номер 2, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Дано:
$(x_n)$ — числовая последовательность, заданная формулой $x_n = 4n + 5$.

Найти:
$S_6$, $S_{20}$, $S_k$.

Решение:

Докажем, что последовательность $(x_n)$ является арифметической прогрессией. Для этого найдем разность между последующим и предыдущим членами:
$x_{n+1} - x_n = (4(n + 1) + 5) - (4n + 5) = 4n + 4 + 5 - 4n - 5 = 4$.

Так как разность постоянна ($d = 4$), данная последовательность — арифметическая прогрессия с разностью $d = 4$ и первым членом:
$x_1 = 4 \cdot 1 + 5 = 9$.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид:
$$S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n$$

1.Найдем сумму первых шести членов ($S_6$):
Вычислим шестой член последовательности:
$x_6 = 4 \cdot 6 + 5 = 24 + 5 = 29$.
Тогда сумма равна:
$$S_6 = \frac{x_1 + x_6}{2} \cdot 6 = \frac{9 + 29}{2} \cdot 6 = \frac{38}{2} \cdot 6 = 19 \cdot 6 = 114.$$

2.Найдем сумму первых двадцати членов ($S_{20}$):
Вычислим двадцатый член последовательности:
$x_{20} = 4 \cdot 20 + 5 = 80 + 5 = 85$.
Тогда сумма равна:
$$S_{20} = \frac{x_1 + x_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{9 + 85}{2} \cdot 20 = \frac{94}{2} \cdot 20 = 94 \cdot 10 = 940.$$

3.Найдем сумму первых $k$ членов ($S_k$):
Член последовательности с номером $k$ равен:
$x_k = 4k + 5$.
Тогда сумма первых $k$ членов равна:
$$S_k = \frac{x_1 + x_k}{2} \cdot k = \frac{9 + (4k + 5)}{2} \cdot k = \frac{4k + 14}{2} \cdot k = (2k + 7) \cdot k = 2k^2 + 7k.$$

Ответ:
$S_6 = 114$;
$S_{20} = 940$;
$S_k = 2k^2 + 7k$.