Номер 13, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Для изображения решения каждого неравенства на координатной плоскости сначала построим соответствующую граничную линию, заданную уравнением, определим тип границы (сплошная для нестрогих неравенств, пунктирная — для строгих), а затем выберем подходящую полуплоскость или область с помощью пробной точки.

а) $2y + 2 > x$

Решение:
Выразим переменную $y$ через $x$:
$$2y > x - 2 \iff y > \frac{1}{2}x - 1$$ 1. Границей множества является прямая $y = \frac{1}{2}x - 1$. Так как неравенство строгое ($>$), прямую строим пунктирной линией.
2. Искомая область — это полуплоскость, расположенная строго выше построенной прямой.
Проверим контрольную точку $(0; 0)$: $2 \cdot 0 + 2 > 0 \implies 2 > 0$ — верно.

Ответ: открытая полуплоскость выше прямой $y = 0{,}5x - 1$.
Примеры двух пар значений $(x; y)$, удовлетворяющих неравенству: $(0; 0)$ и $(2; 2)$.

б) $yx \geqslant 8$

Решение:
Границей области служит гипербола $y = \frac{8}{x}$. Так как неравенство нестрогое ($\geqslant$), график строим сплошной линией.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$ ($x \neq 0$):
1. При $x > 0$: делим на $x$ без смены знака неравенства: $y \geqslant \frac{8}{x}$ — область, лежащая на ветви гиперболы и выше неё (в I координатной четверти).
2. При $x < 0$: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется: $y \leqslant \frac{8}{x}$ — область, лежащая на ветви гиперболы и ниже неё (в III координатной четверти).

Ответ: объединенная область в I четверти (выше и на гиперболе $y = \frac{8}{x}$) и в III четверти (ниже и на гиперболе $y = \frac{8}{x}$).
Примеры двух пар значений $(x; y)$, удовлетворяющих неравенству: $(2; 5)$ и $(-4; -3)$.

в) $y - x^2 < 2x - 2$

Решение:
Выразим переменную $y$:
$$y < x^2 + 2x - 2$$ 1. Границей является парабола $y = x^2 + 2x - 2$. Ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$), вершина находится в точке $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1$, $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 2 = -3$.
2. Так как неравенство строгое ($<$), график параболы изображается пунктирной линией.
3. Решением является область точек, лежащих строго под параболой (внешняя по отношению к «чаше» параболы область снизу).
Проверим точку $(0; -3)$: $-3 < 0^2 + 2 \cdot 0 - 2 \iff -3 < -2$ — верно.

Ответ: открытая область координатной плоскости, расположенная ниже параболы $y = x^2 + 2x - 2$.
Примеры двух пар значений $(x; y)$, удовлетворяющих неравенству: $(0; -3)$ и $(1; 0)$.

г) $5y - 5 < -x$

Решение:
Выразим $y$ через $x$:
$$5y < -x + 5 \iff y < -\frac{1}{5}x + 1$$ 1. Граничная линия — прямая $y = -0{,}2x + 1$. Неравенство строгое, поэтому прямая проводится пунктирной линией.
2. Знак «меньше» указывает на полуплоскость, расположенную строго ниже этой прямой.
Проверим точку $(0; 0)$: $5 \cdot 0 - 5 < -0 \iff -5 < 0$ — верно.

Ответ: открытая полуплоскость под прямой $y = -0{,}2x + 1$.
Примеры двух пар значений $(x; y)$, удовлетворяющих неравенству: $(0; 0)$ и $(1; -1)$.

д) $x^2 + y^2 < 4$

Решение:
1. Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.
2. Неравенство строгое ($<$), следовательно, окружность наносится пунктирной линией.
3. Знак «меньше» означает, что расстояние от начала координат до точек строго меньше радиуса. Искомой областью является внутренняя часть круга без самой границы (окружности).
Проверим центр $(0; 0)$: $0^2 + 0^2 = 0 < 4$ — верно.

Ответ: внутренность открытого круга с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $2$.
Примеры двух пар значений $(x; y)$, удовлетворяющих неравенству: $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

е) $x^2 + 2 \geqslant 4x - y$

Решение:
Перенесем слагаемые, выражая $y$:
$$y \geqslant -x^2 + 4x - 2$$ 1. Границей служит парабола $y = -x^2 + 4x - 2$. Ветви направлены вниз ($a = -1 < 0$), вершина параболы: $x_0 = -\frac{4}{2(-1)} = 2$, $y_0 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 2 = 2$.
2. Неравенство нестрогое ($\geqslant$), поэтому график параболы строится сплошной линией.
3. Множество решений — это сама парабола и вся область, лежащая выше неё.
Проверим точку вершины $(2; 2)$: $2^2 + 2 \geqslant 4 \cdot 2 - 2 \iff 6 \geqslant 6$ — верно; проверим точку $(0; 0)$: $0^2 + 2 \geqslant 4 \cdot 0 - 0 \iff 2 \geqslant 0$ — верно.

Ответ: парабола $y = -x^2 + 4x - 2$ и область, лежащая выше неё.
Примеры двух пар значений $(x; y)$, удовлетворяющих неравенству: $(0; 0)$ и $(2; 2)$.