Номер 13, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\sqrt{27a} + \sqrt{75a} - \sqrt{108a}$
Решение:
Вынесем множители из-под знаков корней, представив подкоренные числа в виде произведения полных квадратов и числа $3$:
$\sqrt{27a} = \sqrt{9 \cdot 3a} = 3\sqrt{3a}$
$\sqrt{75a} = \sqrt{25 \cdot 3a} = 5\sqrt{3a}$
$\sqrt{108a} = \sqrt{36 \cdot 3a} = 6\sqrt{3a}$
Подставим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$$3\sqrt{3a} + 5\sqrt{3a} - 6\sqrt{3a} = (3 + 5 - 6)\sqrt{3a} = 2\sqrt{3a}$$ Ответ: $2\sqrt{3a}$

б) $(\sqrt{x} + \sqrt{5})(\sqrt{x} - \sqrt{5}) - (\sqrt{x} - \sqrt{5})\sqrt{x}$
Решение:
К первому произведению применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, а во второй части раскроем скобки, умножив каждое слагаемое на $\sqrt{x}$:
$(\sqrt{x} + \sqrt{5})(\sqrt{x} - \sqrt{5}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{5})^2 = x - 5$
$(\sqrt{x} - \sqrt{5})\sqrt{x} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{x} = x - \sqrt{5x}$
Запишем выражение целиком, учитывая знак «минус» перед скобкой:
$$(x - 5) - (x - \sqrt{5x}) = x - 5 - x + \sqrt{5x} = \sqrt{5x} - 5$$ Ответ: $\sqrt{5x} - 5$

в) $(\sqrt{3a} + \sqrt{2b})^2 - (\sqrt{3a} - \sqrt{2b})^2$
Решение:
Удобнее всего применить формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = \sqrt{3a} + \sqrt{2b}$, а $B = \sqrt{3a} - \sqrt{2b}$:
$A - B = (\sqrt{3a} + \sqrt{2b}) - (\sqrt{3a} - \sqrt{2b}) = \sqrt{3a} + \sqrt{2b} - \sqrt{3a} + \sqrt{2b} = 2\sqrt{2b}$
$A + B = (\sqrt{3a} + \sqrt{2b}) + (\sqrt{3a} - \sqrt{2b}) = 2\sqrt{3a}$
Перемножим полученные результаты:
$$(2\sqrt{2b}) \cdot (2\sqrt{3a}) = 4\sqrt{2b \cdot 3a} = 4\sqrt{6ab}$$ Ответ: $4\sqrt{6ab}$

г) $(\sqrt{c} + \sqrt{7})(c - \sqrt{7c} + 7)$
Решение:
Заметим, что во второй скобке записан неполный квадрат разности: $c = (\sqrt{c})^2$, $\sqrt{7c} = \sqrt{c} \cdot \sqrt{7}$, а $7 = (\sqrt{7})^2$.
Следовательно, данное выражение представляет собой формулу суммы кубов $(u + v)(u^2 - uv + v^2) = u^3 + v^3$, где $u = \sqrt{c}$ и $v = \sqrt{7}$:
$$(\sqrt{c} + \sqrt{7})((\sqrt{c})^2 - \sqrt{c}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2) = (\sqrt{c})^3 + (\sqrt{7})^3 = c\sqrt{c} + 7\sqrt{7}$$ Ответ: $c\sqrt{c} + 7\sqrt{7}$