Номер 9, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

9.Решение:

Для упрощения данного алгебраического выражения разложим числители и знаменатели дробей на множители с помощью формул сокращенного умножения:

• Сумма кубов в числителе первой дроби: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
• Разность квадратов в знаменателе первой дроби: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
• Квадрат разности в знаменателе второй дроби: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
• Многочлен $x^2 - x + 1$ представляет собой неполный квадрат разности и на линейные множители не раскладывается.

Заменим операцию деления умножением на обратную дробь и подставим полученные разложения:

$$\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - 2x + 1} = \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{(x - 1)^2}{x^2 - x + 1}$$

Запишем под одну общую дробную черту и сократим одинаковые множители:

$$\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{(x - 1)^2}{x - 1} = x - 1$$

Найдем значение полученного выражения при заданном значении $x = 10{,}5$:

$$x - 1 = 10{,}5 - 1 = 9{,}5$$

Ответ: $9{,}5$