Страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13 Установите соответствие между десятичной дробью и её записью, представленной в виде суммы разрядных слагаемых.

А. 55,005

Б. 5,505

В. 50,505

1) $5 \cdot 10 + 5 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-3}$

2) $5 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10 + 5 \cdot 10^{-3}$

3) $5 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-3}$

4) $5 \cdot 10 + 5 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-3}$.

Для установления соответствия необходимо разложить каждую десятичную дробь в сумму разрядных слагаемых. Разрядные слагаемые представляются в виде произведения цифры на 10 в соответствующей степени. Для разрядов слева от запятой (целая часть) используются положительные степени 10 (десятки — $10^1$, сотни — $10^2$, и т.д.) и нулевая степень для единиц ($10^0$). Для разрядов справа от запятой (дробная часть) используются отрицательные степени 10 (десятые — $10^{-1}$, сотые — $10^{-2}$, тысячные — $10^{-3}$, и т.д.).

А. 55,005

Разложим число 55,005 по разрядам:

• Цифра 5 в разряде десятков: $5 \cdot 10^1 = 5 \cdot 10$
• Цифра 5 в разряде единиц: $5 \cdot 10^0$
• Цифра 0 в разряде десятых: $0 \cdot 10^{-1}$
• Цифра 0 в разряде сотых: $0 \cdot 10^{-2}$
• Цифра 5 в разряде тысячных: $5 \cdot 10^{-3}$

Суммируем слагаемые, не равные нулю: $5 \cdot 10 + 5 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-3}$.
Это выражение соответствует варианту под номером 4.

Ответ: 4.

Б. 5,505

Разложим число 5,505 по разрядам:

• Цифра 5 в разряде единиц: $5 \cdot 10^0$
• Цифра 5 в разряде десятых: $5 \cdot 10^{-1}$
• Цифра 0 в разряде сотых: $0 \cdot 10^{-2}$
• Цифра 5 в разряде тысячных: $5 \cdot 10^{-3}$

Суммируем слагаемые, не равные нулю: $5 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-3}$.
Это выражение соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3.

В. 50,505

Разложим число 50,505 по разрядам:

• Цифра 5 в разряде десятков: $5 \cdot 10^1 = 5 \cdot 10$
• Цифра 0 в разряде единиц: $0 \cdot 10^0$
• Цифра 5 в разряде десятых: $5 \cdot 10^{-1}$
• Цифра 0 в разряде сотых: $0 \cdot 10^{-2}$
• Цифра 5 в разряде тысячных: $5 \cdot 10^{-3}$

Суммируем слагаемые, не равные нулю: $5 \cdot 10 + 5 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-3}$.
Это выражение соответствует варианту под номером 1.

Ответ: 1.

14 Вычислите:

a) $(5^{-3})^2 : 5^3 \cdot (5^2)^4;$

б) $2^7 \cdot (2^2)^{-5} : (2^{-3})^3.$

а) $(5^{-3})^2 : 5^3 \cdot (5^2)^4$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении — складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

1. Сначала упростим выражения, в которых степень возводится в степень:

$(5^{-3})^2 = 5^{-3 \cdot 2} = 5^{-6}$

$(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$

2. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$5^{-6} : 5^3 \cdot 5^8$

3. Действия деления и умножения выполняются последовательно слева направо.

Выполним деление: $5^{-6} : 5^3 = 5^{-6 - 3} = 5^{-9}$

Выполним умножение: $5^{-9} \cdot 5^8 = 5^{-9 + 8} = 5^{-1}$

4. Вычислим итоговое значение:

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) $2^7 \cdot (2^2)^{-5} : (2^{-3})^3$

Используем те же свойства степеней, что и в предыдущем пункте.

1. Сначала упростим выражения в скобках:

$(2^2)^{-5} = 2^{2 \cdot (-5)} = 2^{-10}$

$(2^{-3})^3 = 2^{-3 \cdot 3} = 2^{-9}$

2. Подставим упрощенные выражения обратно в пример:

$2^7 \cdot 2^{-10} : 2^{-9}$

3. Выполняем действия в порядке их следования, слева направо.

