Страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какую последовательность называют арифметической прогрессией?

1. Какую последовательность называют арифметической прогрессией?

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное для данной последовательности число называют разностью арифметической прогрессии и обычно обозначают буквой $d$.

Таким образом, если $(a_n)$ — арифметическая прогрессия, то для любого натурального числа $n$ выполняется рекуррентное соотношение: $a_{n+1} = a_n + d$.

Из этого определения следует, что разность прогрессии можно найти как разность между любым её членом (начиная со второго) и предыдущим: $d = a_{n+1} - a_n$.

В зависимости от значения разности $d$, арифметическая прогрессия может быть:
– возрастающей, если $d > 0$. Пример: 3, 7, 11, 15, … (здесь $a_1 = 3, d = 4$).
– убывающей, если $d < 0$. Пример: 25, 20, 15, 10, … (здесь $a_1 = 25, d = -5$).
– постоянной (стационарной), если $d = 0$. Пример: 2, 2, 2, 2, … (здесь $a_1 = 2, d = 0$).

Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$,
где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена.

Также для арифметической прогрессии характерно свойство, что каждый её член (кроме первого и, если он есть, последнего) является средним арифметическим соседних с ним членов: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ при $n \ge 2$.

Ответ: Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждый последующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа, называемого разностью прогрессии.

2. Что называют разностью арифметической прогрессии?

Разностью арифметической прогрессии называют постоянное число, которое нужно прибавить к предыдущему члену прогрессии, чтобы получить следующий. Эту разность принято обозначать буквой $d$.

По определению, числовая последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ является арифметической прогрессией, если для всех натуральных чисел $n$ выполняется условие:
$a_{n+1} = a_n + d$

Из этого определения следует формула для нахождения разности арифметической прогрессии: необходимо из любого её члена, начиная со второго, вычесть предшествующий ему член.
$d = a_{n+1} - a_n$

Значение разности $d$ определяет характер прогрессии:

• Если $d > 0$, то прогрессия является возрастающей (каждый следующий член больше предыдущего).
• Если $d < 0$, то прогрессия является убывающей (каждый следующий член меньше предыдущего).
• Если $d = 0$, то прогрессия является стационарной (все её члены равны между собой).

Примеры:
1. Для прогрессии $2, 5, 8, 11, \ldots$ разность $d = 5 - 2 = 3$. Это возрастающая прогрессия.
2. Для прогрессии $20, 15, 10, 5, \ldots$ разность $d = 15 - 20 = -5$. Это убывающая прогрессия.
3. Для прогрессии $7, 7, 7, 7, \ldots$ разность $d = 7 - 7 = 0$. Это стационарная прогрессия.

Таким образом, разность арифметической прогрессии — это ключевая характеристика, которая показывает постоянный "шаг" между её членами.

Ответ: Разностью арифметической прогрессии называют постоянное число $d$, на которое каждый член этой прогрессии, начиная со второго, отличается от предыдущего. Находится разность по формуле $d = a_{n+1} - a_n$.

3. Приведите пример арифметической прогрессии, разность которой:

а) положительна;

б) отрицательна;

в) равна нулю.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность $(a_n)$, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа $d$, называемого разностью прогрессии. То есть, $a_{n+1} = a_n + d$.

а) положительна;
Если разность арифметической прогрессии положительна ($d > 0$), то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего. Такая прогрессия называется возрастающей.
Для примера выберем первый член $a_1 = 5$ и разность $d = 3$.
Тогда последовательность будет выглядеть так:
$a_1 = 5$
$a_2 = a_1 + d = 5 + 3 = 8$
$a_3 = a_2 + d = 8 + 3 = 11$
$a_4 = a_3 + d = 11 + 3 = 14$
...
Таким образом, мы получаем возрастающую арифметическую прогрессию.
Ответ: 5, 8, 11, 14, ...

б) отрицательна;
Если разность арифметической прогрессии отрицательна ($d < 0$), то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего. Такая прогрессия называется убывающей.
Для примера выберем первый член $a_1 = 10$ и разность $d = -4$.
Тогда последовательность будет выглядеть так:
$a_1 = 10$
$a_2 = a_1 + d = 10 + (-4) = 6$
$a_3 = a_2 + d = 6 + (-4) = 2$
$a_4 = a_3 + d = 2 + (-4) = -2$
...
Таким образом, мы получаем убывающую арифметическую прогрессию.
Ответ: 10, 6, 2, -2, ...

в) равна нулю.
Если разность арифметической прогрессии равна нулю ($d = 0$), то все члены прогрессии равны между собой. Такая прогрессия называется стационарной.
Для примера выберем первый член $a_1 = 7$ и разность $d = 0$.
Тогда последовательность будет выглядеть так:
$a_1 = 7$
$a_2 = a_1 + d = 7 + 0 = 7$
$a_3 = a_2 + d = 7 + 0 = 7$
$a_4 = a_3 + d = 7 + 0 = 7$
...
Таким образом, мы получаем стационарную арифметическую прогрессию.
Ответ: 7, 7, 7, 7, ...

