Страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.1 Является ли данное число $a$ решением данного неравенства:

а) $2x - 5 > 9; a = -1, a = 3;$

б) $2 - 6x < -10; a = -2, a = 4;$

в) $7 - 3x < 13; a = -15, a = 4;$

г) $4x + 5 > 17; a = -2, a = 5?$

а) Чтобы проверить, является ли число $a$ решением неравенства $2x - 5 > 9$, необходимо подставить значение $a$ вместо переменной $x$ и проверить истинность получившегося числового неравенства.
1. Проверка для $a = -1$. Подставляем $x = -1$ в неравенство:
$2 \cdot (-1) - 5 > 9$
$-2 - 5 > 9$
$-7 > 9$
Это неравенство ложно, так как $-7$ меньше, а не больше $9$. Следовательно, число $-1$ не является решением данного неравенства.
2. Проверка для $a = 3$. Подставляем $x = 3$ в неравенство:
$2 \cdot 3 - 5 > 9$
$6 - 5 > 9$
$1 > 9$
Это неравенство также ложно. Следовательно, число $3$ не является решением данного неравенства.
Ответ: $a = -1$ – не является решением; $a = 3$ – не является решением.

б) Проверим, являются ли числа $a = -2$ и $a = 4$ решениями неравенства $2 - 6x < -10$.
1. Проверка для $a = -2$. Подставляем $x = -2$:
$2 - 6 \cdot (-2) < -10$
$2 + 12 < -10$
$14 < -10$
Это неравенство ложно. Следовательно, число $-2$ не является решением.
2. Проверка для $a = 4$. Подставляем $x = 4$:
$2 - 6 \cdot 4 < -10$
$2 - 24 < -10$
$-22 < -10$
Это неравенство истинно, так как $-22$ действительно меньше $-10$. Следовательно, число $4$ является решением.
Ответ: $a = -2$ – не является решением; $a = 4$ – является решением.

в) Проверим, являются ли числа $a = -15$ и $a = 4$ решениями неравенства $7 - 3x < 13$.
1. Проверка для $a = -15$. Подставляем $x = -15$:
$7 - 3 \cdot (-15) < 13$
$7 + 45 < 13$
$52 < 13$
Это неравенство ложно. Следовательно, число $-15$ не является решением.
2. Проверка для $a = 4$. Подставляем $x = 4$:
$7 - 3 \cdot 4 < 13$
$7 - 12 < 13$
$-5 < 13$
Это неравенство истинно. Следовательно, число $4$ является решением.
Ответ: $a = -15$ – не является решением; $a = 4$ – является решением.

г) Проверим, являются ли числа $a = -2$ и $a = 5$ решениями неравенства $4x + 5 > 17$.
1. Проверка для $a = -2$. Подставляем $x = -2$:
$4 \cdot (-2) + 5 > 17$
$-8 + 5 > 17$
$-3 > 17$
Это неравенство ложно. Следовательно, число $-2$ не является решением.
2. Проверка для $a = 5$. Подставляем $x = 5$:
$4 \cdot 5 + 5 > 17$
$20 + 5 > 17$
$25 > 17$
Это неравенство истинно. Следовательно, число $5$ является решением.
Ответ: $a = -2$ – не является решением; $a = 5$ – является решением.

Решите неравенство:

1.2 а) $4a - 11 < a + 13;$

б) $6 - 4c > 7 + 6c;$

в) $8b + 3 < 9b - 2;$

г) $3 - 2x < 12 - 5x.$

а) $4a - 11 < a + 13$
Чтобы решить это линейное неравенство, сгруппируем слагаемые с переменной $a$ в левой части, а постоянные слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую его знак меняется на противоположный.
$4a - a < 13 + 11$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$3a < 24$
Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной $a$, то есть на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется.
$a < \frac{24}{3}$
$a < 8$
Ответ: $a < 8$.

б) $6 - 4c > 7 + 6c$
Перенесем слагаемые, содержащие переменную $c$, в одну часть, а константы — в другую. Чтобы избежать деления на отрицательное число, перенесем $-4c$ вправо, а 7 влево.
$6 - 7 > 6c + 4c$
Упростим обе части неравенства:
$-1 > 10c$
Для удобства прочтения поменяем местами левую и правую части, при этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$10c < -1$
Разделим обе части на 10:
$c < -\frac{1}{10}$
$c < -0.1$
Ответ: $c < -0.1$.

в) $8b + 3 < 9b - 2$
Сгруппируем слагаемые с переменной $b$ в правой части, а числа — в левой, чтобы коэффициент при переменной был положительным.
$3 + 2 < 9b - 8b$
Приведем подобные слагаемые:
$5 < b$
Это неравенство можно записать в более привычном виде:
$b > 5$
Ответ: $b > 5$.

г) $3 - 2x < 12 - 5x$
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а постоянные слагаемые — в правую.
$-2x + 5x < 12 - 3$
Приведем подобные слагаемые:
$3x < 9$
Разделим обе части неравенства на положительное число 3. Знак неравенства при этом не меняется.
$x < \frac{9}{3}$
$x < 3$
Ответ: $x < 3$.

