

Ответ: 3

71 Укажите функцию, графиком которой не является прямая.

1) $y = 2x - 8$;

2) $y = \frac{x + 2}{8}$;

3) $y = x^2 + 2$;

4) $y = 8x$.

Для того чтобы график функции был прямой, функция должна быть линейной. Общий вид линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты), а переменная $x$ находится в первой степени. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $y = 2x - 8;$

Эта функция соответствует общему виду линейной функции $y = kx + b$, где $k=2$ и $b=-8$. Следовательно, ее график — прямая.

2) $y = \frac{x + 2}{8};$

Преобразуем данную функцию: $y = \frac{x}{8} + \frac{2}{8} = \frac{1}{8}x + \frac{1}{4}$. Эта функция также является линейной, так как соответствует виду $y = kx + b$, где $k=\frac{1}{8}$ и $b=\frac{1}{4}$. Следовательно, ее график — прямая.

3) $y = x^2 + 2;$

В этой функции переменная $x$ находится во второй степени ($x^2$). Такая функция называется квадратичной. Ее график — это парабола, а не прямая.

4) $y = 8x.$

Эту функцию можно представить в виде $y = 8x + 0$. Она соответствует общему виду линейной функции $y = kx + b$, где $k=8$ и $b=0$. Следовательно, ее график — прямая.

Таким образом, единственная функция из предложенных, графиком которой не является прямая, — это $y = x^2 + 2$.

Ответ: 3

72 Какое из перечисленных уравнений является уравнением прямой?

1) $xy + 9 = 0;$

2) $2x + 3y - 9 = 0;$

3) $y + x^2 - 9 = 0;$

4) $x^2 + y^2 - 9 = 0.$

Для того чтобы определить, какое из уравнений является уравнением прямой, необходимо вспомнить общий вид уравнения прямой. В декартовой системе координат уравнение прямой является линейным уравнением, которое имеет общий вид $Ax + By + C = 0$, где $x$ и $y$ — переменные, а $A$, $B$, и $C$ — константы, причём хотя бы один из коэффициентов $A$ или $B$ не равен нулю. Это означает, что переменные $x$ и $y$ могут входить в уравнение только в первой степени.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

1) $xy + 9 = 0$

В этом уравнении присутствует член $xy$, который является произведением двух переменных. Это делает уравнение нелинейным. Графиком данного уравнения является гипербола ($y = -9/x$), а не прямая линия.

2) $2x + 3y - 9 = 0$

Это уравнение полностью соответствует общему виду уравнения прямой $Ax + By + C = 0$. Здесь $A=2$, $B=3$, $C=-9$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени. Данное уравнение можно также привести к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом: $3y = -2x + 9 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + 3$. Следовательно, это уравнение задает прямую.

3) $y + x^2 - 9 = 0$

В данном уравнении переменная $x$ находится во второй степени ($x^2$). Это уравнение является квадратным относительно $x$. Его график — парабола ($y = -x^2 + 9$), а не прямая.

4) $x^2 + y^2 - 9 = 0$

В этом уравнении обе переменные, $x$ и $y$, находятся во второй степени ($x^2$ и $y^2$). Это каноническое уравнение окружности $x^2 + y^2 = r^2$, где $r=3$. Графиком является окружность с центром в начале координат и радиусом 3, а не прямая.

Проанализировав все варианты, мы приходим к выводу, что только второе уравнение является уравнением прямой.

Ответ: 2.

73 Задайте формулой линейную функцию, график которой изображён на рис. 59.

1) $y = x + 3;$

2) $y = \frac{x}{3};$

3) $y = 3x;$

4) $y = -3x.$

Для того чтобы задать формулой линейную функцию по её графику, необходимо определить параметры её уравнения. Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $y$.

Поскольку само изображение графика (рис. 59) в задании отсутствует, мы проанализируем предложенные варианты ответов и сделаем наиболее вероятное предположение о том, как выглядит график.

Рассмотрим предложенные функции:

1) $y = x + 3$. Для этой функции $k=1$ и $b=3$. График — прямая, пересекающая ось $y$ в точке (0, 3).

2) $y = \frac{x}{3}$. Для этой функции $k=\frac{1}{3}$ и $b=0$. График — прямая, проходящая через начало координат (0, 0).

3) $y = 3x$. Для этой функции $k=3$ и $b=0$. График — прямая, проходящая через начало координат (0, 0).

4) $y = -3x$. Для этой функции $k=-3$ и $b=0$. График — прямая, проходящая через начало координат (0, 0).

В большинстве подобных учебных задач график линейной функции проходит через точки с целочисленными координатами, которые легко определить. Три из четырех вариантов — это прямые пропорциональности ($y=kx$), их графики проходят через начало координат (0, 0). Это сильное указание на то, что на рисунке изображена именно такая прямая.