4. Запишите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность $(a_n)$, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому прибавлено одно и то же число. Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$.

Формула n-го члена позволяет найти любой член прогрессии, зная её первый член $a_1$ и разность $d$. Давайте выведем эту формулу, рассмотрев несколько первых членов прогрессии:

Первый член: $a_1$
Второй член: $a_2 = a_1 + d$
Третий член: $a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d$
Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d$

Можно заметить общую закономерность: коэффициент при разности $d$ всегда на единицу меньше, чем номер члена прогрессии. То есть, чтобы найти n-й член прогрессии, нужно к первому члену $a_1$ прибавить разность $d$, умноженную на $(n-1)$.

Таким образом, формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ выглядит так:
$a_n = a_1 + d(n-1)$
где:
$a_n$ — n-й член прогрессии;
$a_1$ — первый член прогрессии;
$d$ — разность прогрессии;
$n$ — номер искомого члена прогрессии (натуральное число).

Ответ: $a_n = a_1 + d(n-1)$

109 На рис. 76 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

1) $a < 0, b > 0, c < 0$

2) $a < 0, b < 0, c < 0$

3) $a < 0, b > 0, c > 0$

4) $a < 0, b < 0, c > 0$

Рис. 76

Проанализируем график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ для определения знаков коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

Знак коэффициента $a$ определяется по направлению ветвей параболы. Так как ветви параболы на графике направлены вниз, коэффициент $a$ является отрицательным: $a < 0$.

Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения графика с осью $y$. Это значение функции при $x=0$, то есть $y(0) = c$. Из графика видно, что парабола пересекает ось $y$ ниже оси $x$, то есть в точке с отрицательной ординатой. Следовательно, коэффициент $c$ отрицательный: $c < 0$.

Знак коэффициента $b$ можно определить через абсциссу вершины параболы, которая находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Вершина параболы, судя по графику, находится в левой полуплоскости (во второй четверти), значит, её абсцисса $x_0$ отрицательна: $x_0 < 0$.

Запишем неравенство: $-\frac{b}{2a} < 0$.
Умножив обе части на -1, получим $\frac{b}{2a} > 0$.
Это означает, что $b$ и $2a$ должны иметь одинаковые знаки. Поскольку мы уже установили, что $a < 0$, то и $2a < 0$. Следовательно, $b$ тоже должен быть отрицательным: $b < 0$.

Таким образом, мы получили, что все три коэффициента отрицательны: $a < 0$, $b < 0$, $c < 0$.

Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что этому условию соответствует вариант под номером 2.

Ответ: 2) $a < 0, b < 0, c < 0$.

110 Укажите функцию, графиком которой является гипербола.

1) $y = \frac{3}{x}$;

2) $y = \frac{x}{3}$;

3) $y = \frac{x^2}{3}$;

4) $y = x^3$.

Для того чтобы найти функцию, графиком которой является гипербола, нужно проанализировать вид каждой из предложенных функций. Гипербола является графиком функции обратной пропорциональности, которая имеет общий вид $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — это число, не равное нулю ($k \neq 0$).

Рассмотрим каждый вариант:

1) $y = \frac{3}{x}$
Эта функция имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $k=3$. Так как $k \neq 0$, графиком этой функции является гипербола.

2) $y = \frac{x}{3}$
Эту функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{3}x$. Это линейная функция вида $y = mx + b$ (здесь $m = \frac{1}{3}$, $b = 0$). Графиком такой функции является прямая линия.

3) $y = \frac{x^2}{3}$
Эту функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{3}x^2$. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$ (здесь $a = \frac{1}{3}$, $b = 0$, $c = 0$). Графиком такой функции является парабола.

4) $y = x^3$
Это кубическая функция. Ее графиком является кубическая парабола, а не гипербола.

Таким образом, единственная функция из предложенных, график которой является гиперболой, находится под номером 1.

Ответ: 1.

111 Укажите уравнение, графиком которого является гипербола.

1) $x^2 + 2y = 1$;

2) $3x + y = -2$;

3) $xy + 2 = 0$;

4) $x^2 + y^2 = 1$.

Чтобы определить, какое из уравнений является уравнением гиперболы, проанализируем каждое из них.

1) $x^2 + 2y = 1$

Преобразуем данное уравнение, выразив переменную $y$ через $x$:

$2y = 1 - x^2$

$y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$

Это уравнение является уравнением квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$. Графиком такой функции является парабола.

Ответ: парабола.

2) $3x + y = -2$

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$:

$y = -3x - 2$

Это уравнение является уравнением линейной функции вида $y = kx + b$. Графиком такой функции является прямая линия.

Ответ: прямая.

3) $xy + 2 = 0$

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$:

$xy = -2$

$y = -\frac{2}{x}$

Это уравнение задает обратную пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$ (в данном случае $k = -2$). Графиком функции обратной пропорциональности является гипербола.

Ответ: гипербола.

4) $x^2 + y^2 = 1$

Данное уравнение соответствует каноническому уравнению окружности $x^2 + y^2 = R^2$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$.

Ответ: окружность.

Таким образом, уравнение, графиком которого является гипербола, находится под номером 3.