номер 8, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители, применив формулу разности квадратов:
$$(x - y)(x + y) = 21$$

По условию задачи, $x$ и $y$ — натуральные числа ($x \in \mathbb{N}, y \in \mathbb{N}$). Из этого следует, что их сумма заведомо положительна: $x + y > 0$. Так как произведение $(x - y)(x + y) = 21 > 0$, разность $x - y$ также обязана быть натуральным числом. При этом очевидно, что сумма двух натуральных чисел больше их разности, то есть $x + y > x - y$.

Представим число $21$ в виде произведения двух натуральных сомножителей. Существует всего два таких разложения:
$$21 = 1 \cdot 21$$ $$21 = 3 \cdot 7$$

С учетом условия $x + y > x - y$, рассмотрим две возможные системы уравнений:

1. Множители равны $1$ и $21$:

$$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 21 \end{cases}$$ Сложим оба уравнения системы:
$$(x - y) + (x + y) = 1 + 21$$ $$2x = 22 \implies x = 11$$ Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение:
$$11 + y = 21 \implies y = 10$$ Оба числа натуральные, значит, пара $(11; 10)$ является решением.

2. Множители равны $3$ и $7$:

$$\begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 7 \end{cases}$$ Сложим уравнения системы:
$$(x - y) + (x + y) = 3 + 7$$ $$2x = 10 \implies x = 5$$ Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение:
$$5 + y = 7 \implies y = 2$$ Оба числа натуральные, значит, пара $(5; 2)$ также является решением.

Ответ: $x = 11$, $y = 10$ или $x = 5$, $y = 2$.