номер 7, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Способ 1 (выделение полного куба)

Попробуем представить подкоренное выражение $20 + 14\sqrt{2}$ в виде куба двучлена $(a + b\sqrt{2})^3$, где $a$ и $b$ — целые числа.

Применим формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$$(a + b\sqrt{2})^3 = a^3 + 3a^2(b\sqrt{2}) + 3a(b\sqrt{2})^2 + (b\sqrt{2})^3 = a^3 + 3a^2b\sqrt{2} + 6ab^2 + 2\sqrt{2}b^3$$

Сгруппируем рациональную и иррациональную части: $$(a + b\sqrt{2})^3 = (a^3 + 6ab^2) + (3a^2b + 2b^3)\sqrt{2}$$

Приравняем полученное выражение к $20 + 14\sqrt{2}$:

• $a(a^2 + 6b^2) = 20$
• $b(3a^2 + 2b^2) = 14$

Подберем целые значения $a$ и $b$. Число $a$ должно быть делителем числа $20$. Пусть $a = 2$, тогда:

$$2(2^2 + 6b^2) = 20 \implies 4 + 6b^2 = 10 \implies 6b^2 = 6 \implies b^2 = 1 \implies b = 1$$

Проверим второе равенство при $a = 2$ и $b = 1$: $$1 \cdot (3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 1^2) = 12 + 2 = 14$$ Равенство верно, следовательно: $$20 + 14\sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})^3$$

Аналогично для разности: $$(2 - \sqrt{2})^3 = 20 - 14\sqrt{2}$$

Подставим полученные выражения в исходный пример:

$$\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{(2 - \sqrt{2})^3}$$

Так как $\sqrt[3]{A^3} = A$ для любых действительных чисел: $$(2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} = 4$$

Способ 2 (через составление уравнения)

Обозначим всё искомое выражение через переменную $x$:

$$x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$$

Возведем обе части равенства в куб, используя формулу $(u + v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u + v)$:

$$x^3 = \left(\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}\right)^3 + \left(\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}\right)^3 + 3\sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2})} \cdot x$$

Упростим сумму кубов:

$$(20 + 14\sqrt{2}) + (20 - 14\sqrt{2}) = 40$$

Вычислим произведение под кубическим корнем по формуле разности квадратов:

$$(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2}) = 20^2 - (14\sqrt{2})^2 = 400 - 196 \cdot 2 = 400 - 392 = 8$$

Тогда корень из произведения равен:

$$\sqrt[3]{8} = 2$$

Подставим все найденные значения обратно в кубическое уравнение:

$$x^3 = 40 + 3 \cdot 2 \cdot x$$

$$x^3 - 6x - 40 = 0$$

Среди делителей свободного члена ($\pm 1, \pm 2, \pm 4, \dots$) найдем корень уравнения. При $x = 4$ получаем:

$$4^3 - 6 \cdot 4 - 40 = 64 - 24 - 40 = 0$$

Разложим многочлен на множители, выделив $(x - 4)$:

$$x^3 - 4x^2 + 4x^2 - 16x + 10x - 40 = 0$$

$$x^2(x - 4) + 4x(x - 4) + 10(x - 4) = 0$$

$$(x - 4)(x^2 + 4x + 10) = 0$$

Уравнение $x^2 + 4x + 10 = 0$ не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен:

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 16 - 40 = -24 < 0$$

Значит, единственным действительным значением является $x = 4$.

Ответ: $4$