1.3 а) $ \frac{5 - a}{3} - \frac{3 - 2a}{5} < 0; $

б) $ \frac{b + 4}{2} + \frac{13 - 4b}{5} < 0; $

в) $ \frac{x + 7}{4} > \frac{5 + 4x}{3}; $

г) $ \frac{6 - y}{7} < \frac{y + 6}{5}. $

а) $\frac{5 - a}{3} - \frac{3 - 2a}{5} < 0$

Для решения неравенства приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 это 15. Умножим обе части неравенства на 15, чтобы избавиться от дробей. Так как 15 > 0, знак неравенства не изменится.

$15 \cdot \left(\frac{5 - a}{3} - \frac{3 - 2a}{5}\right) < 15 \cdot 0$

$5(5 - a) - 3(3 - 2a) < 0$

Раскроем скобки:

$25 - 5a - 9 + 6a < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(25 - 9) + (-5a + 6a) < 0$

$16 + a < 0$

Перенесем 16 в правую часть с противоположным знаком:

$a < -16$

Ответ: $a < -16$

б) $\frac{b + 4}{2} + \frac{13 - 4b}{5} < 0$

Найдем общий знаменатель для 2 и 5, это 10. Умножим обе части неравенства на 10.

$10 \cdot \left(\frac{b + 4}{2} + \frac{13 - 4b}{5}\right) < 10 \cdot 0$

$5(b + 4) + 2(13 - 4b) < 0$

Раскроем скобки:

$5b + 20 + 26 - 8b < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(5b - 8b) + (20 + 26) < 0$

$-3b + 46 < 0$

Перенесем 46 в правую часть:

$-3b < -46$

Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$b > \frac{-46}{-3}$

$b > \frac{46}{3}$

Ответ: $b > \frac{46}{3}$

в) $\frac{x + 7}{4} > \frac{5 + 4x}{3}$

Общий знаменатель для 4 и 3 равен 12. Умножим обе части неравенства на 12.

$12 \cdot \frac{x + 7}{4} > 12 \cdot \frac{5 + 4x}{3}$

$3(x + 7) > 4(5 + 4x)$

Раскроем скобки:

$3x + 21 > 20 + 16x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$21 - 20 > 16x - 3x$

$1 > 13x$

Разделим обе части на 13:

$\frac{1}{13} > x$

Это то же самое, что и $x < \frac{1}{13}$.

Ответ: $x < \frac{1}{13}$

г) $\frac{6 - y}{7} < \frac{y + 6}{5}$

Общий знаменатель для 7 и 5 равен 35. Умножим обе части неравенства на 35.

$35 \cdot \frac{6 - y}{7} < 35 \cdot \frac{y + 6}{5}$

$5(6 - y) < 7(y + 6)$

Раскроем скобки:

$30 - 5y < 7y + 42$

Сгруппируем слагаемые:

$30 - 42 < 7y + 5y$

$-12 < 12y$

Разделим обе части на 12:

$\frac{-12}{12} < y$

$-1 < y$

Это то же самое, что и $y > -1$.

Ответ: $y > -1$

1.4 а) $a(a - 2) - a^2 > 5 - 3a;$

б) $y(5y - 4) - 5y(y + 4) \ge 96;$

в) $3x(3x - 1) - 9x^2 \le 2x + 6;$

г) $7c(c + 2) - c(7c - 1) < 3.$

а) $a(a - 2) - a^2 > 5 - 3a$

Для решения данного неравенства сначала раскроем скобки в левой части:

$a^2 - 2a - a^2 > 5 - 3a$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Члены $a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются:

$-2a > 5 - 3a$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а числа оставим в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$-2a + 3a > 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$a > 5$

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток, в который входят все числа, строго большие 5.

Ответ: $(5, +\infty)$

б) $y(5y - 4) - 5y(y + 4) \ge 96$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$5y^2 - 4y - (5y^2 + 20y) \ge 96$

Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$5y^2 - 4y - 5y^2 - 20y \ge 96$

Приведем подобные слагаемые. Члены $5y^2$ и $-5y^2$ взаимно уничтожаются:

$-24y \ge 96$

Разделим обе части неравенства на -24. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ($\ge$ на $\le$):

$y \le \frac{96}{-24}$

$y \le -4$

Решением неравенства является числовой промежуток от минус бесконечности до -4, включая число -4.

Ответ: $(-\infty, -4]$

в) $3x(3x - 1) - 9x^2 \le 2x + 6$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$9x^2 - 3x - 9x^2 \le 2x + 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части, $9x^2$ и $-9x^2$ взаимно уничтожаются:

$-3x \le 2x + 6$

Перенесем слагаемое $2x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$-3x - 2x \le 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-5x \le 6$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ($\le$ на $\ge$):

$x \ge \frac{6}{-5}$

$x \ge -1.2$

Решением неравенства является числовой промежуток от -1.2 до плюс бесконечности, включая число -1.2.

Ответ: $[-1.2, +\infty)$

г) $7c(c + 2) - c(7c - 1) < 3$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(7c^2 + 14c) - (7c^2 - c) < 3$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$7c^2 + 14c - 7c^2 + c < 3$

Приведем подобные слагаемые. Члены $7c^2$ и $-7c^2$ взаимно уничтожаются:

$14c + c < 3$

$15c < 3$

Разделим обе части неравенства на 15. Так как 15 - положительное число, знак неравенства не меняется:

$c < \frac{3}{15}$

Сократим дробь:

$c < \frac{1}{5}$

Или в виде десятичной дроби:

$c < 0.2$

Решением неравенства являются все числа, строго меньшие 0.2.

Ответ: $(-\infty, 0.2)$