Страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

19.14 По приведённому многоугольнику кратностей данных (рис. 56):

Рис. 56

а) определите объём измерения;

б) найдите моду измерения и её частоту;

в) составьте таблицу частот;

г) нарисуйте многоугольник процентных частот.

а) определите объём измерения;

Объём измерения (или размер выборки) — это сумма всех кратностей (частот) для каждой варианты. Чтобы найти его, нужно сложить значения кратности для всех вариант, указанных на многоугольнике.

Из графика считываем кратности для каждой варианты:

• Варианта 1: кратность 26
• Варианта 2: кратность 18
• Варианта 3: кратность 44
• Варианта 4: кратность 54
• Варианта 5: кратность 22
• Варианта 6: кратность 36

Теперь сложим эти значения:

$N = 26 + 18 + 44 + 54 + 22 + 36 = 200$

Таким образом, объём измерения равен 200.

Ответ: 200.

б) найдите моду измерения и её частоту;

Мода измерения — это варианта, которая встречается в выборке чаще всего, то есть имеет наибольшую кратность (частоту).

Сравнивая кратности всех вариант (26, 18, 44, 54, 22, 36), мы видим, что наибольшая кратность равна 54. Эта кратность соответствует варианте 4.

Следовательно, мода измерения — 4, а её частота (кратность) — 54.

Ответ: мода – 4, её частота – 54.

в) составьте таблицу частот;

Таблица частот должна содержать варианты, их абсолютные частоты (кратности) и относительные (процентные) частоты. Процентная частота для каждой варианты вычисляется по формуле:

$\text{Процентная частота} = (\frac{\text{Кратность варианты}}{\text{Объём измерения}}) \times 100\%$

Объём измерения, как мы нашли в пункте а), равен 200. Рассчитаем процентные частоты:

• Для варианты 1: $(\frac{26}{200}) \times 100\% = 0.13 \times 100\% = 13\%$
• Для варианты 2: $(\frac{18}{200}) \times 100\% = 0.09 \times 100\% = 9\%$
• Для варианты 3: $(\frac{44}{200}) \times 100\% = 0.22 \times 100\% = 22\%$
• Для варианты 4: $(\frac{54}{200}) \times 100\% = 0.27 \times 100\% = 27\%$
• Для варианты 5: $(\frac{22}{200}) \times 100\% = 0.11 \times 100\% = 11\%$
• Для варианты 6: $(\frac{36}{200}) \times 100\% = 0.18 \times 100\% = 18\%$

Сумма процентных частот: $13+9+22+27+11+18 = 100\%$.

Ответ:

г) нарисуйте многоугольник процентных частот.

Многоугольник процентных частот строится аналогично многоугольнику кратностей. По оси абсцисс откладываются варианты, а по оси ординат — соответствующие им процентные частоты, вычисленные в пункте в). Затем точки, соответствующие парам (варианта; процентная частота), соединяются отрезками.

Для построения графика необходимо отметить следующие точки на координатной плоскости:

• (1; 13%)
• (2; 9%)
• (3; 22%)
• (4; 27%)
• (5; 11%)
• (6; 18%)

Описание графика:

1. Начертите горизонтальную ось (ось абсцисс) и назовите её «Варианта». Отметьте на ней значения от 1 до 6.
2. Начертите вертикальную ось (ось ординат) и назовите её «Процентная частота, %». Разметьте её, например, от 0 до 30 с шагом 5.
3. Отметьте на плоскости точки с координатами, указанными выше.
4. Последовательно соедините эти точки отрезками прямой линии.

Полученный график будет иметь пик в точке (4; 27%) и локальный минимум в точке (2; 9%).

Ответ: Многоугольник процентных частот – это ломаная линия, соединяющая точки с координатами (1; 13), (2; 9), (3; 22), (4; 27), (5; 11), (6; 18) на координатной плоскости, где ось абсцисс – «Варианта», а ось ординат – «Процентная частота, %».

