Теоретическое исследование, страница 258 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 10. Строение Вселенной. Элементы научной картины мира. Параграф 51. Геоцентрическая и гелиоцентрическая системы мира. Законы Кеплера. Вопросы - страница 258.

Условие.

Теоретическое исследование

На рис. 243 изображена окружность радиуса Земли $R_3$. Линейное расстояние $\text{l}$ (в километрах) между двумя пунктами A и B, находящимися на земной поверхности и расположенными на одном географическом меридиане, можно измерить в градусной мере $\alpha$.

а) Принимая Землю за шар, найдите формулу определения радиуса Земли.

б) Найдите массу Земли, если её плотность принять равной $\rho$.

Рис. 243

Решение.

Дано:

$R_З$ - радиус Земли

$\text{l}$ - линейное расстояние между точками А и В на поверхности (длина дуги), км

$\alpha$ - центральный угол между радиусами, проведенными к точкам А и В, в градусах

$\rho$ - плотность Земли

Перевод в систему СИ:

Расстояние $\text{l}$ из километров в метры: $l [м] = l [км] \cdot 1000$

Угол $\alpha$ из градусов в радианы: $\alpha [рад] = \alpha [^{\circ}] \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}$

Найти:

а) Формулу для определения радиуса Земли $R_З$.

б) Формулу для определения массы Земли $M_З$.

Решение:

а) Принимая Землю за шар, мы можем составить пропорцию: отношение длины дуги $\text{l}$ к длине всей окружности Земли $\text{C}$ равно отношению центрального угла $\alpha$, соответствующего этой дуге, к полному углу в $360^{\circ}$.

Длина окружности Земли (экватора или меридиана) вычисляется по формуле $C = 2\pi R_З$.

Составим пропорцию:

$\frac{l}{C} = \frac{\alpha}{360^{\circ}}$

Подставим формулу для длины окружности:

$\frac{l}{2\pi R_З} = \frac{\alpha}{360^{\circ}}$

Выразим из этой пропорции радиус Земли $R_З$:

$R_З = \frac{l \cdot 360^{\circ}}{2\pi \alpha} = \frac{180^{\circ} \cdot l}{\pi \alpha}$

В этой формуле угол $\alpha$ подставляется в градусах.

Ответ: $R_З = \frac{180^{\circ} \cdot l}{\pi \alpha}$

б) Массу Земли $M_З$ можно найти, зная её плотность $\rho$ и объём $V_З$, по формуле $M_З = \rho \cdot V_З$.

Поскольку мы принимаем Землю за шар, её объём вычисляется по формуле:

$V_З = \frac{4}{3}\pi R_З^3$

Подставим это выражение в формулу для массы:

$M_З = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_З^3$

Теперь подставим в полученное выражение формулу для радиуса Земли $R_З$ из пункта а):

$M_З = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi \left(\frac{180^{\circ} \cdot l}{\pi \alpha}\right)^3$

Упростим выражение:

$M_З = \frac{4}{3}\pi \rho \frac{(180^{\circ})^3 l^3}{\pi^3 \alpha^3} = \frac{4 \rho (180^{\circ})^3 l^3}{3 \pi^2 \alpha^3}$

Ответ: $M_З = \frac{4 \rho (180^{\circ})^3 l^3}{3 \pi^2 \alpha^3}$