Номер 5, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} x^2 - xy = -2, \\ y^2 - xy = 3. \end{cases}$$

Сложим почленно оба уравнения системы:

$$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = -2 + 3$$

$$x^2 - 2xy + y^2 = 1$$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$$(x - y)^2 = 1$$

Отсюда получаем два возможных случая: $x - y = 1$ или $x - y = -1$.

Заметим, что в первом уравнении исходной системы можно вынести общий множитель $x$ за скобки:

$$x(x - y) = -2$$

Рассмотрим оба случая отдельно:

1) Первый случай: $x - y = 1$

Подставим значение $(x - y)$ в уравнение $x(x - y) = -2$:

$$x \cdot 1 = -2 \implies x = -2$$

Найдем $y$, выразив его из равенства $x - y = 1$:

$$y = x - 1$$

$$y = -2 - 1 = -3$$

Получили первую пару решений: $(-2; -3)$.

2) Второй случай: $x - y = -1$

Подставим значение $(x - y)$ в уравнение $x(x - y) = -2$:

$$x \cdot (-1) = -2 \implies x = 2$$

Найдем $y$, выразив его из равенства $x - y = -1$:

$$y = x + 1$$

$$y = 2 + 1 = 3$$

Получили вторую пару решений: $(2; 3)$.

Ответ: $(-2; -3)$, $(2; 3)$.