19.15 Деталь по норме должна весить 431 г. Контроль при взвешивании 2000 деталей дал такие результаты:

a) Чему равна мода измерения?

б) Каков процент деталей, вес которых отличается от планового не более чем на два грамма?

в) Составьте таблицу распределения частот.

г) Постройте многоугольник частот. Для удобства из всех вариант вычтите по 431.

а) Чему равна мода измерения?

Модой статистического ряда называется значение признака, которое встречается наиболее часто. В данном случае признаком является вес детали, а частотой — число деталей с этим весом.

Из представленной таблицы видно, что наибольшая частота равна 610, и она соответствует весу детали в 431 г.

Ответ: Мода измерения равна 431 г.

б) Каков процент деталей, вес которых отличается от планового не более чем на два грамма?

Плановый (нормативный) вес детали составляет 431 г. Условие "отличается не более чем на два грамма" означает, что абсолютная разница между фактическим весом ($x$) и плановым весом не превышает 2 г. Математически это записывается как неравенство: $ |x - 431| \le 2 $

Раскроем модуль, что эквивалентно двойному неравенству: $ -2 \le x - 431 \le 2 $

Прибавим 431 ко всем частям неравенства, чтобы найти допустимый диапазон веса: $ 431 - 2 \le x \le 431 + 2 $ $ 429 \le x \le 433 $

В этот диапазон входят детали с весом 429, 430, 431, 432 и 433 г. Подсчитаем общее количество таких деталей, используя данные из таблицы: $ N_{доп} = 220 + 360 + 610 + 430 + 200 = 1820 \text{ деталей} $

Общее количество проконтролированных деталей равно 2000. Теперь вычислим процент деталей, удовлетворяющих условию: $ \text{Процент} = \frac{N_{доп}}{N_{общ}} \times 100\% = \frac{1820}{2000} \times 100\% = 0.91 \times 100\% = 91\% $

Ответ: 91%.

в) Составьте таблицу распределения частот.

Таблица распределения частот показывает распределение абсолютных и/или относительных частот по значениям признака. Исходная таблица уже является распределением абсолютных частот. Дополним её столбцом относительных частот. Относительная частота ($f_i$) вычисляется как отношение абсолютной частоты ($n_i$) к общему объему выборки ($N=2000$).

Ответ: Таблица распределения абсолютных и относительных частот представлена выше.

г) Постройте многоугольник частот. Для удобства из всех вариант вычтите по 431.

Многоугольник частот — это графическое представление дискретного вариационного ряда в виде ломаной линии, соединяющей точки с координатами ($x_i, n_i$), где $x_i$ — значение варианты, а $n_i$ — соответствующая частота.

По условию, для удобства построения из каждой варианты (веса) вычитается 431. Новые значения на оси абсцисс будут представлять собой отклонение веса от нормы ($x'_i = x_i - 431$). Частоты (число деталей) остаются прежними и откладываются по оси ординат.

Данные для построения многоугольника:

• Отклонение -4 г (вес 427 г) $\rightarrow$ частота 40
• Отклонение -3 г (вес 428 г) $\rightarrow$ частота 80
• Отклонение -2 г (вес 429 г) $\rightarrow$ частота 220
• Отклонение -1 г (вес 430 г) $\rightarrow$ частота 360
• Отклонение 0 г (вес 431 г) $\rightarrow$ частота 610
• Отклонение +1 г (вес 432 г) $\rightarrow$ частота 430
• Отклонение +2 г (вес 433 г) $\rightarrow$ частота 200
• Отклонение +3 г (вес 434 г) $\rightarrow$ частота 40
• Отклонение +4 г (вес 435 г) $\rightarrow$ частота 20

Алгоритм построения многоугольника частот:

1. Начертить систему координат. Горизонтальную ось назвать "Отклонение от нормы, г", вертикальную — "Число деталей (частота)".
2. На горизонтальной оси отметить значения отклонений: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
3. На вертикальной оси выбрать подходящий масштаб и разметить значения частот до 610 (например, с шагом 100).
4. Отметить на плоскости точки с координатами (отклонение; частота): $(-4, 40)$, $(-3, 80)$, $(-2, 220)$, $(-1, 360)$, $(0, 610)$, $(1, 430)$, $(2, 200)$, $(3, 40)$, $(4, 20)$.
5. Последовательно соединить отмеченные точки отрезками прямых.
6. Для замкнутости фигуры можно соединить крайние точки с осью абсцисс в точках $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.

