Номер 3, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Примем объём всего бассейна за единицу ($1$).

Пусть производительности первого, второго и третьего насосов равны соответственно $p_1$, $p_2$ и $p_3$ (то есть какую часть бассейна заполняет каждый насос за $1\text{ мин}$).

Исходя из условия задачи, запишем совместную производительность насосов по парам:

• Первый и второй насосы: $$p_1 + p_2 = \frac{1}{9}$$
• Второй и третий насосы: $$p_2 + p_3 = \frac{1}{12}$$
• Первый и третий насосы: $$p_1 + p_3 = \frac{1}{18}$$

Сложим все три уравнения почленно:

$$(p_1 + p_2) + (p_2 + p_3) + (p_1 + p_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{18}$$

В левой части каждое слагаемое повторяется дважды:

$$2(p_1 + p_2 + p_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{18}$$

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю $36$:

$$2(p_1 + p_2 + p_3) = \frac{4}{36} + \frac{3}{36} + \frac{2}{36}$$

$$2(p_1 + p_2 + p_3) = \frac{9}{36}$$

$$2(p_1 + p_2 + p_3) = \frac{1}{4}$$

Разделим обе части на $2$, чтобы найти общую производительность трёх насосов, работающих одновременно:

$$p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{4} : 2 = \frac{1}{8}$$

Таким образом, за $1\text{ мин}$ три насоса вместе наполняют $\frac{1}{8}$ часть бассейна.

Найдём время $t$, за которое они полностью заполнят бассейн:

$$t = \frac{1}{p_1 + p_2 + p_3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8\text{ (мин)}$$

Ответ: за $8$ минут.