Страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.5 a) $x^2 - 6x - 7 \ge 0$;

Б) $-x^2 - 2x + 8 > 0$;

В) $-x^2 + 6x - 5 < 0$;

Г) $x^2 + 2x - 48 \le 0$.

а) $x^2 - 6x - 7 \ge 0$

Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, его можно решить с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$

Корни уравнения разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках -1 и 7.

Неравенство $x^2 - 6x - 7 \ge 0$ выполняется там, где парабола находится выше или на оси абсцисс. Это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением является объединение промежутков $x \le -1$ и $x \ge 7$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [7; +\infty)$.

б) $-x^2 - 2x + 8 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$, чтобы найти его корни.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках -4 и 2.

Неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется там, где парабола находится строго ниже оси абсцисс. Это происходит на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-4 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-4; 2)$.

в) $-x^2 + 6x - 5 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак неравенства:

$x^2 - 6x + 5 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 5$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Можно также найти корни через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$, откуда $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$), и пересекает ось Ox в точках 1 и 5.

Неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$ выполняется, когда график функции находится строго выше оси абсцисс, то есть на промежутках вне корней.

Следовательно, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

г) $x^2 + 2x - 48 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 14}{2} = -8$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = 6$

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках -8 и 6.

Неравенство $x^2 + 2x - 48 \le 0$ выполняется там, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-8 \le x \le 6$.

Ответ: $x \in [-8; 6]$.

1.6 a) $4x^2 + 4x - 3 \geq 0;$

Б) $12x^2 + x - 1 < 0;$

В) $6x^2 - 7x - 20 \leq 0;$

Г) $15x^2 - 29x - 2 > 0.$

а) $4x^2 + 4x - 3 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства мы сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 4x - 3 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта.

1. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

3. Теперь рассмотрим функцию $y = 4x^2 + 4x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a = 4$ положителен. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3/2$ и $x = 1/2$.

4. Нам нужно найти, где $4x^2 + 4x - 3 \ge 0$, то есть где значения функции неотрицательны (график находится на оси Ox или выше нее). Это происходит на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) $12x^2 + x - 1 < 0$

1. Найдем корни уравнения $12x^2 + x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$.

2. Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 - 7}{24} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 + 7}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

3. Парабола $y = 12x^2 + x - 1$ имеет ветви, направленные вверх ($a=12 > 0$).

4. Мы ищем значения $x$, для которых $12x^2 + x - 1 < 0$, то есть где график параболы находится ниже оси Ox. Это интервал между корнями. Поскольку неравенство строгое (<), корни не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; \frac{1}{4})$.

в) $6x^2 - 7x - 20 \le 0$

1. Найдем корни уравнения $6x^2 - 7x - 20 = 0$.
Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-20) = 49 + 480 = 529$.

2. Корни уравнения (обратите внимание, что $\sqrt{529} = 23$):
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{529}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 23}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{529}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 23}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$

3. Парабола $y = 6x^2 - 7x - 20$ имеет ветви, направленные вверх ($a=6 > 0$).

4. Мы ищем значения $x$, для которых $6x^2 - 7x - 20 \le 0$, то есть где график параболы находится на оси Ox или ниже нее. Это отрезок между корнями. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), корни включаются в решение.

Ответ: $x \in [-\frac{4}{3}; \frac{5}{2}]$.

г) $15x^2 - 29x - 2 > 0$

1. Найдем корни уравнения $15x^2 - 29x - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-29)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 841 + 120 = 961$.

2. Корни уравнения (обратите внимание, что $\sqrt{961} = 31$):
$x_1 = \frac{29 - \sqrt{961}}{2 \cdot 15} = \frac{29 - 31}{30} = \frac{-2}{30} = -\frac{1}{15}$
$x_2 = \frac{29 + \sqrt{961}}{2 \cdot 15} = \frac{29 + 31}{30} = \frac{60}{30} = 2$

3. Парабола $y = 15x^2 - 29x - 2$ имеет ветви, направленные вверх ($a=15 > 0$).

4. Мы ищем значения $x$, для которых $15x^2 - 29x - 2 > 0$, то есть где график параболы находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня. Поскольку неравенство строгое ($>$), сами корни не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{15}) \cup (2; +\infty)$.