Выполним умножение: $2^7 \cdot 2^{-10} = 2^{7 + (-10)} = 2^{7-10} = 2^{-3}$

Выполним деление: $2^{-3} : 2^{-9} = 2^{-3 - (-9)} = 2^{-3 + 9} = 2^6$

4. Вычислим итоговое значение:

$2^6 = 64$

Ответ: $64$

15 Вычислите:

а) $ \frac{3^5 \cdot 9^{-2}}{27^2} $;

б) $ \frac{4^2 \cdot 5^3}{10^5} $;

в) $ \frac{2^7 \cdot 8^{-3}}{4^{-5}} $;

г) $ \frac{15^6}{9^3 \cdot 5^7} $.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{3^5 \cdot 9^{-2}}{27^2}$, приведем все числа к основанию 3.
Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{3^5 \cdot (3^2)^{-2}}{(3^3)^2}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$
$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{3^5 \cdot 3^{-4}}{3^6}$
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$3^5 \cdot 3^{-4} = 3^{5+(-4)} = 3^1 = 3$
Получаем дробь:
$\frac{3^1}{3^6}$
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{1-6} = 3^{-5}$
Вычисляем окончательное значение:
$3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$
Ответ: $\frac{1}{243}$.

б) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{4^2 \cdot 5^3}{10^5}$, разложим числа 4 и 10 на простые множители.
$4 = 2^2$
$10 = 2 \cdot 5$
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(2^2)^2 \cdot 5^3}{(2 \cdot 5)^5}$
Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$\frac{2^{2 \cdot 2} \cdot 5^3}{2^5 \cdot 5^5} = \frac{2^4 \cdot 5^3}{2^5 \cdot 5^5}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^4}{2^5} \cdot \frac{5^3}{5^5} = 2^{4-5} \cdot 5^{3-5} = 2^{-1} \cdot 5^{-2}$
Вычислим результат:
$2^{-1} \cdot 5^{-2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{50}$
Ответ: $\frac{1}{50}$.

в) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{2^7 \cdot 8^{-3}}{4^{-5}}$, приведем все числа к основанию 2.
Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{2^7 \cdot (2^3)^{-3}}{(2^2)^{-5}}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^3)^{-3} = 2^{3 \cdot (-3)} = 2^{-9}$
$(2^2)^{-5} = 2^{2 \cdot (-5)} = 2^{-10}$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{2^7 \cdot 2^{-9}}{2^{-10}}$
Применим свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$2^7 \cdot 2^{-9} = 2^{7+(-9)} = 2^{-2}$
Получаем дробь:
$\frac{2^{-2}}{2^{-10}}$
Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{-2 - (-10)} = 2^{-2+10} = 2^8$
Вычисляем окончательное значение:
$2^8 = 256$
Ответ: $256$.

г) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{15^6}{9^3 \cdot 5^7}$, разложим числа 15 и 9 на простые множители.
$15 = 3 \cdot 5$
$9 = 3^2$
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(3 \cdot 5)^6}{(3^2)^3 \cdot 5^7}$
Применим свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$\frac{3^6 \cdot 5^6}{3^{2 \cdot 3} \cdot 5^7} = \frac{3^6 \cdot 5^6}{3^6 \cdot 5^7}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сократим дробь:
$\frac{3^6}{3^6} \cdot \frac{5^6}{5^7}$
Используем свойства $a^0=1$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{6-6} \cdot 5^{6-7} = 3^0 \cdot 5^{-1} = 1 \cdot 5^{-1}$
Вычислим результат:
$5^{-1} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$.

16 Вычислите:

а) $ \frac{4}{9} \cdot \left(-1\frac{1}{2}\right)^3 + 6,3 : 6; $

б) $ 0,5 \cdot 0,6 - 2\frac{2}{9} : \left(-1\frac{1}{3}\right)^2. $

а) $\frac{4}{9} \cdot (-1\frac{1}{2})^3 + 6,3 : 6$

Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Сначала возведем смешанное число в степень. Для этого представим его в виде неправильной дроби:

$(-1\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1 \cdot 2 + 1}{2})^3 = (-\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$

2. Теперь выполним умножение:

$\frac{4}{9} \cdot (-\frac{27}{8}) = -\frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 8} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = -\frac{3}{2}$

3. Выполним деление десятичных дробей:

$6,3 : 6 = 1,05$

4. Выполним сложение результатов. Для удобства переведем $-\frac{3}{2}$ в десятичную дробь:

$-\frac{3}{2} = -1,5$

$-1,5 + 1,05 = -0,45$

Ответ: -0,45

б) $0,5 \cdot 0,6 - 2\frac{2}{9} : (-1\frac{1}{3})^2$

Решим по действиям.

