номер 4, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} = \sqrt[4]{x}$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

• $x \ge 0$ (так как присутствуют корни $\sqrt{x}$ и $\sqrt[4]{x}$);
• $x - \sqrt{x} \ge 0 \implies \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \ge 0 \implies \sqrt{x} = 0$ или $\sqrt{x} \ge 1 \implies x = 0$ или $x \ge 1$.

Проверим значение $x = 0$ непосредственной подстановкой в уравнение:
$\sqrt{0 + 0} - \sqrt{0 - 0} = \sqrt[4]{0} \implies 0 = 0$ — верно. Значит, $x = 0$ является корнем.

Рассмотрим случай $x \ge 1$. Так как $x > 0$, разделим обе части уравнения на $\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}$:

$$\frac{\sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{\sqrt{x}}} - \frac{\sqrt{x - \sqrt{x}}}{\sqrt{\sqrt{x}}} = 1$$

$$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}} - \sqrt{\frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}} = 1$$

$$\sqrt{\sqrt{x} + 1} - \sqrt{\sqrt{x} - 1} = 1$$

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 1$:

$$\sqrt{t + 1} - \sqrt{t - 1} = 1$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(t + 1) - 2\sqrt{(t + 1)(t - 1)} + (t - 1) = 1$$

$$2t - 2\sqrt{t^2 - 1} = 1$$

$$2t - 1 = 2\sqrt{t^2 - 1}$$

При $t \ge 1$ выражение $2t - 1 > 0$, поэтому снова возводим обе части в квадрат:

$$(2t - 1)^2 = 4(t^2 - 1)$$

$$4t^2 - 4t + 1 = 4t^2 - 4$$

$$-4t = -5 \implies t = \frac{5}{4}$$

Возвращаемся к переменной $x$:

$$\sqrt{x} = \frac{5}{4} \implies x = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$$

Полученное значение $x = \frac{25}{16} = 1{,}5625$ удовлетворяет условию $x \ge 1$.

Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 = \frac{25}{16}$.

б) $\sqrt[3]{(1 + x)^2} - \sqrt[3]{(1 - x)^2} = \sqrt[3]{1 - x^2}$

Решение:

Корень нечетной степени определен для любых действительных чисел, поэтому ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Представим подкоренное выражение в правой части как разность квадратов: $1 - x^2 = (1 + x)(1 - x)$:

$$\sqrt[3]{(1 + x)^2} - \sqrt[3]{(1 - x)^2} = \sqrt[3]{(1 + x)(1 - x)}$$

Заметим, что если $1 - x = 0$, то есть $x = 1$, равенство принимает вид $\sqrt[3]{4} - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $x \ne 1$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\sqrt[3]{(1 - x)^2} \ne 0$:

$$\frac{\sqrt[3]{(1 + x)^2}}{\sqrt[3]{(1 - x)^2}} - 1 = \frac{\sqrt[3]{(1 + x)(1 - x)}}{\sqrt[3]{(1 - x)^2}}$$

$$\left(\sqrt[3]{\frac{1 + x}{1 - x}}\right)^2 - \sqrt[3]{\frac{1 + x}{1 - x}} - 1 = 0$$

Пусть $u = \sqrt[3]{\frac{1 + x}{1 - x}}$, тогда получаем квадратное уравнение:

$$u^2 - u - 1 = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$

$$u_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Выразим $x$ через $u$:

$$\sqrt[3]{\frac{1 + x}{1 - x}} = u \implies \frac{1 + x}{1 - x} = u^3$$

$$1 + x = u^3(1 - x) \implies x(u^3 + 1) = u^3 - 1 \implies x = \frac{u^3 - 1}{u^3 + 1}$$

Так как $u$ — корень уравнения $u^2 - u - 1 = 0$, то $u^2 = u + 1$.
Умножив на $u$, получим: $u^3 = u^2 + u = (u + 1) + u = 2u + 1$.
Подставим это выражение в формулу для $x$:

$$x = \frac{(2u + 1) - 1}{(2u + 1) + 1} = \frac{2u}{2u + 2} = \frac{u}{u + 1}$$

Поскольку $u + 1 = u^2$, упростим дробь:

$$x = \frac{u}{u^2} = \frac{1}{u}$$

Теперь подставим найденные значения $u$:

1) При $u_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$:

$$x_1 = \frac{2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$$

2) При $u_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$:

$$x_2 = \frac{2}{1 - \sqrt{5}} = \frac{2(1 + \sqrt{5})}{(1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})} = \frac{2(1 + \sqrt{5})}{1 - 5} = -\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$$

Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$; $x_2 = -\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$.