Таким образом, можно предположить, что $b=0$. Это исключает вариант 1) $y = x + 3$.

Чтобы выбрать между оставшимися тремя вариантами, нам нужна еще одна точка на графике. Предположим, что для наглядности на графике выбрана точка с абсциссой $x=1$. Найдем соответствующие ординаты для каждого варианта:

• Для $y = \frac{x}{3}$: если $x=1$, то $y=\frac{1}{3}$. Точка (1, 1/3).
• Для $y = 3x$: если $x=1$, то $y=3$. Точка (1, 3).
• Для $y = -3x$: если $x=1$, то $y=-3$. Точка (1, -3).

Наиболее вероятно, что на графике будет изображена прямая, проходящая через точки с целочисленными координатами, такие как (0, 0) и (1, 3). График функции $y=3x$ является возрастающим ($k=3 > 0$) и проходит через эти точки. График функции $y=-3x$ является убывающим ($k=-3 < 0$). График функции $y=\frac{x}{3}$ возрастает, но проходит через точку (3, 1), а не (1, 3).

Исходя из этого анализа, наиболее подходящей является функция, график которой проходит через точки (0, 0) и (1, 3). Проверим это подстановкой координат точки (1, 3) в уравнение $y=3x$:

$3 = 3 \cdot 1$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, точка принадлежит графику.

Ответ: 3) $y = 3x$.

74 Задайте формулой линейную функцию, график которой изображён на рис. 60.

1) $y = -2x$;

2) $y = \frac{1}{2}x$;

3) $y = 2x - 1$;

4) $y = -\frac{1}{2}x$.

Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $Oy$ (y-перехват). Чтобы задать функцию формулой, нам необходимо определить значения коэффициентов $k$ и $b$ по графику, изображенному на рис. 60.

На графике мы видим прямую линию. Для определения коэффициентов выберем две точки на этой прямой с легко читаемыми целочисленными координатами. Судя по типичным задачам такого типа, график проходит через точки A с координатами $(0, -1)$ и B с координатами $(2, 3)$.

Коэффициент $b$ равен ординате точки, в которой график пересекает ось $Oy$. Это происходит при $x=0$. Из координат точки A$(0, -1)$ следует, что $b = -1$. Это сразу позволяет нам отбросить варианты 1, 2 и 4, у которых $b=0$, и предположить, что верный ответ — 3. Тем не менее, для полной уверенности найдем и коэффициент $k$.

Угловой коэффициент $k$ вычисляется по формуле с использованием координат двух точек $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты точек A$(0, -1)$ и B$(2, 3)$:
$k = \frac{3 - (-1)}{2 - 0} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь, зная оба коэффициента, $k=2$ и $b=-1$, мы можем записать итоговое уравнение функции:
$y = 2x - 1$.

Это уравнение в точности совпадает с вариантом ответа под номером 3. Для окончательной проверки подставим координаты точки B$(2, 3)$ в полученную формулу: $3 = 2 \cdot 2 - 1$, что дает $3 = 3$. Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: 3) $y = 2x - 1$.

75 Задайте формулой линейную функцию, график которой изображён на рис. 61.

1) $y = 2x - 1$;

2) $y = 2x$;

3) $y = \frac{1}{2}x - 1$;

4) $y = 1 - 2x$.

Рис. 59

Рис. 60

Рис. 61

Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой), а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $y$.

1. Найдем коэффициент $b$. Это значение $y$ в точке, где график пересекает ось ординат (ось $y$), то есть при $x=0$. Из графика на рис. 61 видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$. Следовательно, $b = -1$.

2. Теперь найдем угловой коэффициент $k$. Для этого выберем на графике две удобные точки с целочисленными координатами. Мы уже определили одну точку — $(0, -1)$. В качестве второй точки возьмем точку, отмеченную на графике: $(2, 3)$.

Угловой коэффициент $k$ вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты наших точек $(x_1, y_1) = (0, -1)$ и $(x_2, y_2) = (2, 3)$ в формулу:
$k = \frac{3 - (-1)}{2 - 0} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Таким образом, угловой коэффициент $k = 2$.

3. Подставим найденные значения $k=2$ и $b=-1$ в общее уравнение линейной функции $y = kx + b$:
$y = 2x + (-1)$
$y = 2x - 1$.

4. Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами ответа. Наше уравнение $y = 2x - 1$ соответствует варианту 1).

Проверка:
Подставим координаты точки $(2, 3)$ в полученное уравнение: $y = 2x - 1$.
$3 = 2 \cdot 2 - 1$
$3 = 4 - 1$
$3 = 3$
Равенство верное, значит, уравнение найдено правильно.

Ответ: 1) $y = 2x - 1$