Номер 12, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а)Функция:

$$y = \begin{cases} x^2 - 1, & -3 \leqslant x \leqslant 2, \\ 1 + x, & 2 < x \leqslant 4 \end{cases}$$

Построение графика:

• 1-я часть: парабола $y = x^2 - 1$ на отрезке $[-3; 2]$.
  Ветви направлены вверх, вершина находится в точке $(0; -1)$.
  Найдём координаты ключевых точек:
  • при $x = -3$: $y = (-3)^2 - 1 = 8$ — точка $(-3; 8)$ (закрашенная);
  • при $x = 0$: $y = -1$ — вершина $(0; -1)$;
  • при $x = 2$: $y = 2^2 - 1 = 3$ — точка $(2; 3)$ (закрашенная).
  Множество значений первой части: $[-1; 8]$.
• 2-я часть: луч прямой $y = 1 + x$ на полуинтервале $(2; 4]$.
  Найдём граничные точки:
  • при $x = 2$: $y = 1 + 2 = 3$ — точка $(2; 3)$ совпадает с концом параболы, график непрерывен;
  • при $x = 4$: $y = 1 + 4 = 5$ — точка $(4; 5)$ (закрашенная).
  Множество значений второй части: $(3; 5]$.

Ответ: график представляет собой непрерывную линию, состоящую из дуги параболы и отрезка прямой. Множество значений функции: $E(y) = [-1; 8]$.

б)Функция:

$$y = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & -6 \leqslant x \leqslant -1, \\ 5 - x, & -1 < x \leqslant 6 \end{cases}$$

Построение графика:

• 1-я часть: ветвь гиперболы $y = -\frac{6}{x}$ на отрезке $[-6; -1]$.
  Функция возрастает на этом промежутке:
  • при $x = -6$: $y = -\frac{6}{-6} = 1$ — точка $(-6; 1)$ (закрашенная);
  • при $x = -3$: $y = -\frac{6}{-3} = 2$;
  • при $x = -2$: $y = -\frac{6}{-2} = 3$;
  • при $x = -1$: $y = -\frac{6}{-1} = 6$ — точка $(-1; 6)$ (закрашенная).
  Множество значений первой части: $[1; 6]$.
• 2-я часть: отрезок прямой $y = 5 - x$ на полуинтервале $(-1; 6]$.
  Функция убывает:
  • при $x = -1$: $y = 5 - (-1) = 6$ — точка $(-1; 6)$ совпадает с концом гиперболы;
  • при $x = 6$: $y = 5 - 6 = -1$ — точка $(6; -1)$ (закрашенная).
  Множество значений второй части: $[-1; 6)$.

Ответ: график непрерывен и состоит из части гиперболы и отрезка прямой. Множество значений функции: $E(y) = [-1; 6]$.

в)Функция:

$$y = \begin{cases} x + 6, & -5 \leqslant x < -3, \\ x^2 + 2x, & -3 \leqslant x \leqslant -1, \\ x^3, & -1 < x \leqslant 2 \end{cases}$$

Построение графика:

• 1-я часть: отрезок прямой $y = x + 6$ при $x \in [-5; -3)$.
  • при $x = -5$: $y = -5 + 6 = 1$ — точка $(-5; 1)$ (закрашенная);
  • при $x = -3$: $y = -3 + 6 = 3$ — точка $(-3; 3)$ (выколотая).
  Множество значений: $[1; 3)$.
• 2-я часть: часть параболы $y = x^2 + 2x$ на отрезке $[-3; -1]$.
  Координата вершины: $x_в = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$, тогда $y_в = (-1)^2 + 2(-1) = -1$.
  • при $x = -3$: $y = (-3)^2 + 2(-3) = 3$ — точка $(-3; 3)$ (закрашивает выколотую точку);
  • при $x = -1$: $y = -1$ — вершина $(-1; -1)$ (закрашенная).
  Множество значений: $[-1; 3]$.
• 3-я часть: часть кубической параболы $y = x^3$ на полуинтервале $(-1; 2]$.
  • при $x = -1$: $y = (-1)^3 = -1$ — совпадает с концом параболы $(-1; -1)$;
  • при $x = 0$: $y = 0$;
  • при $x = 1$: $y = 1$;
  • при $x = 2$: $y = 2^3 = 8$ — точка $(2; 8)$ (закрашенная).
  Множество значений: $(-1; 8]$.

Ответ: график представляет собой сплошную непрерывную линию из трёх фрагментов. Множество значений функции: $E(y) = [-1; 8]$.

г)Функция:

$$y = \begin{cases} 1, & -5 \leqslant x < -3, \\ -0,5x - 0,5, & -3 \leqslant x \leqslant 1, \\ -x^2, & 1 < x \leqslant 3 \end{cases}$$

Построение графика:

• 1-я часть: горизонтальный отрезок прямой $y = 1$ при $x \in [-5; -3)$.
  • начало в точке $(-5; 1)$ (закрашенная);
  • конец в точке $(-3; 1)$ (выколотая).
  Множество значений: $\{1\}$.
• 2-я часть: отрезок прямой $y = -0,5x - 0,5$ на отрезке $[-3; 1]$.
  • при $x = -3$: $y = -0,5(-3) - 0,5 = 1$ — точка $(-3; 1)$ (закрашивает выколотую точку);
  • при $x = 1$: $y = -0,5(1) - 0,5 = -1$ — точка $(1; -1)$ (закрашенная).
  Множество значений: $[-1; 1]$.
• 3-я часть: дуга параболы $y = -x^2$ на полуинтервале $(1; 3]$.
  • при $x = 1$: $y = -(1)^2 = -1$ — точка $(1; -1)$ стыкуется с концом отрезка;
  • при $x = 2$: $y = -(2)^2 = -4$;
  • при $x = 3$: $y = -(3)^2 = -9$ — точка $(3; -9)$ (закрашенная).
  Множество значений: $[-9; -1)$.

Ответ: график непрерывен на всей области определения. Множество значений функции: $E(y) = [-9; 1]$.