Номер 2, страница 10 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Глава 1. Кинематика. Параграф 1. Наука о движении тел. Темы докладов - номер 2, страница 10.

Условие.

2. Система координат для атома.

Решение.

2. Система координат для атома.

Для описания состояния электрона в атоме, особенно в простейшем случае атома водорода или водородоподобных ионов, наиболее удобной является сферическая система координат. Выбор этой системы обусловлен симметрией задачи.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром (кулоновский потенциал) является центрально-симметричной, то есть зависит только от расстояния $\text{r}$ между электроном и ядром:

$V(r) = - \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$

где $\text{Z}$ – зарядовое число ядра, $\text{e}$ – элементарный заряд, а $\epsilon_0$ – электрическая постоянная. Такая зависимость потенциала от одной лишь радиальной координаты делает сферическую систему координат естественным выбором для решения уравнения Шрёдингера.

Сферическая система координат определяет положение точки в трехмерном пространстве тремя числами: $\text{r}$ – радиальное расстояние от начала координат (в данном случае, от ядра) до точки, $\theta$ – полярный угол (зенитный угол), который является углом между положительным направлением оси $\text{z}$ и радиус-вектором точки, и $\phi$ – азимутальный угол, который является углом между проекцией радиус-вектора на плоскость $\text{xy}$ и положительным направлением оси $\text{x}$. Диапазоны изменения координат: $r \in [0, \infty)$, $\theta \in [0, \pi]$, $\phi \in [0, 2\pi)$.

Связь между сферическими $(r, \theta, \phi)$ и декартовыми $(x, y, z)$ координатами, если начало координат совпадает, выражается следующими формулами:

$x = r \sin\theta \cos\phi$

$y = r \sin\theta \sin\phi$

$z = r \cos\theta$

Главное преимущество использования сферических координат в атомной физике заключается в том, что они позволяют в стационарном уравнении Шрёдингера для атома разделить переменные. Волновую функцию $\psi(r, \theta, \phi)$, описывающую состояние электрона, можно представить в виде произведения двух функций: радиальной $R(r)$, зависящей только от расстояния $\text{r}$, и угловой $Y_{lm}(\theta, \phi)$, зависящей от углов $\theta$ и $\phi$:

$\psi(r, \theta, \phi) = R(r)Y_{lm}(\theta, \phi)$

Угловая часть $Y_{lm}(\theta, \phi)$ называется сферической гармоникой. Такое разделение сводит одно сложное уравнение в частных производных к трем более простым обыкновенным дифференциальным уравнениям. Решение этих уравнений естественным образом приводит к появлению трех квантовых чисел, характеризующих стационарные состояния электрона в атоме: главного квантового числа $\text{n}$, орбитального (азимутального) квантового числа $\text{l}$ и магнитного квантового числа $m_l$.

Таким образом, сферическая система координат является наиболее адекватной для описания атома, так как она отражает внутреннюю симметрию атомной системы и значительно упрощает математическое решение квантово-механических задач.

Ответ: Наиболее удобной системой координат для описания атома является сферическая система координат $(r, \theta, \phi)$, поскольку потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром обладает сферической симметрией (зависит только от расстояния до ядра). Это позволяет упростить решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных.