Номер 7, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант строго меньше нуля ($D < 0$).

а) $4x^2 - 2kx + k + 3 = 0$

Решение:

Определим коэффициенты уравнения:
$a = 4$, $b = -2k$, $c = k + 3$. Так как $a = 4 \ne 0$, уравнение при любых $k$ является квадратным.

Найдем дискриминант $D$ (или его четверть $D_1$):
$$D = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (k + 3) = 4k^2 - 16k - 48$$

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$:
$$4k^2 - 16k - 48 < 0$$

Разделим обе части неравенства на $4$:
$$k^2 - 4k - 12 < 0$$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $k^2 - 4k - 12 = 0$ по теореме Виета:
$\begin{cases} k_1 + k_2 = 4 \\ k_1 \cdot k_2 = -12 \end{cases} \implies k_1 = -2,\; k_2 = 6$.

Так как ветви параболы $y = k^2 - 4k - 12$ направлены вверх, выражение принимает отрицательные значения между корнями:
$$-2 < k < 6 \quad \text{или} \quad k \in (-2; 6)$$

Ответ: $k \in (-2; 6)$.

б) $x^2 - 2kx - k = 0$

Решение:

Определим коэффициенты уравнения:
$a = 1$, $b = -2k$, $c = -k$. Так как $a = 1 \ne 0$, уравнение всегда квадратное.

Найдем дискриминант $D$:
$$D = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 4k^2 + 4k$$

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$:
$$4k^2 + 4k < 0$$

Разложим левую часть на множители:
$$4k(k + 1) < 0$$

Разделим на $4$:
$$k(k + 1) < 0$$

Корни левой части: $k_1 = -1$ и $k_2 = 0$. Применяя метод интервалов, получаем промежуток, где выражение отрицательно:
$$-1 < k < 0 \quad \text{или} \quad k \in (-1; 0)$$

Ответ: $k \in (-1; 0)$.