1.7 a) $3x^2 + x + 2 > 0;$

б) $-3x^2 + 2x - 1 \geq 0;$

В) $5x^2 - 2x + 1 < 0;$

Г) $-7x^2 + 5x - 2 \leq 0.$

а) $3x^2 + x + 2 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 3x^2 + x + 2$. Графиком этой функции является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Старший коэффициент $a = 3$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), для чего решим квадратное уравнение $3x^2 + x + 2 = 0$. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что значение выражения $3x^2 + x + 2$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $-3x^2 + 2x - 1 \ge 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -3x^2 + 2x - 1$. Графиком является парабола.

1. Определим направление ветвей. Старший коэффициент $a = -3$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $-3x^2 + 2x - 1 = 0$. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-1) = 4 - 12 = -8$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, следовательно, парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси Ox. Это означает, что значение выражения $-3x^2 + 2x - 1$ всегда отрицательно. Не существует таких значений $x$, при которых это выражение было бы больше или равно нулю.

Ответ: нет решений.

в) $5x^2 - 2x + 1 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 5x^2 - 2x + 1$. Графиком является парабола.

1. Определим направление ветвей. Старший коэффициент $a = 5$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $5x^2 - 2x + 1 = 0$. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится выше оси Ox. Это означает, что значение выражения $5x^2 - 2x + 1$ всегда положительно. Не существует таких значений $x$, при которых это выражение было бы меньше нуля.

Ответ: нет решений.

г) $-7x^2 + 5x - 2 \le 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -7x^2 + 5x - 2$. Графиком является парабола.

1. Определим направление ветвей. Старший коэффициент $a = -7$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $-7x^2 + 5x - 2 = 0$. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-2) = 25 - 56 = -31$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится ниже оси Ox. Это означает, что значение выражения $-7x^2 + 5x - 2$ всегда отрицательно. Следовательно, неравенство $-7x^2 + 5x - 2 \le 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

1.8 a) $4x^2 - 12x + 9 > 0$;

б) $25x^2 + 40x + 16 \le 0$;

В) $16x^2 - 40x + 25 \ge 0$;

Г) $9x^2 + 12x + 4 < 0$.

а) Решим неравенство $4x^2 - 12x + 9 > 0$.
Заметим, что левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = 2x$ и $b = 3$. Тогда $4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$.
Неравенство принимает вид: $(2x - 3)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен, то есть $(2x - 3)^2 \ge 0$. Строгое неравенство $(2x - 3)^2 > 0$ будет выполняться для всех значений $x$, кроме тех, при которых выражение равно нулю.
Найдем, когда $(2x - 3)^2 = 0$:
$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2}$ или $x = 1.5$.
Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = 1.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$.

б) Решим неравенство $25x^2 + 40x + 16 \le 0$.
Левая часть этого неравенства является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 5x$ и $b = 4$. Тогда $25x^2 + 40x + 16 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 4 + 4^2 = (5x + 4)^2$.
Неравенство можно переписать в виде: $(5x + 4)^2 \le 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это означает, что $(5x + 4)^2$ не может быть меньше нуля. Единственный случай, когда это неравенство может быть верным, — это когда выражение равно нулю.
$(5x + 4)^2 = 0$
$5x + 4 = 0$
$5x = -4$
$x = -\frac{4}{5}$ или $x = -0.8$.
Неравенство имеет единственное решение.
Ответ: $x = -0.8$.

в) Решим неравенство $16x^2 - 40x + 25 \ge 0$.
Левая часть неравенства — это полный квадрат разности: $16x^2 - 40x + 25 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 5 + 5^2 = (4x - 5)^2$.
Неравенство принимает вид: $(4x - 5)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство выполняется при любом действительном значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Решим неравенство $9x^2 + 12x + 4 < 0$.
Левая часть неравенства является полным квадратом суммы: $9x^2 + 12x + 4 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x + 2)^2$.
Неравенство принимает вид: $(3x + 2)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $(3x + 2)^2 \ge 0$ для любого $x$. Выражение в левой части никогда не может быть строго меньше нуля. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

1.9 При каких значениях $x$ имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{12x-6}$;

б) $\sqrt{9-2x}$;

в) $\sqrt{3x+4,5}$;

г) $\sqrt{13-5x}$?

