Номер 11, страница 45, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Строение и эволюция вселенной. Глава VII. Солнечная система. Параграф 28. Планеты, астероиды и кометы - номер 11, страница 45.

Условие.

11. Два тела свободно падают с высоты 10 м: первое — вблизи поверхности Земли, второе — вблизи поверхности Марса. Какое тело будет падать дольше? Насколько дольше? Масса Марса 6,4 $\cdot$ $10^{23}$ кг, а радиус Марса 3400 км.

Решение.

Дано:

$h = 10 \text{ м}$

$M_M = 6,4 \cdot 10^{23} \text{ кг}$ (масса Марса)

$R_M = 3400 \text{ км}$ (радиус Марса)

Для Земли примем стандартное значение ускорения свободного падения $g_З \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$.

$R_M = 3400 \text{ км} = 3400 \cdot 10^3 \text{ м} = 3,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Какое тело будет падать дольше и на сколько дольше ($\Delta t$)?

Решение:

Время свободного падения тела с высоты $\text{h}$ без начальной скорости находится по формуле, следующей из уравнения равноускоренного движения:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Отсюда можем выразить время падения $\text{t}$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Из формулы видно, что время падения обратно пропорционально квадратному корню из ускорения свободного падения ($\text{g}$). Следовательно, чем меньше ускорение свободного падения, тем больше времени займет падение.

1. Сначала найдем время падения тела на Земле ($t_З$):

$t_З = \sqrt{\frac{2h}{g_З}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{2,041} \text{ с} \approx 1,43 \text{ с}$

2. Далее вычислим ускорение свободного падения на поверхности Марса ($g_M$), используя закон всемирного тяготения:

$g_M = G\frac{M_M}{R_M^2}$

Подставим известные значения в СИ:

$g_M = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{6,4 \cdot 10^{23} \text{ кг}}{(3,4 \cdot 10^6 \text{ м})^2} = \frac{4,2688 \cdot 10^{13}}{1,156 \cdot 10^{13}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 3,69 \text{ м/с}^2$

3. Теперь, зная $g_M$, можем найти время падения тела на Марсе ($t_M$):

$t_M = \sqrt{\frac{2h}{g_M}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \text{ м}}{3,69 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{5,42} \text{ с} \approx 2,33 \text{ с}$

4. Сравнив полученные значения времени $t_M \approx 2,33 \text{ с}$ и $t_З \approx 1,43 \text{ с}$, видим, что $t_M > t_З$.

Какое тело будет падать дольше?

Ускорение свободного падения на Марсе ($g_M \approx 3,69 \text{ м/с}^2$) значительно меньше, чем на Земле ($g_З \approx 9,8 \text{ м/с}^2$). Так как время падения обратно зависит от ускорения, тело на Марсе будет падать дольше.

Ответ: Тело будет падать дольше вблизи поверхности Марса.

Насколько дольше?

Чтобы найти, на сколько дольше тело будет падать на Марсе, вычтем из времени падения на Марсе время падения на Земле:

$\Delta t = t_M - t_З \approx 2,33 \text{ с} - 1,43 \text{ с} = 0,9 \text{ с}$

Ответ: Тело на Марсе будет падать примерно на 0,9 с дольше.