номер 2, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

2.Дано:
Прямоугольник;
Периметр $P = 14\text{ см}$;
Диагональ $d = 5\text{ см}$.

Найти: стороны прямоугольника $a$ и $b$.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны $a\text{ см}$ и $b\text{ см}$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его смежных сторон:

$$P = 2(a + b)$$

Подставим известное значение периметра:

$$2(a + b) = 14 \implies a + b = 7 \implies b = 7 - a$$

Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника, в которых стороны прямоугольника являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора:

$$a^2 + b^2 = d^2$$

$$a^2 + b^2 = 5^2$$

$$a^2 + b^2 = 25$$

Подставим выражение $b = 7 - a$ в полученное уравнение:

$$a^2 + (7 - a)^2 = 25$$

$$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$$

$$2a^2 - 14a + 24 = 0$$

Разделим обе части квадратного уравнения на $2$:

$$a^2 - 7a + 12 = 0$$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$

$$a_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$a_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Если первая сторона $a = 4\text{ см}$, то вторая сторона $b = 7 - 4 = 3\text{ см}$.
Если первая сторона $a = 3\text{ см}$, то вторая сторона $b = 7 - 3 = 4\text{ см}$.

Оба корня положительные и дают одинаковую пару сторон.

Ответ: $3\text{ см}$ и $4\text{ см}$.