Номер 12, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\frac{2x + 5}{x^2 + x} - \frac{2}{x} - \frac{3x}{x + 1} = 0$

Решение:

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2 + x = x(x + 1)$.

Область допустимых значений (ОДЗ):
$x \neq 0$, $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x + 1)$:

$$\frac{2x + 5 - 2(x + 1) - 3x \cdot x}{x(x + 1)} = 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2x + 5 - 2x - 2 - 3x^2 = 0$$

$$-3x^2 + 3 = 0$$

Разделим обе части уравнения на $-3$:

$$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = -1$$

С учетом ОДЗ корень $x = -1$ является посторонним, так как при нем знаменатель обращается в ноль.

Ответ: $1$

б) $\frac{x}{x - 3} + \frac{18}{x^2 - 9} = \frac{x}{x + 3}$

Решение:

Разложим знаменатель дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

ОДЗ: $x \neq 3$, $x \neq -3$.

Перенесем слагаемое из правой части в левую и приведем к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3)$:

$$\frac{x(x + 3) + 18 - x(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$x^2 + 3x + 18 - x^2 + 3x = 0$$

$$6x + 18 = 0$$

$$6x = -18 \implies x = -3$$

По ОДЗ $x \neq -3$, следовательно, полученный корень является посторонним. Уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет

в) $\frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5}$

Решение:

Преобразуем знаменатели дробей:
$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$
$25 - x^2 = -(x^2 - 25) = -(x - 5)(x + 5)$

Сменим знак перед второй дробью на плюс:
$$\frac{2}{(x + 5)^2} + \frac{10}{(x - 5)(x + 5)} - \frac{1}{x - 5} = 0$$

ОДЗ: $x \neq 5$, $x \neq -5$.

Общий знаменатель равен $(x + 5)^2(x - 5)$. Запишем числитель:

$$2(x - 5) + 10(x + 5) - 1(x + 5)^2 = 0$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$2x - 10 + 10x + 50 - (x^2 + 10x + 25) = 0$$

$$12x + 40 - x^2 - 10x - 25 = 0$$

$$-x^2 + 2x + 15 = 0$$

Умножим обе части на $-1$:

$$x^2 - 2x - 15 = 0$$

По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -15$
Отсюда $x_1 = 5$, $x_2 = -3$.

Корень $x = 5$ не удовлетворяет ОДЗ (знаменатель обращается в $0$), значит, он посторонний.

Ответ: $-3$

г) $\frac{15}{x^2 - 4x - 5} + \frac{9}{5x - x^2} = \frac{5}{x^2 - 1}$

Решение:

Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$ (корни по теореме Виета: $5$ и $-1$)
$5x - x^2 = -x(x - 5)$
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Вынесем минус из знаменателя второй дроби перед ней:

$$\frac{15}{(x - 5)(x + 1)} - \frac{9}{x(x - 5)} - \frac{5}{(x - 1)(x + 1)} = 0$$

ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 5$, $x \neq -1$, $x \neq 1$.

Общий знаменатель: $x(x - 5)(x + 1)(x - 1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числитель к нулю:

$$15x(x - 1) - 9(x + 1)(x - 1) - 5x(x - 5) = 0$$

Раскроем скобки, учитывая, что $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$:

$$15x^2 - 15x - 9(x^2 - 1) - 5x^2 + 25x = 0$$

$$15x^2 - 15x - 9x^2 + 9 - 5x^2 + 25x = 0$$

$$x^2 + 10x + 9 = 0$$

Найдем корни с помощью теоремы Виета:
$x_1 + x_2 = -10$
$x_1 \cdot x_2 = 9$
Отсюда $x_1 = -1$, $x_2 = -9$.

Корень $x = -1$ не входит в ОДЗ, так как знаменатель дроби при $x = -1$ равен нулю. Следовательно, он посторонний.

Ответ: $-9$