Номер 11, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

11.Дано:
$\triangle ABC$ — равнобедренный ($AB = BC$);
$BD$ — высота, проведённая к основанию $AC$ ($BD \perp AC$);
$AC - BD = 6\text{ см}$;
$S_{ABC} = 108\text{ см}^2$.

Найти:
$AB$ — боковую сторону.

Решение:

1. Пусть высота $BD = h\text{ см}$. Так как основание больше высоты на $6\text{ см}$, то основание $AC = (h + 6)\text{ см}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$

Подставим известные значения: $$\frac{1}{2} \cdot (h + 6) \cdot h = 108$$ $$(h + 6) \cdot h = 216$$ $$h^2 + 6h - 216 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900 = 30^2$$ $$h_1 = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$h_2 = \frac{-6 - 30}{2} = -18$$

Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому $h = 12\text{ см}$ — высота $BD$.
Тогда основание $AC = 12 + 6 = 18\text{ см}$.

2. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Следовательно: $$AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9\text{ см}$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ ($\angle ADB = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $$AB^2 = AD^2 + BD^2$$ $$AB^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$ $$AB = \sqrt{225} = 15\text{ см}$$

Боковые стороны треугольника равны: $AB = BC = 15\text{ см}$.

Ответ: $15\text{ см}$.