Для того чтобы выражение, содержащее квадратный корень, имело смысл в области действительных чисел, необходимо и достаточно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным (то есть больше или равным нулю).

а) Для выражения $\sqrt{12x - 6}$

Составим и решим неравенство, исходя из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$12x - 6 \geq 0$

Перенесем -6 в правую часть неравенства, изменив знак:

$12x \geq 6$

Разделим обе части неравенства на 12:

$x \geq \frac{6}{12}$

Сократим дробь:

$x \geq \frac{1}{2}$

Или в виде десятичной дроби:

$x \geq 0,5$

Ответ: выражение имеет смысл при $x \geq 0,5$.

б) Для выражения $\sqrt{9 - 2x}$

Составим и решим неравенство:

$9 - 2x \geq 0$

Перенесем 9 в правую часть неравенства:

$-2x \geq -9$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \leq \frac{-9}{-2}$

$x \leq \frac{9}{2}$

Или в виде десятичной дроби:

$x \leq 4,5$

Ответ: выражение имеет смысл при $x \leq 4,5$.

в) Для выражения $\sqrt{3x + 4,5}$

Составим и решим неравенство:

$3x + 4,5 \geq 0$

Перенесем 4,5 в правую часть неравенства:

$3x \geq -4,5$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x \geq \frac{-4,5}{3}$

$x \geq -1,5$

Ответ: выражение имеет смысл при $x \geq -1,5$.

г) Для выражения $\sqrt{13 - 5x}$

Составим и решим неравенство:

$13 - 5x \geq 0$

Перенесем 13 в правую часть неравенства:

$-5x \geq -13$

Разделим обе части неравенства на -5, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:

$x \leq \frac{-13}{-5}$

$x \leq \frac{13}{5}$

Или в виде десятичной дроби:

$x \leq 2,6$

Ответ: выражение имеет смысл при $x \leq 2,6$.

Найдите область определения выражения:

1.10 а) $\sqrt{3x^2 + 28x + 9};$

б) $\sqrt{5x - x^2 + 6};$

в) $\sqrt{2x^2 + 7x - 9};$

г) $\sqrt{21 - 4x - x^2}.$

а) Область определения выражения $\sqrt{3x^2 + 28x + 9}$ — это множество всех значений $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:
$3x^2 + 28x + 9 \ge 0$
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 28x + 9 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676$.
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-28 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{-54}{6} = -9$
$x_2 = \frac{-28 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Графиком функции $y = 3x^2 + 28x + 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3>0$). Следовательно, квадратный трехчлен принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $x \le -9$ или $x \ge -\frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -9] \cup [-\frac{1}{3}, +\infty)$.

б) Область определения выражения $\sqrt{5x - x^2 + 6}$ задается неравенством:
$5x - x^2 + 6 \ge 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$x^2 - 5x - 6 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$x_2 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Графиком функции $y = x^2 - 5x - 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Квадратный трехчлен принимает неположительные значения ($ \le 0$) при $x$, находящихся между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением неравенства является отрезок: $-1 \le x \le 6$.
Ответ: $x \in [-1, 6]$.

в) Область определения выражения $\sqrt{2x^2 + 7x - 9}$ задается неравенством:
$2x^2 + 7x - 9 \ge 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 + 7x - 9 = 0$.
Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$.
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4.5$
$x_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Графиком функции $y = 2x^2 + 7x - 9$ является парабола с ветвями вверх ($a=2>0$). Неравенство $\ge 0$ выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
Решение неравенства: $x \le -4.5$ или $x \ge 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4.5] \cup [1, +\infty)$.

г) Область определения выражения $\sqrt{21 - 4x - x^2}$ задается неравенством:
$21 - 4x - x^2 \ge 0$
Перепишем в стандартном виде и умножим на -1, изменив знак неравенства:
$-x^2 - 4x + 21 \ge 0$
$x^2 + 4x - 21 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.
$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $\le 0$ выполняется при значениях $x$ между корнями.
Решение неравенства: $-7 \le x \le 3$.
Ответ: $x \in [-7, 3]$.

1.11 a) $\frac{1}{\sqrt{4 - 2x}}$;

б) $\sqrt{(3 + x)^{-1}}$;

в) $\frac{10}{\sqrt{-x - 5}}$;

г) $\sqrt{(2x - 6)^{-1}}$.

