Номер 5, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Доказательство:

Число при делении на $18$ даёт остаток $1$ тогда и только тогда, когда разность этого числа и единицы делится на $18$ без остатка. Составим разность $a_n - 1$:

$$a_n - 1 = 7^n + 12n - 1 = (7^n - 1) + 12n$$

Используем формулу разности $n$-х степеней для выражения $7^n - 1$:

$$7^n - 1 = (7 - 1)(7^{n-1} + 7^{n-2} + \dots + 7 + 1) = 6(7^{n-1} + 7^{n-2} + \dots + 7 + 1)$$

Подставим полученное выражение обратно в формулу разности $a_n - 1$ и вынесем общий множитель $6$ за скобки:

$$a_n - 1 = 6(7^{n-1} + 7^{n-2} + \dots + 7 + 1) + 12n = 6 \cdot \left((7^{n-1} + 7^{n-2} + \dots + 7 + 1) + 2n\right)$$

Чтобы всё произведение делилось на $18$, выражение внутри больших скобок должно делиться на $3$ (так как $18 = 6 \cdot 3$). Исследуем его делимость на $3$:

• Число $7$ можно представить как $6 + 1 = 3 \cdot 2 + 1$, то есть при делении на $3$ оно даёт остаток $1$.
• Следовательно, любая натуральная степень числа $7$ ($7^k$) также даёт остаток $1$ при делении на $3$.
• В сумме $(7^{n-1} + 7^{n-2} + \dots + 7 + 1)$ ровно $n$ слагаемых, каждое из которых даёт остаток $1$. Значит, вся эта сумма при делении на $3$ даёт такой же остаток, как и число $n$.
• Прибавим к этой сумме слагаемое $2n$. Получим сумму остатков: $n + 2n = 3n$.

Так как число $3n$ делится нацело на $3$ при любом натуральном $n$, то и выражение внутри больших скобок делится на $3$:

$$\left((7^{n-1} + 7^{n-2} + \dots + 7 + 1) + 2n\right) = 3k, \quad \text{где } k \in \mathbb{N}$$

Тогда разность принимает вид:

$$a_n - 1 = 6 \cdot 3k = 18k$$

Так как $a_n - 1$ делится на $18$ без остатка при любом натуральном $n$, то при делении любого члена последовательности $a_n$ на $18$ в остатке действительно получается $1$, что и требовалось доказать.