Номер 4, страница 259 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 10. Строение Вселенной. Элементы научной картины мира. Параграф 51. Геоцентрическая и гелиоцентрическая системы мира. Законы Кеплера. Вопросы - номер 4, страница 259.

Условие.

4. Какова связь между радиусом орбиты и периодом вращения планет?

Решение.

Решение

Связь между радиусом орбиты и периодом обращения планеты описывается третьим законом Кеплера. Этот закон был эмпирически установлен Иоганном Кеплером в начале XVII века и позже теоретически обоснован Исааком Ньютоном на основе закона всемирного тяготения.

Третий закон Кеплера гласит: квадраты периодов обращения планет вокруг центрального тела (например, Солнца) относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит. В частном, но часто используемом для упрощения случае круговой орбиты, большая полуось равна радиусу орбиты $\text{r}$. Тогда закон можно сформулировать так: квадрат периода обращения планеты $\text{T}$ прямо пропорционален кубу радиуса ее орбиты $\text{r}$.

В виде отношения для двух планет, вращающихся вокруг одного и того же центрального тела, закон записывается так:

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$

где $T_1$ и $r_1$ — период обращения и радиус орбиты первой планеты, а $T_2$ и $r_2$ — те же величины для второй планеты.

Физическое обоснование этой связи дает закон всемирного тяготения. Сила гравитационного притяжения $F_g$ сообщает планете центростремительное ускорение $a_c$, удерживая ее на орбите. Приравнивая гравитационную и центростремительную силы ($F_g = m a_c$), можно получить более точную формулировку закона:

$T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{GM}\right)r^3$

В этой формуле:

$\text{T}$ – сидерический период обращения планеты (время полного оборота вокруг центрального тела);

$\text{r}$ – радиус круговой орбиты;

$\text{G}$ – гравитационная постоянная, равная примерно $6.674 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$;

$\text{M}$ – масса центрального тела (например, масса Солнца).

Из формулы следует, что отношение $\frac{T^2}{r^3}$ есть величина постоянная для всех тел, обращающихся вокруг одного и того же центрального массивного тела: $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} = \text{const}$.

Эта нелинейная зависимость означает, что с увеличением радиуса орбиты период обращения растет очень быстро. Это объясняется двумя факторами: во-первых, с увеличением радиуса увеличивается длина орбиты, которую планета должна пройти, а во-вторых, на большем удалении от центрального тела сила гравитации ослабевает, что приводит к уменьшению орбитальной скорости планеты.

Ответ: Связь между периодом обращения планеты $\text{T}$ и радиусом ее круговой орбиты $\text{r}$ выражается третьим законом Кеплера: квадрат периода обращения прямо пропорционален кубу радиуса орбиты ($T^2 \propto r^3$). Это означает, что чем дальше планета от центрального тела, тем значительно больше времени ей требуется на один полный оборот по орбите. Точная формула этой зависимости: $T^2 = (\frac{4\pi^2}{GM})r^3$, где $\text{M}$ — масса центрального тела, а $\text{G}$ — гравитационная постоянная.