номер 2, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Для определения числа решений линейной системы вида $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ сравним отношения соответствующих коэффициентов при переменных и свободных членов:

а)$\begin{cases} 5x + 2y - 3 = 0, \\ 10x - 4y - 6 = 0 \end{cases}$

Выпишем коэффициенты первого и второго уравнений:
$a_1 = 5$, $b_1 = 2$, $c_1 = -3$
$a_2 = 10$, $b_2 = -4$, $c_2 = -6$

Сравним отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$$

Так как $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ($\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$), графики уравнений являются пересекающимися прямыми.
Ответ: система имеет одно решение (единственное решение).

б)$\begin{cases} 3x - 4y + 5 = 0, \\ -12x + 16y + 20 = 0 \end{cases}$

Выпишем коэффициенты уравнений:
$a_1 = 3$, $b_1 = -4$, $c_1 = 5$
$a_2 = -12$, $b_2 = 16$, $c_2 = 20$

Найдем отношения соответствующих коэффициентов:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{-12} = -\frac{1}{4}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$$

Получаем равенство: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ ($-\frac{1}{4} = -\frac{1}{4} \neq \frac{1}{4}$). Это означает, что прямые параллельны и не имеют общих точек.
Ответ: система не имеет решений (0 решений).

в)$\begin{cases} 2x + 7y - 4 = 0, \\ x + 3{,}5y + 2 = 0 \end{cases}$

Выпишем коэффициенты уравнений:
$a_1 = 2$, $b_1 = 7$, $c_1 = -4$
$a_2 = 1$, $b_2 = 3{,}5$, $c_2 = 2$

Найдем отношения коэффициентов:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{7}{3{,}5} = 2, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ ($2 = 2 \neq -2$), прямые параллельны друг другу и не пересекаются.
Ответ: система не имеет решений (0 решений).