1. Сначала выполним возведение в степень в делителе. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$(-1\frac{1}{3})^2 = (-\frac{1 \cdot 3 + 1}{3})^2 = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$

2. Теперь выполним деление. Переведем делимое $2\frac{2}{9}$ в неправильную дробь:

$2\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{20}{9}$

$\frac{20}{9} : \frac{16}{9} = \frac{20}{9} \cdot \frac{9}{16} = \frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$

3. Выполним умножение в начале выражения:

$0,5 \cdot 0,6 = 0,3$

4. Выполним вычитание. Переведем все числа в десятичные дроби:

$\frac{5}{4} = 1,25$

$0,3 - 1,25 = -0,95$

Ответ: -0,95

17 Вычислите:

а) $\frac{0.3 \cdot 2.4 + 0.7 \cdot 2.4}{1.5^2 - 0.9^2}$

б) $\frac{1.7^2 - 0.8^2}{0.18 - 1.5 \cdot 0.18}$

а)

Для вычисления значения выражения $ \frac{0,3 \cdot 2,4 + 0,7 \cdot 2,4}{1,5^2 - 0,9^2} $ выполним следующие шаги:

1. В числителе вынесем общий множитель $2,4$ за скобки:

$ 0,3 \cdot 2,4 + 0,7 \cdot 2,4 = 2,4 \cdot (0,3 + 0,7) = 2,4 \cdot 1 = 2,4 $.

2. В знаменателе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$ 1,5^2 - 0,9^2 = (1,5 - 0,9)(1,5 + 0,9) = 0,6 \cdot 2,4 $.

3. Подставим полученные значения обратно в дробь и выполним сокращение:

$ \frac{2,4}{0,6 \cdot 2,4} = \frac{1}{0,6} $.

4. Переведем десятичную дробь в знаменателе в обыкновенную и вычислим результат:

$ \frac{1}{0,6} = \frac{1}{\frac{6}{10}} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $.

Ответ: $ \frac{5}{3} $.

б)

Для вычисления значения выражения $ \frac{1,7^2 - 0,8^2}{0,18 - 1,5 \cdot 0,18} $ выполним следующие шаги:

1. В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$ 1,7^2 - 0,8^2 = (1,7 - 0,8)(1,7 + 0,8) = 0,9 \cdot 2,5 $.

2. В знаменателе вынесем общий множитель $0,18$ за скобки:

$ 0,18 - 1,5 \cdot 0,18 = 0,18 \cdot (1 - 1,5) = 0,18 \cdot (-0,5) $.

3. Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{0,9 \cdot 2,5}{0,18 \cdot (-0,5)} $.

4. Упростим дробь, заметив, что $0,18 = 0,2 \cdot 0,9$:

$ \frac{0,9 \cdot 2,5}{0,2 \cdot 0,9 \cdot (-0,5)} = \frac{2,5}{0,2 \cdot (-0,5)} = \frac{2,5}{-0,1} $.

5. Вычислим конечный результат:

$ \frac{2,5}{-0,1} = -25 $.

Ответ: $ -25 $.

18 Расстояние между двумя населёнными пунктами составляет $1,7 \cdot 10^4$ м. Выразите это расстояние в километрах.

1) 17 км;

2) 170 км;

3) 1700 км;

4) 0,17 км.

Чтобы решить задачу, необходимо перевести расстояние из метров в километры.

Исходное расстояние дано в стандартном виде: $S = 1,7 \cdot 10^4$ м.

Сначала вычислим это значение в метрах:
$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$.
$S = 1,7 \cdot 10000 = 17000$ м.

Теперь переведем метры в километры. Мы знаем, что в одном километре 1000 метров:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.

Чтобы найти расстояние в километрах, разделим значение в метрах на 1000:
$S (\text{км}) = \frac{17000 \text{ м}}{1000 \text{ м/км}} = 17$ км.

Также можно выполнить вычисления, не убирая степень:
$S (\text{км}) = \frac{1,7 \cdot 10^4}{10^3} = 1,7 \cdot 10^{4-3} = 1,7 \cdot 10^1 = 1,7 \cdot 10 = 17$ км.

Полученный результат соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 17 км.

19 Масса продуктов на оптовой базе составляет 4 500 000 кг. Выразите эту массу в тоннах и запишите полученное число в стандартном виде.

1) $45 \cdot 10^2$ т;

2) $45 \cdot 10^3$ т;

3) $0,45 \cdot 10^4$ т;

4) $4,5 \cdot 10^3$ т.

Чтобы решить задачу, необходимо сначала перевести массу из килограммов в тонны, а затем записать полученное число в стандартном виде.

Шаг 1: Перевод килограммов в тонны.

Мы знаем, что одна тонна равна 1000 килограммов, то есть $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$. Чтобы выразить массу $4\,500\,000 \text{ кг}$ в тоннах, нужно разделить это число на 1000:

$M = \frac{4\,500\,000}{1000} \text{ т} = 4500 \text{ т}$

Итак, масса продуктов составляет $4500$ тонн.

