номер 3, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

1.График первого уравнения: $x^2 + y^2 = 16$.
Данное уравнение задаёт окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

2.График второго уравнения: $x^2 + y = 4 \iff y = 4 - x^2$.
Данное уравнение задаёт параболу с ветвями, направленными вниз ($a = -1 < 0$).
Вершина параболы расположена в точке $(0; 4)$. Точки пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$): $4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2$, то есть точки $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

3.Схематическое взаимное расположение графиков:

• Вершина параболы $(0; 4)$ лежит на окружности и является её самой верхней точкой (это первая точка пересечения).
• Опускаясь вниз, ветви параболы проходят через точки $(-2; 0)$ и $(2; 0)$, которые лежат внутри круга, так как радиус окружности равен $4$.
• Продолжаясь далее вниз, ветви параболы пересекают нижнюю полуокружность ещё в двух симметричных точках.

4.Аналитическая проверка:
Подставим выражение $x^2 = 4 - y$ в первое уравнение системы: $$(4 - y) + y^2 = 16$$ $$y^2 - y - 12 = 0$$ По теореме Виета находим корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -3$.
Определим соответствующие значения $x$:
• при $y = 4$: $x^2 = 4 - 4 = 0 \implies x = 0$ (получаем одну точку: $(0; 4)$);
• при $y = -3$: $x^2 = 4 - (-3) = 7 \implies x = \pm\sqrt{7}$ (получаем две точки: $(\sqrt{7}; -3)$ и $(-\sqrt{7}; -3)$).

Графики уравнений имеют ровно 3 общие точки, следовательно, система имеет 3 решения.

Ответ: 3 решения.