Номер 6, страница 259 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 10. Строение Вселенной. Элементы научной картины мира. Параграф 51. Геоцентрическая и гелиоцентрическая системы мира. Законы Кеплера. Задания и упражнения - номер 6, страница 259.

Условие.

6. Пусть планета массой $\text{m}$ движется со скоростью $\text{v}$ по окружности радиуса $\text{R}$ вокруг Солнца, масса которого равна $\text{M}$. Объединив законы динамики с законом всемирного тяготения, установите связь между размерами орбиты и периодом $\text{T}$ обращения планеты: $$\frac{R^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4 \cdot \pi^2}$$

Решение.

Дано:

Масса планеты: $\text{m}$

Масса Солнца: $\text{M}$

Скорость планеты: $\text{v}$

Радиус орбиты: $\text{R}$

Период обращения: $\text{T}$

Гравитационная постоянная: $\text{G}$

Найти:

Установить связь: $\frac{R^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4 \cdot \pi^2}$

Решение:

Планета движется по круговой орбите вокруг Солнца. Движение по окружности возможно только под действием силы, направленной к центру окружности. В данном случае такой силой является сила гравитационного притяжения планеты к Солнцу. Эта сила сообщает планете центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

$F = m \cdot a$

В нашем случае $\text{F}$ — это сила всемирного тяготения $F_g$, а $\text{a}$ — это центростремительное ускорение $a_c$. Таким образом:

$F_g = m \cdot a_c$

Сила всемирного тяготения между Солнцем массой $\text{M}$ и планетой массой $\text{m}$, находящимися на расстоянии $\text{R}$ друг от друга, определяется по закону всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $\text{R}$ с линейной скоростью $\text{v}$, равно:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

Подставим выражения для силы и ускорения во второй закон Ньютона:

$G \frac{M \cdot m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Сократим массу планеты $\text{m}$ и радиус $\text{R}$ в обеих частях уравнения:

$G \frac{M}{R} = v^2$

Линейная скорость $\text{v}$ при движении по окружности связана с периодом обращения $\text{T}$ (время одного полного оборота) и радиусом $\text{R}$. За время $\text{T}$ планета проходит путь, равный длине окружности $2 \pi R$. Следовательно, скорость равна:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим это выражение для скорости в полученное ранее уравнение:

$G \frac{M}{R} = \left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2$

Раскроем скобки:

$G \frac{M}{R} = \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2}$

Теперь преобразуем это уравнение, чтобы получить требуемое соотношение. Умножим обе части на $\text{R}$ и разделим на $4 \pi^2$:

$G \cdot M = \frac{4 \pi^2 R^3}{T^2}$

$\frac{G \cdot M}{4 \pi^2} = \frac{R^3}{T^2}$

Таким образом, мы установили искомую связь, которая является уточнением третьего закона Кеплера для круговых орбит.

Ответ:

Используя законы динамики и закон всемирного тяготения, мы установили, что связь между радиусом орбиты $\text{R}$ и периодом обращения $\text{T}$ для планеты, вращающейся вокруг Солнца, выражается формулой $\frac{R^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4 \cdot \pi^2}$.