а)

Для нахождения области определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{4 - 2x}}$ необходимо, чтобы выражение, находящееся под знаком квадратного корня в знаменателе, было строго больше нуля. Это требование объединяет два условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($4 - 2x \ge 0$), а знаменатель не должен быть равен нулю ($\sqrt{4 - 2x} \ne 0$).
Составим и решим строгое неравенство:
$4 - 2x > 0$
Вычтем 4 из обеих частей:
$-2x > -4$
Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-4}{-2}$
$x < 2$
Таким образом, область определения функции — это интервал от минус бесконечности до 2, не включая 2.

Ответ: $(-\infty; 2)$

б)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(3 + x)^{-1}}$.
Степень с показателем -1 означает обратную величину, поэтому функцию можно переписать следующим образом:
$y = \sqrt{\frac{1}{3 + x}}$
Используя свойство корня из дроби, получаем:
$y = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3 + x}} = \frac{1}{\sqrt{3 + x}}$
Как и в предыдущем задании, выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$3 + x > 0$
Вычтем 3 из обеих частей неравенства:
$x > -3$
Область определения функции — это интервал от -3 до плюс бесконечности, не включая -3.

Ответ: $(-3; +\infty)$

в)

Для функции $y = \frac{10}{\sqrt{-x - 5}}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным.
Решим неравенство:
$-x - 5 > 0$
Прибавим 5 к обеим частям:
$-x > 5$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < -5$
Область определения функции — это интервал от минус бесконечности до -5, не включая -5.

Ответ: $(-\infty; -5)$

г)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(2x - 6)^{-1}}$.
Преобразуем выражение, используя свойство отрицательной степени:
$y = \sqrt{\frac{1}{2x - 6}}$
Это выражение эквивалентно $y = \frac{1}{\sqrt{2x - 6}}$.
Потребуем, чтобы выражение под корнем в знаменателе было строго положительным:
$2x - 6 > 0$
Прибавим 6 к обеим частям:
$2x > 6$
Разделим обе части на 2:
$x > 3$
Область определения функции — это интервал от 3 до плюс бесконечности, не включая 3.

Ответ: $(3; +\infty)$

1.12 a) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 18x + 77}}$;

б) $\sqrt{(10x^2 - 11x - 6)^{-1}}$;

В) $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9x - 36}}$;

Г) $\sqrt{(12x^2 + 13x - 4)^{-1}}$.

а)

Данное выражение $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 18x + 77}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля. Это необходимо, так как извлекать квадратный корень можно только из неотрицательного числа, а делить на ноль нельзя. Следовательно, мы должны решить неравенство:

$x^2 - 18x + 77 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 18x + 77 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 77 = 324 - 308 = 16$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-18) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 4}{2} = 7$ и $x_2 = \frac{-(-18) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 4}{2} = 11$.

Графиком функции $y = x^2 - 18x + 77$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, квадратный трехчлен принимает положительные значения при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 7) \cup (11; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 7) \cup (11; \infty)$.

б)

Преобразуем выражение $\sqrt{(10x^2 - 11x - 6)^{-1}}$, используя свойство степени с отрицательным показателем $(a^{-1} = 1/a)$:

$\sqrt{(10x^2 - 11x - 6)^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{10x^2 - 11x - 6}} = \frac{1}{\sqrt{10x^2 - 11x - 6}}$

Область определения этого выражения задается условием, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$10x^2 - 11x - 6 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $10x^2 - 11x - 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-6) = 121 + 240 = 361$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-11) - \sqrt{361}}{2 \cdot 10} = \frac{11 - 19}{20} = -\frac{8}{20} = -\frac{2}{5}$ и $x_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{361}}{2 \cdot 10} = \frac{11 + 19}{20} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$.

Графиком функции $y = 10x^2 - 11x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=10 > 0$). Значит, неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2/5) \cup (3/2; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2/5) \cup (3/2; \infty)$.

в)

Выражение $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9x - 36}}$ определено, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля.

$x^2 + 9x - 36 > 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 + 9x - 36 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 15}{2} = -12$ и $x_2 = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 15}{2} = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 9x - 36$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому квадратный трехчлен положителен при $x$ за пределами корней.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -12) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -12) \cup (3; \infty)$.

