номер 2, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

2.Доказательство:

Проведём доказательство методом от противного.

Предположим, что дробь $\frac{a}{b}$ сократима. Это означает, что числа $a$ и $b$ имеют общий делитель $d > 1$ (где $d \in \mathbb{N}$).

Тогда числа $a$ и $b$ можно представить в виде:

$$a = d \cdot m, \quad b = d \cdot n,$$

где $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $m > n$ (так как по условию $a > b$).

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби $\frac{a-b}{a+b}$:

• Числитель: $a - b = d \cdot m - d \cdot n = d(m - n)$;
• Знаменатель: $a + b = d \cdot m + d \cdot n = d(m + n)$.

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$$\frac{a - b}{a + b} = \frac{d(m - n)}{d(m + n)}$$

Так как $d > 1$, то и числитель $a - b$, и знаменатель $a + b$ делятся нацело на $d$. Следовательно, дробь $\frac{a - b}{a + b}$ можно сократить на $d$, то есть она является сократимой.

Однако это противоречит условию задачи, согласно которому дробь $\frac{a - b}{a + b}$ несократима.

Полученное противоречие показывает, что наше предположение было неверным. Следовательно, числа $a$ и $b$ не имеют общих делителей больше $1$, а значит, дробь $\frac{a}{b}$ также несократима, что и требовалось доказать.