Номер 2, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Дано:
Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена:
$a_n = 3n + 2$.

Найти: $S_5$, $S_{40}$, $S_k$.

Решение:

Проверим, является ли данная последовательность арифметической прогрессией. Для этого найдём разность двух соседних членов:
$a_{n+1} - a_n = (3(n + 1) + 2) - (3n + 2) = 3n + 3 + 2 - 3n - 2 = 3$.

Так как разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна $3$, то данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 3$.

Найдём первый член прогрессии при $n = 1$:
$a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид:
$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

1.Сумма первых пяти членов ($n = 5$):
Найдём пятый член последовательности:
$a_5 = 3 \cdot 5 + 2 = 15 + 2 = 17$.
Вычислим сумму:
$$S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = \frac{5 + 17}{2} \cdot 5 = \frac{22}{2} \cdot 5 = 11 \cdot 5 = 55.$$

2.Сумма первых сорока членов ($n = 40$):
Найдём сороковой член последовательности:
$a_{40} = 3 \cdot 40 + 2 = 120 + 2 = 122$.
Вычислим сумму:
$$S_{40} = \frac{a_1 + a_{40}}{2} \cdot 40 = \frac{5 + 122}{2} \cdot 40 = 127 \cdot 20 = 2540.$$

3.Сумма первых $k$ членов ($n = k$):
Член последовательности с номером $k$ равен:
$a_k = 3k + 2$.
Выразим формулу суммы первых $k$ членов:
$$S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k = \frac{5 + (3k + 2)}{2} \cdot k = \frac{3k + 7}{2} \cdot k = \frac{3k^2 + 7k}{2}.$$

Ответ: $S_5 = 55$; $S_{40} = 2540$; $S_k = \frac{3k^2 + 7k}{2}$.