Страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

86 Установите соответствие между знаками коэффициентов $k$, $m$ и графическим изображением функции $y = kx + m$ (рис. 68).

1) $k > 0, m = 0;$

2) $k = 0, m < 0;$

3) $k = 0, m > 0;$

4) $k < 0, m = 0.$

А

Б

В

Рис. 68

Для того чтобы установить соответствие между графиками и знаками коэффициентов $k$ и $m$ в уравнении линейной функции $y = kx + m$, необходимо проанализировать роль каждого коэффициента.

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и отвечает за наклон прямой:

• Если $k > 0$, то прямая образует острый угол с положительным направлением оси $Ox$, и функция является возрастающей (график идет вверх слева направо).
• Если $k < 0$, то прямая образует тупой угол с положительным направлением оси $Ox$, и функция является убывающей (график идет вниз слева направо).
• Если $k = 0$, то уравнение принимает вид $y = m$, и его график — это прямая, параллельная оси $Ox$.

Коэффициент $m$ (или свободный член) показывает точку пересечения графика с осью $Oy$. Это значение $y$ при $x=0$.

• Если $m > 0$, то прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат.
• Если $m < 0$, то прямая пересекает ось $Oy$ ниже начала координат.
• Если $m = 0$, то прямая проходит через начало координат, точку $O(0, 0)$.

Теперь применим эти знания к каждому из предложенных графиков.

А

На графике А мы видим прямую, которая проходит через начало координат $O(0, 0)$. Это означает, что свободный член $m = 0$. Прямая наклонена вправо и вверх, то есть функция возрастает. Это означает, что угловой коэффициент $k > 0$. Следовательно, для графика А верны условия $k > 0$ и $m = 0$, что соответствует пункту 1).

Ответ: 1

Б

На графике Б прямая также проходит через начало координат $O(0, 0)$, из чего следует, что $m = 0$. Однако эта прямая наклонена влево и вниз, то есть функция убывает. Это означает, что угловой коэффициент $k < 0$. Таким образом, для графика Б верны условия $k < 0$ и $m = 0$, что соответствует пункту 4).

Ответ: 4

В

На графике В изображена горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$. Это означает, что её угловой коэффициент $k = 0$. Прямая пересекает ось $Oy$ в точке, расположенной ниже начала координат, следовательно, свободный член $m < 0$. Для графика В верны условия $k = 0$ и $m < 0$, что соответствует пункту 2).

Ответ: 2

87 Укажите функцию, графиком которой является парабола.

1) $y = 2x + 5$;

2) $y = x^3 - 4$;

3) $y = \frac{6}{x + 3}$;

4) $y = 5 - 3x^2$.

Парабола является графиком квадратичной функции. Квадратичная функция имеет общий вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, причем коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Проанализируем каждую из предложенных функций, чтобы определить, какая из них является квадратичной.

1) Функция $y = 2x + 5$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Её график — прямая линия, а не парабола.

2) Функция $y = x^3 - 4$ является кубической функцией, поскольку наивысшая степень переменной $x$ равна 3. Её график — кубическая кривая, а не парабола.

3) Функция $y = \frac{6}{x + 3}$ является дробно-рациональной функцией, так как переменная $x$ находится в знаменателе дроби. Графиком такой функции является гипербола.

4) Функция $y = 5 - 3x^2$ является квадратичной. Эту функцию можно переписать в стандартном виде: $y = -3x^2 + 5$. Мы видим, что это функция вида $y = ax^2 + bx + c$ со следующими коэффициентами: $a = -3$, $b = 0$, $c = 5$. Так как коэффициент $a$ не равен нулю, эта функция является квадратичной, и её графиком действительно является парабола.

Следовательно, функция, графиком которой является парабола, находится под номером 4.

Ответ: 4

88 Укажите функцию, графиком которой не является парабола.

1) $y = -x^2 + 1$

2) $y = (x + 1)^2$

3) $y = 2x + 1$

4) $y = \frac{x^2}{2}$

Рис. 69

Рис. 70

Парабола — это график квадратичной функции, которая задается уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — некоторые числа, и коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Проанализируем каждую из предложенных функций, чтобы определить, является ли ее график параболой.

1) $y = -x^2 + 1$
Данная функция является квадратичной, так как она соответствует общему виду $y = ax^2 + bx + c$. Здесь коэффициенты равны: $a = -1$, $b = 0$, $c = 1$. Поскольку старший коэффициент $a = -1 \neq 0$, график этой функции — парабола. Ветви этой параболы направлены вниз, так как $a < 0$.
Ответ: графиком является парабола.

2) $y = (x + 1)^2$
Чтобы привести эту функцию к стандартному виду, раскроем скобки: $y = x^2 + 2x + 1$. Эта функция также является квадратичной с коэффициентами $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$. Так как $a = 1 \neq 0$, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как $a > 0$.
Ответ: графиком является парабола.

3) $y = 2x + 1$
Эта функция имеет вид $y = kx + b$, где $k = 2$ и $b = 1$. Это уравнение линейной функции. В нем отсутствует член с $x^2$, что эквивалентно тому, что коэффициент $a=0$. Следовательно, эта функция не является квадратичной. Ее график — прямая линия.
Ответ: графиком не является парабола.

4) $y = \frac{x^2}{2}$
Данную функцию можно записать в виде $y = 0.5x^2$. Это частный случай квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 0.5$, $b = 0$, $c = 0$. Поскольку $a = 0.5 \neq 0$, график этой функции — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как $a > 0$.
Ответ: графиком является парабола.

Таким образом, единственная функция из предложенных, график которой не является параболой, — это линейная функция $y = 2x + 1$.