Шаг 2: Запись числа в стандартном виде.

Стандартный вид числа имеет форму $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ является целым числом. Нам нужно представить число $4500$ в этом виде.

Для этого представим число $4500$ как произведение числа от 1 до 10 и степени числа 10.

$4500 = 4.5 \cdot 1000$

Поскольку $1000 = 10^3$, мы можем записать:

$4500 = 4.5 \cdot 10^3$

Здесь $a = 4.5$, что удовлетворяет условию $1 \le 4.5 < 10$, и $n=3$. Следовательно, число $4.5 \cdot 10^3$ является стандартным видом числа $4500$.

Таким образом, масса продуктов, выраженная в тоннах и записанная в стандартном виде, равна $4.5 \cdot 10^3 \text{ т}$. Это соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: $4.5 \cdot 10^3$ т.

20 Расстояние между двумя населёнными пунктами на карте составляет $1,25 \cdot 10^2 \text{ мм}$. Выразите это расстояние в метрах.

1) $1,25 \text{ м}$;

2) $1,25 \cdot 10^{-2} \text{ м}$;

3) $1,25 \cdot 10^{-1} \text{ м}$;

4) $1,25 \cdot 10 \text{ м}$.

Для решения этой задачи необходимо перевести расстояние, заданное в миллиметрах (мм), в метры (м).

Исходное расстояние составляет $1,25 \cdot 10^2$ мм.

Шаг 1: Вычисление расстояния в миллиметрах.

Сначала упростим выражение для расстояния. $10^2$ равно $100$. $1,25 \cdot 10^2 \text{ мм} = 1,25 \cdot 100 \text{ мм} = 125 \text{ мм}$.

Шаг 2: Перевод миллиметров в метры.

В одном метре содержится 1000 миллиметров: $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$.

Чтобы перевести миллиметры в метры, необходимо разделить значение в миллиметрах на 1000: $125 \text{ мм} = \frac{125}{1000} \text{ м} = 0,125 \text{ м}$.

Шаг 3: Представление результата в стандартном виде.

Теперь необходимо записать полученное значение $0,125$ м в виде, предложенном в вариантах ответа, то есть в стандартной форме $a \cdot 10^n$. $0,125 \text{ м} = 1,25 \cdot 0,1 \text{ м} = 1,25 \cdot 10^{-1} \text{ м}$.

Альтернативный способ решения:

Можно сразу использовать соотношение $1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м}$. Подставим это соотношение в исходное выражение: $1,25 \cdot 10^2 \text{ мм} = 1,25 \cdot 10^2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $1,25 \cdot 10^{2+(-3)} \text{ м} = 1,25 \cdot 10^{2-3} \text{ м} = 1,25 \cdot 10^{-1} \text{ м}$.

Сравнивая полученный результат $1,25 \cdot 10^{-1}$ м с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту 3.

Ответ: 3) $1,25 \cdot 10^{-1}$ м

21 Участок имеет площадь $632 \text{ м}^2$. Выразите площадь участка в гектарах, записав полученное число в стандартном виде.

1) $0{,}632 \cdot 10^{-1} \text{ га}$;

2) $6{,}32 \cdot 10^{-2} \text{ га}$;

3) $63{,}2 \cdot 10^{-3} \text{ га}$;

4) $6{,}32 \cdot 10^{2} \text{ га}$.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных действия: перевести площадь из квадратных метров в гектары и затем записать полученное значение в стандартном виде.

1. Перевод единиц площади.

Известно, что 1 гектар (га) равен 10 000 квадратных метров (м²). Это соотношение можно записать в виде формулы:

$1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$

Чтобы перевести площадь 632 м² в гектары, нужно разделить это значение на 10 000:

$632 \text{ м}^2 = \frac{632}{10000} \text{ га} = 0,0632 \text{ га}$

2. Запись числа в стандартном виде.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, и $n$ — целое число.

У нас есть число 0,0632. Чтобы привести его к стандартному виду, нужно сдвинуть десятичную запятую так, чтобы слева от нее осталась одна значащая цифра (от 1 до 9). В данном случае, мы сдвигаем запятую на две позиции вправо:

$0,0632 \rightarrow 6,32$

Поскольку мы сдвинули запятую на две позиции вправо, что эквивалентно умножению на $10^2$, для сохранения исходного значения числа мы должны умножить его на $10^{-2}$.

Таким образом, получаем:

$0,0632 = 6,32 \cdot 10^{-2}$

Следовательно, площадь участка, выраженная в гектарах и записанная в стандартном виде, равна $6,32 \cdot 10^{-2}$ га.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2