номер 1, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

1.Решение:

Внимательно проанализируем многочлен. В школьном курсе алгебры 9 класса задачи такого типа предполагают разложение на множители с целыми коэффициентами с помощью метода группировки и формул сокращенного умножения.

Многочлен в точности в том виде, как напечатано ($x^6 - x^5 + x^2 - x + 1$), является неприводимым над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ (его невозможно разложить на множители с целыми или рациональными коэффициентами). Следовательно, в записи условия допущена типичная типографская опечатка (либо нечетко пропечатана цифра): в третьем слагаемом показатель степени равен $3$, а не $2$, то есть исходный многочлен имеет вид:

$$x^6 - x^5 + x^3 - x + 1$$

Разложим данный многочлен на множители по шагам:

Шаг 1. Сгруппируем слагаемые удобным образом:

$$(x^6 + 1) - (x^5 - x^3 + x)$$

Шаг 2. Преобразуем первую группу $(x^6 + 1)$ по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, представив $x^6$ как $(x^2)^3$:

$$x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1^3 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$$

Шаг 3. Во второй группе вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$$x^5 - x^3 + x = x(x^4 - x^2 + 1)$$

Шаг 4. Подставим полученные выражения в исходную разность:

$$(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1) - x(x^4 - x^2 + 1)$$

Шаг 5. Вынесем общий многочлен $(x^4 - x^2 + 1)$ за скобки:

$$(x^4 - x^2 + 1)(x^2 + 1 - x) = (x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1)$$

Примечание: множитель $(x^4 - x^2 + 1)$ над множеством рациональных чисел дальше не раскладывается (над действительными числами его можно разложить методом выделения полного квадрата как $(x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$, однако в 9 классе стандартным считается разложение с рациональными коэффициентами).

Ответ: $(x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1)$ (с учетом исправления опечатки в условии: $x^2 \to x^3$).