Номер 15, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Пусть первая бригада изготавливала $x$ деталей в час ($x > 0$). Так как первая бригада выполнила весь объём работы в установленный срок, срок выполнения задания равен времени её работы.

Вторая бригада изготавливала на $2$ детали в час больше, то есть её производительность составляла $(x + 2)$ деталей в час. Обе бригады изготовили по $180$ деталей.

По условию задачи вторая бригада закончила работу на $3$ часа раньше первой. Составим уравнение:

$$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 2} = 3$$

Разделим обе части уравнения на $3$ для упрощения вычислений:

$$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 2} = 1$$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 2) \neq 0$:

$$\frac{60(x + 2) - 60x}{x(x + 2)} = 1$$

$$60x + 120 - 60x = x(x + 2)$$

$$120 = x^2 + 2x$$

$$x^2 + 2x - 120 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 = 22^2$$

$$x_1 = \frac{-2 + 22}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$$

$$x_2 = \frac{-2 - 22}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$$

Корень $x = -12$ не удовлетворяет условию задачи, так как производительность труда не может быть отрицательной величиной. Следовательно, производительность первой бригады равна $10$ деталей в час.

Теперь найдём время, за которое каждая из бригад выполнила задание:

• Время работы первой бригады: $$\frac{180}{10} = 18\text{ ч}$$
• Время работы второй бригады: $$18 - 3 = 15\text{ ч}\quad \left(\text{или } \frac{180}{10 + 2} = \frac{180}{12} = 15\text{ ч}\right)$$

Ответ: первая бригада выполнила задание за $18$ часов, вторая бригада — за $15$ часов.