Ответ: Для построения многоугольника частот необходимо на координатной плоскости, где по оси абсцисс отложено отклонение веса от нормы (в г), а по оси ординат — число деталей, отметить точки $(-4, 40)$, $(-3, 80)$, $(-2, 220)$, $(-1, 360)$, $(0, 610)$, $(1, 430)$, $(2, 200)$, $(3, 40)$, $(4, 20)$ и последовательно соединить их отрезками.

19.16 Девятиклассник за первое полугодие получил итоговые «пятёрки» по трём предметам, «четвёрки» по восьми предметам и «тройки» по пяти предметам.

а) Найдите среднее значение его полугодовых оценок.

б) Каким было бы среднее значение, если бы он по физкультуре вместо «пятёрки» получил бы «тройку»?

в) Каким было бы среднее значение, если бы он по математике и по литературе получил «пятёрки», а не «четвёрки»?

г) По какому наименьшему количеству предметов ему следует улучшить оценку на 1 балл для того, чтобы среднее значение его оценок стало больше 4?

а) Найдите среднее значение его полугодовых оценок.

Сначала найдем общее количество предметов. Ученик получил оценки по $3 + 8 + 5 = 16$ предметам.

Затем найдем сумму всех оценок:

$(3 \cdot 5) + (8 \cdot 4) + (5 \cdot 3) = 15 + 32 + 15 = 62$.

Среднее значение оценок (средний балл) равно отношению суммы всех оценок к их количеству:

$\text{Среднее значение} = \frac{62}{16} = 3.875$.

Ответ: 3.875

б) Каким было бы среднее значение, если бы он по физкультуре вместо «пятёрки» получил бы «тройку»?

В этом случае одна оценка «5» заменяется на оценку «3». Общее количество предметов остаётся прежним (16). Сумма оценок уменьшится на $5 - 3 = 2$.

Новая сумма оценок: $62 - 2 = 60$.

Новое среднее значение:

$\frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3.75$.

Ответ: 3.75

в) Каким было бы среднее значение, если бы он по математике и по литературе получил «пятёрки», а не «четвёрки»?

В этом случае две оценки «4» заменяются на две оценки «5». Общее количество предметов не меняется (16). Каждая замена увеличивает общую сумму на $5 - 4 = 1$. Так как таких замен две, общая сумма оценок увеличится на $2 \cdot 1 = 2$.

Новая сумма оценок: $62 + 2 = 64$.

Новое среднее значение:

$\frac{64}{16} = 4$.

Ответ: 4

г) По какому наименьшему количеству предметов ему следует улучшить оценку на 1 балл для того, чтобы среднее значение его оценок стало больше 4?

Пусть $x$ – количество предметов, по которым оценка была улучшена на 1 балл. Каждое такое улучшение увеличивает общую сумму оценок на 1. Изначальная сумма оценок равна 62, а количество предметов – 16.

Новая сумма оценок будет равна $62 + x$.

Новое среднее значение должно быть больше 4. Составим неравенство:

$\frac{62 + x}{16} > 4$

Умножим обе части неравенства на 16:

$62 + x > 64$

Вычтем 62 из обеих частей:

$x > 2$

Поскольку $x$ – это количество предметов, оно должно быть целым числом. Наименьшее целое число, которое больше 2, – это 3. Ученик может улучшить оценки, так как у него есть 8 «четвёрок» и 5 «троек».

Ответ: 3