г)

Преобразуем выражение $\sqrt{(12x^2 + 13x - 4)^{-1}}$:

$\sqrt{(12x^2 + 13x - 4)^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{12x^2 + 13x - 4}} = \frac{1}{\sqrt{12x^2 + 13x - 4}}$

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго положительно:

$12x^2 + 13x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $12x^2 + 13x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-4) = 169 + 192 = 361$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-13 - \sqrt{361}}{2 \cdot 12} = \frac{-13 - 19}{24} = -\frac{32}{24} = -\frac{4}{3}$ и $x_2 = \frac{-13 + \sqrt{361}}{2 \cdot 12} = \frac{-13 + 19}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

Ветви параболы $y = 12x^2 + 13x - 4$ направлены вверх ($a=12 > 0$), поэтому неравенство выполняется при $x$ вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -4/3) \cup (1/4; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4/3) \cup (1/4; \infty)$.

1.13 а) $\frac{1}{\sqrt{-a^2 - a + 2}}$;

б) $\sqrt{(-b^2 + 3b + 4)^{-1}}$;

В) $\sqrt{\frac{7}{14 - 2c^2 - 3c}}$;

Г) $\sqrt{(-3y^2 + 10y - 3)^{-1}}$.

а)

Данное выражение определено, когда подкоренное выражение строго больше нуля, так как квадратный корень находится в знаменателе дроби. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$-a^2 - a + 2 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$a^2 + a - 2 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 + a - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -2. Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$.

Графиком функции $y = a^2 + a - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения этой функции отрицательны на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-2; 1)$.

Ответ: $a \in (-2; 1)$.

б)

Выражение можно преобразовать к виду $\sqrt{\frac{1}{-b^2 + 3b + 4}}$. Данное выражение определено, когда выражение под корнем неотрицательно. Так как числитель дроби (1) положителен, знаменатель также должен быть строго положителен (не может быть равен нулю). Таким образом, решаем неравенство:

$-b^2 + 3b + 4 > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$b^2 - 3b - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $b^2 - 3b - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Отсюда корни: $b_1 = 4$ и $b_2 = -1$.

Парабола $y = b^2 - 3b - 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-1 < b < 4$.

Ответ: $b \in (-1; 4)$.

в)

Выражение $\sqrt{\frac{7}{14 - 2c^2 - 3c}}$ определено, когда подкоренное выражение неотрицательно. Так как числитель 7 положителен, знаменатель дроби должен быть строго положительным. Решаем неравенство:

$14 - 2c^2 - 3c > 0$

Запишем в стандартном виде: $-2c^2 - 3c + 14 > 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$2c^2 + 3c - 14 < 0$

Найдем корни уравнения $2c^2 + 3c - 14 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

Корни уравнения: $c_1 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$ и $c_2 = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Парабола $y = 2c^2 + 3c - 14$ имеет ветви, направленные вверх, и принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-3.5 < c < 2$.

Ответ: $c \in (-3.5; 2)$.

г)

Преобразуем выражение: $\sqrt{(-3y^2 + 10y - 3)^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-3y^2 + 10y - 3}}$. Выражение определено, когда подкоренное выражение неотрицательно. Так как числитель 1 положителен, знаменатель должен быть строго больше нуля. Решаем неравенство:

$-3y^2 + 10y - 3 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим его знак:

$3y^2 - 10y + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $3y^2 - 10y + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

Корни уравнения: $y_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$ и $y_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Графиком функции $y = 3y^2 - 10y + 3$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она отрицательна на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $\frac{1}{3} < y < 3$.

Ответ: $y \in (\frac{1}{3}; 3)$.

1.14 a) $\sqrt{(3 - x)(x + 7)};$

б) $\frac{1}{\sqrt{(y - 4)(3y + 5)}};$

В) $\sqrt{(t + 4)(9 + t)};$

Г) $\frac{-5}{\sqrt{(2z - 1)(-z - 3)}}.$

а) Областью определения данного выражения является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Запишем соответствующее неравенство:

$ (3 - x)(x + 7) \ge 0 $

Для решения воспользуемся методом интервалов. Найдём корни левой части неравенства, решив уравнение $ (3 - x)(x + 7) = 0 $. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$.

Нанесём эти точки на числовую ось. Они разбивают ось на три промежутка. Определим знак выражения $ (3 - x)(x + 7) $ на каждом из них:

- На интервале $ (-\infty; -7) $, возьмём $x = -8$: $ (3 - (-8))(-8 + 7) = 11 \cdot (-1) = -11 < 0 $.
- На интервале $ (-7; 3) $, возьмём $x = 0$: $ (3 - 0)(0 + 7) = 3 \cdot 7 = 21 > 0 $.
- На интервале $ (3; +\infty) $, возьмём $x = 4$: $ (3 - 4)(4 + 7) = -1 \cdot 11 = -11 < 0 $.

Поскольку неравенство имеет вид $ \ge 0 $, решением является промежуток, где выражение положительно, включая точки, где оно равно нулю.

Ответ: $ x \in [-7; 3] $.

б) В данном выражении подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Также следует учесть, что знаменатель не может быть равен нулю.

$ \frac{1}{(y - 4)(3y + 5)} \ge 0 $

Так как числитель дроби равен 1 (положительное число), для выполнения неравенства знаменатель дроби должен быть строго положительным.

$ (y - 4)(3y + 5) > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $ (y - 4)(3y + 5) = 0 $:

$ y - 4 = 0 \implies y = 4 $
$ 3y + 5 = 0 \implies y = -5/3 $

Нанесём точки $ -5/3 $ и $ 4 $ на числовую ось и определим знаки выражения $ (y - 4)(3y + 5) $ на полученных интервалах:

- На интервале $ (-\infty; -5/3) $, возьмём $y = -2$: $ (-2 - 4)(3(-2) + 5) = (-6)(-1) = 6 > 0 $.
- На интервале $ (-5/3; 4) $, возьмём $y = 0$: $ (0 - 4)(3(0) + 5) = (-4)(5) = -20 < 0 $.
- На интервале $ (4; +\infty) $, возьмём $y = 5$: $ (5 - 4)(3(5) + 5) = 1 \cdot 20 = 20 > 0 $.

Поскольку неравенство строгое ($ > 0 $), решением будут интервалы, где выражение положительно, не включая концы.

Ответ: $ y \in (-\infty; -5/3) \cup (4; +\infty) $.

в) Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

$ (t + 4)(9 + t) \ge 0 $

Решаем методом интервалов. Находим корни уравнения $ (t + 4)(9 + t) = 0 $:

$ t + 4 = 0 \implies t = -4 $
$ 9 + t = 0 \implies t = -9 $

Нанесём корни -9 и -4 на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах:

- На интервале $ (-\infty; -9) $, возьмём $t = -10$: $ (-10 + 4)(-10 + 9) = (-6)(-1) = 6 > 0 $.
- На интервале $ (-9; -4) $, возьмём $t = -5$: $ (-5 + 4)(-5 + 9) = (-1)(4) = -4 < 0 $.
- На интервале $ (-4; +\infty) $, возьмём $t = 0$: $ (0 + 4)(0 + 9) = 4 \cdot 9 = 36 > 0 $.

Выбираем промежутки, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $ t \in (-\infty; -9] \cup [-4; +\infty) $.

г) В данном выражении квадратный корень находится в знаменателе. Это означает, что подкоренное выражение должно быть строго положительным (не может быть равно нулю).

$ (2z - 1)(-z - 3) > 0 $

Для удобства вынесем знак минус из второй скобки: $ -(2z - 1)(z + 3) > 0 $. Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ (2z - 1)(z + 3) < 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $ (2z - 1)(z + 3) = 0 $:

$ 2z - 1 = 0 \implies z = 1/2 $
$ z + 3 = 0 \implies z = -3 $

Нанесём точки -3 и 1/2 на числовую ось и определим знаки выражения $ (2z - 1)(z + 3) $ на интервалах:

- На интервале $ (-\infty; -3) $, возьмём $z = -4$: $ (2(-4) - 1)(-4 + 3) = (-9)(-1) = 9 > 0 $.
- На интервале $ (-3; 1/2) $, возьмём $z = 0$: $ (2(0) - 1)(0 + 3) = (-1)(3) = -3 < 0 $.
- На интервале $ (1/2; +\infty) $, возьмём $z = 1$: $ (2(1) - 1)(1 + 3) = 1 \cdot 4 = 4 > 0 $.

Нам нужен интервал, где выражение $ (2z - 1)(z + 3) $ меньше нуля.

Ответ: $ z \in (-3; 1/2) $.