Номер 1, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

1.Решение:

Пусть искомое двузначное число имеет цифру десятков $x$ и цифру единиц $y$.

Так как число двузначное, $x$ может принимать значения от $1$ до $9$ ($x \in \{1, 2, \dots, 9\}$), а $y$ — от $0$ до $9$ ($y \in \{0, 1, \dots, 9\}$).

Само число можно записать в виде $10x + y$, а произведение его цифр равно $xy$.

По условию задачи двузначное число больше произведения своих цифр на $12$. Составим уравнение:

$$10x + y - xy = 12$$

Преобразуем полученное уравнение методом группировки:

$$10x - xy + y - 10 = 12 - 10$$

$$x(10 - y) - (10 - y) = 2$$

$$(x - 1)(10 - y) = 2$$

Поскольку $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа, множители $(x - 1)$ и $(10 - y)$ также являются целыми числами. При этом $x \ge 1$, значит $x - 1 \ge 0$. Произведение равно положительному числу $2$, следовательно, оба множителя должны быть натуральными делителями числа $2$.

Число $2$ можно представить в виде произведения двух натуральных чисел только двумя способами: $1 \cdot 2$ или $2 \cdot 1$. Рассмотрим оба случая:

1 случай:
$\begin{cases} x - 1 = 1 \\ 10 - y = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2 \\ y = 8 \end{cases}$
Получаем число $28$.
Проверка: $28 - 2 \cdot 8 = 28 - 16 = 12$ (верно).

2 случай:
$\begin{cases} x - 1 = 2 \\ 10 - y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3 \\ y = 9 \end{cases}$
Получаем число $39$.
Проверка: $39 - 3 \cdot 9 = 39 - 27 = 12$ (верно).

Ответ: $28$ или $39$.