Номер 14, страница 20, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Квантовая физика. Глава VI. Атомное ядро и ядерная энергетика. Параграф 25. Атомное ядро - номер 14, страница 20.

Условие.

14. Докажите, что через промежуток времени $t=nT$ останется $N_0/2^n$ атомов.

Решение.

Дано:

$t = nT$ - промежуток времени, где $\text{n}$ - целое число

$N_0$ - начальное количество атомов

$\text{T}$ - период полураспада

Найти:

Доказать, что количество оставшихся атомов $\text{N}$ через время $\text{t}$ равно $\frac{N_0}{2^n}$.

Решение:

Период полураспада $\text{T}$ по определению — это промежуток времени, в течение которого число нераспавшихся радиоактивных атомов в образце уменьшается в 2 раза.

Рассмотрим, как будет меняться количество атомов с течением времени, если в начальный момент $t=0$ их было $N_0$.

По прошествии одного периода полураспада ($t=T$), количество атомов станет в два раза меньше начального:

$N_1 = \frac{N_0}{2} = \frac{N_0}{2^1}$

По прошествии еще одного периода полураспада (то есть, через время $t=2T$ от начального момента), количество атомов, оставшихся после первого периода, снова уменьшится вдвое:

$N_2 = \frac{N_1}{2} = \frac{N_0/2}{2} = \frac{N_0}{4} = \frac{N_0}{2^2}$

Аналогично, через три периода полураспада ($t=3T$), количество атомов составит:

$N_3 = \frac{N_2}{2} = \frac{N_0/4}{2} = \frac{N_0}{8} = \frac{N_0}{2^3}$

Из этой закономерности видно, что после каждого прошедшего периода полураспада $\text{T}$ начальное количество атомов $N_0$ делится на 2. Следовательно, через $\text{n}$ периодов полураспада, то есть через промежуток времени $t=nT$, количество нераспавшихся атомов $\text{N}$ будет равно:

$N = \frac{N_0}{2^n}$

Этот же результат следует из общего закона радиоактивного распада, который записывается в виде:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

Подставим в эту формулу заданное время $t=nT$:

$N(nT) = N_0 \cdot 2^{-(nT)/T} = N_0 \cdot 2^{-n}$

Что эквивалентно записи:

$N = \frac{N_0}{2^n}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ:

Доказано, что через промежуток времени $t=nT$ останется $\frac{N_0}{2^n}$ атомов.